第七章静止电荷的电场--最终版

1、第七章第七章 静止电荷的电场静止电荷的电场本章教学目的及要求本章教学目的及要求1. 掌握掌握库仑定律、电场强度库仑定律、电场强度的概念及应用。的概念及应用。2. 掌握掌握电势电势的概念及应用。的概念及应用。3. 掌握掌握电场强度和电势的关系电场强度和电势的关系。4. 掌握掌握静电场的静电场的高斯定理高斯定理。5. 掌握掌握静电场的静电场的环路定理环路定理及应用。及应用。7-1 物质的电结构物质的电结构 库仑定律库仑定律一、电荷一、电荷最初对电的认识：最初对电的认识：摩擦起电和雷电摩擦起电和雷电两种电荷：两种电荷：正电荷和负电荷正电荷和负电荷电性力：电性力：同号相斥、异号相吸同号相斥、异号相吸电

2、荷量电荷量：物体带电的多少。物体带电的多少。 在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论进在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论进行怎样的物理过程，系统内行怎样的物理过程，系统内正、负电荷量的代数和正、负电荷量的代数和总是保持不变总是保持不变。 二、电荷守恒定律二、电荷守恒定律HeThU422349023892ee放射性衰变过程：放射性衰变过程：电子偶的产生和湮没：电子偶的产生和湮没：2ee（重核附近）（重核附近） 电荷是相对论不变量，即电荷是相对论不变量，即电荷量与运动无关。电荷量与运动无关。 电荷的相对论不变性电荷的相对论不变性: 三、电荷的量子化三、电荷的量子化C1053176602. 11

3、9e 电子或质子电子或质子是自然界中带有最小电荷量的粒子，是自然界中带有最小电荷量的粒子，任何带电体或其他微观粒子所带的电荷量都是电子任何带电体或其他微观粒子所带的电荷量都是电子或质子电荷量的整数倍，或质子电荷量的整数倍，即为即为元电荷元电荷e的整数倍的整数倍。 电荷量的这种只能取分立的不连续量值的性质，电荷量的这种只能取分立的不连续量值的性质，称为称为电荷的量子化。电荷的量子化。 夸克夸克模型引入了模型引入了分数电荷分数电荷，但不会改变电荷量，但不会改变电荷量子化的结论。子化的结论。 当物体所带电荷量较多时，如宏观带电体，电当物体所带电荷量较多时，如宏观带电体，电荷量可以按连续量处理。荷量可

4、以按连续量处理。四、库仑定律四、库仑定律. Plrlr(a) 对于有限分布带电体，可以看作对于有限分布带电体，可以看作无限多点电无限多点电荷的集合荷的集合。讨论讨论. Pr(b)lr点电荷点电荷: 当带电体的大小和形状与他们之间的距离相当带电体的大小和形状与他们之间的距离相比，可以忽略时，带电体可以看作是点电荷。比，可以忽略时，带电体可以看作是点电荷。123211222112rrqqkerqqkFr真空介电常量真空介电常量0 = 8.8510-12 C2 N-1m-2 库仑定律：库仑定律：真空中两个静止点电荷相互作用力（真空中两个静止点电荷相互作用力（静静电力电力）的大小与这两个点电荷所带）的

5、大小与这两个点电荷所带电荷量电荷量q1和和q2的乘的乘积成正比积成正比，与它们之间的，与它们之间的距离距离r 的平方成反比的平方成反比。作用。作用力的方向沿它们的连线方向，力的方向沿它们的连线方向，同号相斥，异号相吸同号相斥，异号相吸。q1q212F12r21F2290/CmN1099. 841k12321012221021124141rrqqerqqFFr3. 静电力的叠加原理静电力的叠加原理 受到其他点电荷受到其他点电荷设有设有n个点电荷组成的点电荷系，点电荷个点电荷组成的点电荷系，点电荷qiq作用的总静电力为作用的总静电力为 iiiiiirrqqFF3041iqqirm1010:715r

