长沙县三中数学凌治国教学设计

1、第第 2 讲讲三角变换与解三角形三角变换与解三角形长沙县三中数学凌治国【高考考情解读】1.从近几年的考情来看，对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点；解三角形与其他知识以及生活中的实际问题联系紧密， 有利于考查考生的各种能力， 因而成了高考命题的一大热点.2.分析近年考情可知，命题模式一般为 12 题，其中，选择(填空)题多为低档题，解答题则一般为与其他知识(尤其是三角函数、向量)交汇的综合题或实际应用题，难度中等1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()c

2、os cos sin sin .(3)tan()tan tan 1tan tan .2 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 22tan 1tan2.3 三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简(2)等式的两边同时变形为同一个式子(3)将式子变形后再证明4 正弦定理asin Absin Bcsin C2R(2R 为ABC 外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R.abcsin Asi

3、n Bsin C.5 余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab.变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.6 面积公式SABC12bcsin A12acsin B12absin C.7 解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解(4)已知三边，利用余弦定理求解.考点一三角变换

4、例 1(2013广东)已知函数 f(x) 2cosx12 ，xR.(1)求 f6 的值；(2)若 cos 35，32，2，求 f23 .解(1)f6 2cos612 2cos4 2cos41.(2)f23 2cos2312 2cos24cos 2sin 2，又 cos 35，32，2，sin 45，sin 22sin cos 2425，cos 22cos21725，f23 cos 2sin 272524251725.当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果化简常用技巧：常值代换：特别是“1”的代

5、换，1sin2cos2tan 45等；项的分拆与角的配凑：如 sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等；降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；弦、切互化：一般是切化弦(1)(2013四川)设 sin 2sin ，2，则 tan 2的值是_(2)(2012江苏)设为锐角，若 cos6 45，则 sin212 的值为_答案(1) 3(2)17 250解析(1)sin 2sin ，sin (2cos 1)0，又2，sin 0,2cos 10即 cos 12，sin 32，tan 3，tan 22tan 1tan22 31 32 3.(2)为锐角且 cos6 45，sin6

6、 35.sin212 sin26 4sin 26 cos4cos 26 sin4 2sin6 cos6 222cos26 1 23545222452112 2257 25017 250.考点二正、余弦定理例 2(2013课标全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 abcos Ccsin B.(1)求 B；(2)若 b2，求ABC 面积的最大值解(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B，又 A(BC)，故 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由和 C(0，)得 sin Bcos B.又 B(0，)，所以 B4

7、.(2)ABC 的面积 S12acsin B24ac.由已知及余弦定理得 4a2c22accos4.又 a2c22ac，故 ac42 2，当且仅当 ac 时，等号成立因此ABC 面积的最大值为 21.三角形问题的求解一般是从两个角度， 即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破几种常见变形：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，其中 R 为ABC 外接圆的半径；(3)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C.设ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且(2b 3c)cos

8、 A 3acos C.(1)求角 A 的大小；(2)若角 B6，BC 边上的中线 AM 的长为 7，求ABC 的面积解(1)(2b 3c)cos A 3acos C，(2sin B 3sin C)cos A 3sin Acos C.即 2sin Bcos A 3sin Acos C 3sin Ccos A.2sin Bcos A 3sin B.sin B0，cos A32，0A，A6.(2)由(1)知 AB6，所以 ACBC，C23，设 ACx，则 MC12x.又 AM 7，在AMC 中，由余弦定理得 AC2MC22ACMCcos CAM2，即 x2x222xx2cos 120( 7)2，解得

9、 x2，故 SABC12x2sin23 3.考点三正、余弦定理的实际应用例 3(2013江苏)如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min， 山路AC长为1 260 m，经测量 cos A1213，cos C35.(1)求索道 AB 的长；(2)问：乙出

10、发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在ABC 中，因为 cos A1213，cos C35，所以 sin A513，sin C45.从而 sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C513351213456365.由正弦定理ABsin CACsin B，得ABACsin Bsin C1 2606365451 040(m)所以索道 AB 的长为 1 040 m.(2)假设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A 处

11、 130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)1213200(37t270t50)，由于 0t1 040130，即 0t8，故当 t3537min 时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理BCsin AACsin B，得 BCACsin Bsin A1 2606365513500(m)乙从 B 出发时，甲已走了 50(281)550(m)，还需走 710 m 才能到达 C.设乙步行的速度为 v m/min，由题意得3500v710503，解得1 25043v62514，所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制

12、在1 25043，62514 (单位：m/min)范围内应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案在南沙某海岛上一观察哨 A 上午 11 时测得一轮船在海岛北偏东 60的 C 处，12 时 20 分测得船在海岛北偏西 60的 B 处，12 时 40 分轮船到达位于海岛正西

13、方且距海岛 5 km 的 E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？解由题意，得轮船从 C 到 B 用时 80 分钟，从 B 到 E 用时 20 分钟又船始终匀速前进，所以 BC4EB.设 EBx，则 BC4x.由已知，得BAE30，EAC150.在AEC 中，由正弦定理，得ECsinEACAEsin C，所以 sin CAEsinEACEC5sin 1505x12x.在ABC 中，由正弦定理，得BCsin 120ABsin C，ABBCsin Csin 1204x12x324 33.在ABE 中，由余弦定理，得BE2AB2AE22ABAEcos 301632524 33532313，

14、故 BE313.所以船速 vBEt31313 93(km/h)所以该船的速度为 93 km/h.1 求解恒等变换的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”(3)再次观察代数式的结构特点2 解三角形的两个关键点(1)正、 余弦定理是实现三角形中边角互化的依据， 注意定理的灵活变形， 如 a2Rsin A，sin Aa2R(其中 2R 为三角形外接圆的直径)，a2b2c22abcos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角(2)三角