6、讨论讨论1. 适用于点电荷，适用于点电荷，2. 距离平方反比关系，幂距离平方反比关系，幂2的误差的误差l303044ypyqlEB304ypEB中垂线上任一点中垂线上任一点:3. 电荷连续分布带电体的电场强度电荷连续分布带电体的电场强度rerqE204dd电荷元电荷元dq在在P点的电场强度：点的电场强度：带电体在带电体在P点的电场强度：点的电场强度：rerqEE204dd线电荷：线电荷：dq =dl ：电荷线密度：电荷线密度面电荷：面电荷：dq =dS : 电荷面密度电荷面密度体电荷：体电荷：dq =dV ：电荷体密度电荷体密度PrEd例题例题7-5 真空中有均匀带电直线，长为真空中有均匀带电

7、直线，长为L，总电荷为，总电荷为q。线外有一点线外有一点P，离开直线的垂直距离为，离开直线的垂直距离为a，P点和直线两点和直线两端连线的夹角分别为端连线的夹角分别为 1和和 2 ，求，求P点的电场强度。点的电场强度。 建立直角坐标系建立直角坐标系 取长度取长度 的电荷元的电荷元 d xxqdd201dd4xErcosd41d20rxExsind41d20rxEy解：解：LqxrExdcos4120 xrEydsin4120统一变量：统一变量： (r, x, ) cscsin/aartan()cot2xaa dcscd2ax dcsccsccos4222021aaEx)sin(sin4120aE

8、x 同理同理)cos(cos4210aEy1. 无限长带电直线：无限长带电直线： 1 = 0 ，2 = 0 xEaEEy022. 当当 a0 时时, 若若P点在直线上点在直线上: 1 = 0，2 = 则则 E, 无意义；无意义；221202 2cos()4xyEEEaP半无限长带电直线：半无限长带电直线： 1 = 0 ，2 = /2P04xyEEa讨论讨论)sin(sin4120aEx)cos(cos4210aEy若若P点在直线延长线上点在直线延长线上:1 = 2 = 0, 则按具体情况计算。则按具体情况计算。PxxR例题例题7-6 电荷电荷q 均匀地分布在一半径为均匀地分布在一半径为R 的圆

9、环上，的圆环上，计算在圆环的轴线上任一给定点计算在圆环的轴线上任一给定点P 的电场强度。的电场强度。lRqqd2d 解：解：202208d4ddrRlqrqEr /dd cosxxLLEEEE2/32204RxqxdERRrlqxE203028dd0 xxEE根据圆环的对称性根据圆环的对称性, 方向方向: q为正电荷，沿为正电荷，沿Ox正向；负电荷，沿正向；负电荷，沿Ox负向。负向。l ddLxErdxE/dxE1. 若若 x=0，则，则2. 若若xR, 则有则有 204xqE远离圆环处的场强近似等于点电荷的电场强度。远离圆环处的场强近似等于点电荷的电场强度。讨论讨论2/32204RxqxE3

10、. 若若 ，x E=0，环心处的电场强度为零。，环心处的电场强度为零。则则 E=0。例题例题7-7 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。设求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。设盘半径为盘半径为R，电荷面密度为，电荷面密度为 。均匀带电薄圆盘可看成由许多均匀带电薄圆盘可看成由许多带电细圆环带电细圆环组成。组成。dd2 dqSr rOxrdrPaxEd22 3/20dd4()x qExr22 3/200dd2()Rxr rEExr)1 (2220Rxx解：解：方向方向：与圆盘垂直，指向视带电体的正负而定。与圆盘垂直，指向视带电体的正负而定。2. 当当2/122)1 (xR四、电场线四、电场线 电场强度