15、形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于”和诱导公式可得到 sin(AB)sin C，sinAB2cosC2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等1 在ABC 中，已知 tanAB2sin C，给出以下四个结论：tan Atan B1；1sin Asin B 2；sin2Acos2B1；cos2Acos2Bsin2C.其中一定正确的是()ABCD答案D解析依题意，tanAB2sinAB2cosAB22sinAB2cosAB22cos2AB2sinAB1cosABsin C1cosABsin C.sin C0，1cos(AB)1，cos(AB)0.0A

16、B，AB2，即ABC 是以角 C 为直角的直角三角形对于，由tan Atan B1，得 tan Atan B，即 AB，不一定成立，故不正确；对于，AB2，sin Asin Bsin Acos A 2sin(A4)，1sin Asin B 2，故正确；对于，AB2，sin2Acos2Bsin2Asin2A2sin2A，其值不确定，故不正确；对于，AB2，cos2Acos2Bcos2Asin2A1sin2C，故正确2 已知函数 f(x) 3sinx4cosx4cos2x4.(1)若 f(x)1，求 cos23x的值；(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 acos

17、C12cb，求 f(B)的取值范围解(1)f(x) 3sinx4cosx4cos2x432sinx212cosx212sinx26 12.由 f(x)1，可得 sinx26 12.cos23xcos(3x)cos(3x)2sin2(x26)112.(2)由 acos C12cb，得 aa2b2c22ab12cb，即 b2c2a2bc，所以 cos Ab2c2a22bc12.因为 A(0，)，所以 A3，BC23，所以 0B23，所以6B262，所以 f(B)sinB26 121，32 .(推荐时间：60 分钟)一、选择题1 设、都是锐角，且 cos 55，sin()35，则 cos 等于()A

18、.2 525B.2 55C.2 525或2 55D.55或525答案A解析根据、都是锐角，且 cos 55，sin2cos21，得 sin 2 5542，又sin()35，cos()45.又 cos cos()cos()cos sin()sin 2 525，故选 A.2 已知 cos6 sin 453，则 sin76 的值是()A2 35B.2 35C45D.45答案C解析cos6 sin 453，32cos 32sin 453，312cos 32sin 453，3sin6453，sin645，sin76 sin645.3 (2013辽宁)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，

19、c.若 asin Bcos Ccsin BcosA12b，且 ab，则B 等于()A.6B.3C.23D.56答案A解析由条件得absin Bcos Ccbsin Bcos A12，依正弦定理，得 sin Acos Csin Ccos A12，sin(AC)12，从而 sin B12，又 ab，且 B(0，)，因此 B6.4 锐角三角形 ABC 中，若 C2B，则ABAC的范围是()A(0,2)B( 2，2)C( 2， 3)D( 3，2)答案C解析设ABC 三内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，则有ABACcbsin Csin Bsin 2Bsin B2cos B.又C2B2，B4

20、.又 A(BC)3B6，即6B4，22cos B32， 22cos B 3.5 已知ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且 tan B2 3a2b2c2，BCBA12，则 tan B 等于()A.32B. 31C2D2 3答案D解析由题意得，BCBA|BC|BA|cos Baccos B12，即 cos B12ac，由余弦定理，得 cos Ba2c2b22ac12aca2c2b21，所以 tan B2 3a2b2c22 3，故选 D.6 (2013重庆)4cos 50tan 40等于()A. 2B.2 32C. 3D2 21答案C解析4cos 50tan 404sin 40c

21、os 40sin 40cos 402sin 80sin 40cos 402sin5030sin 40cos 403sin 50cos 50sin 40cos 403sin 50cos 40 3.二、填空题7 (2013福建)如图，在ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，ADAC，sinBAC2 23，AB3 2，AD3，则 BD 的长为_答案3解析sinBACsin(2BAD)cosBAD，cosBAD2 23.BD2AB2AD22ABADcosBAD(3 2)23223 232 23，即 BD23，BD 3.8 (2013安徽)设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c.若

22、 bc2a,3sin A5sin B，则角 C_.答案23解析由已知条件和正弦定理得：3a5b，且 bc2a，则 a5b3，c2ab7b3cos Ca2b2c22ab12，又 0C，因此角 C23.9 已知 tan4 12，且20，则2sin2sin 2cos4_.答案2 55解析由 tan4 tan 11tan 12， 得 tan 13.又20，可得 sin 1010.故2sin2sin 2cos42sin sin cos 22sin cos 2 2sin 2 55.10在ABC 中，C60，AB 3，AB 边上的高为43，则 ACBC_.答案11解析依题意，利用三角形面积相等有：12ABh

23、12ACBCsin 60，12 34312ACBCsin 60，ACBC83.利用余弦定理可知 cos 60AC2BC2AB22ACBC，cos 60AC2BC23283，解得：AC2BC2173.又(ACBC)2AC2BC22ACBC17316311，ACBC 11.三、解答题11已知函数 f(x)sin(2x6)2cos2x1(xR)(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)在ABC 中，三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 f(A)12，2abc，bc18，求 a 的值解(1)f(x)sin(2x6)2cos2x132sin 2x12cos 2xcos 2x32sin 2x12cos 2xsin2x6 .令 2k22x62k2(kZ)，得 k3xk6(kZ)，即 f(x)的单调递增区间为k3，k6(kZ)(2)由 f(A)12，得 sin(2A6)12.62A626，2A656.A3.由余弦定理得 a2b2c22bccos A(bc)23bc.又 2abc，bc18，a24a2318，即 a218，a3 2.12(2013四川)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2cos2AB2