11、通量电场强度通量电场线：电场线： 描述电场分布的一系列有向曲线。描述电场分布的一系列有向曲线。SNEddE1. 曲线上每一点的曲线上每一点的切线方向切线方向表示该点电场强度表示该点电场强度 的的方向。方向。E2. 曲线的曲线的疏密疏密表示该点处场强表示该点处场强 的的大小大小。ESd即：通过垂直单位面积的电场线条数，在数值上就即：通过垂直单位面积的电场线条数，在数值上就等于该点处电场强度的大小。等于该点处电场强度的大小。几种常见的电场线：几种常见的电场线：静电场中电场线的特点：静电场中电场线的特点：3. 电场线密集处电场强，电场线稀疏处电场弱。电场线密集处电场强，电场线稀疏处电场弱。1. 电场

12、线起始于正电荷，终止于负电荷。电场线起始于正电荷，终止于负电荷。2. 电场线不闭合，电场线不闭合，不相交不相交。电场线并不是实际存在的电场线并不是实际存在的, 只是形象描述电场的几何方法。只是形象描述电场的几何方法。说明说明电场强度通量电场强度通量 E ： 通过电场中任一曲面的电场线条数。通过电场中任一曲面的电场线条数。1. 均匀电场中通过平面均匀电场中通过平面S的电场强度通量的电场强度通量ESESEESEcos2. 非均匀电场的电场强度通量非均匀电场的电场强度通量SESEEddcosddE 的正、负取决于面元的法线方的正、负取决于面元的法线方向与电场强度方向的关系。向与电场强度方向的关系。S

13、dE 若场强方向与面元法线方向成锐角，则若场强方向与面元法线方向成锐角，则0d SE0dSEdScosddESSESES 若场强方向与面元法线方向成钝角，则若场强方向与面元法线方向成钝角，则对闭合曲面的电通量：对闭合曲面的电通量：规定闭合曲面向外法线方向为正。规定闭合曲面向外法线方向为正。（1）当）当 90时：时： 电场线穿入闭合曲面，电场线穿入闭合曲面，对电场强度对电场强度通量的贡献通量的贡献为负；为负；（3）当）当 = 90时：时： 电场线与曲面相切，电场线与曲面相切，对电场强度对电场强度通量的贡献通量的贡献为零。为零。SneSSESESEdcosd7-3 静电场的高斯定理静电场的高斯定理

14、一、静电场的高斯定理一、静电场的高斯定理以点电荷为中心的闭合球面的电场强度通量以点电荷为中心的闭合球面的电场强度通量 E 204rqEer球面场强：球面场强：20ddcos0 d4EqSESr0q即：通过闭合球面的即：通过闭合球面的E通量通量和球面包围的电荷量成和球面包围的电荷量成正比，与所取球面的半径无关。正比，与所取球面的半径无关。 SSEdSRqRSq202044dS 点电荷（系）在任意形状闭合曲面内电场强度通量点电荷（系）在任意形状闭合曲面内电场强度通量 E 通过球面通过球面S 的电场线也必通的电场线也必通过任意闭合曲面过任意闭合曲面 S ，即它们的，即它们的电场强度通量相等，为电场强

15、度通量相等，为 q / 0。+ +S10niiq0dqSESE 1ddSniiSESESE 没有包围电荷的闭合曲面的电场强度通量没有包围电荷的闭合曲面的电场强度通量 E 穿进曲面的电场线条数等穿进曲面的电场线条数等于穿出曲面的电场线条数。于穿出曲面的电场线条数。高斯定理：高斯定理： 静电场中，通过任一闭合曲面的电场强度通静电场中，通过任一闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的所有电荷量的代数和的量等于该曲面所包围的所有电荷量的代数和的1/ 0倍。倍。niiSEqSE101d内0dSESE2. 闭合曲面内、外电荷对电场强度都有贡献，但闭合曲面内、外电荷对电场强度都有贡献，但只只有闭合面内的电荷

16、对电场强度通量有贡献。有闭合面内的电荷对电场强度通量有贡献。+2q+q+q+2q-2q1. 物理意义：物理意义： 静电场是有源场，电场线发起于正静电场是有源场，电场线发起于正 电荷、终止于负电荷。电荷、终止于负电荷。讨论讨论3. 库仑定律只适用于静电场，高斯定理库仑定律只适用于静电场，高斯定理不仅适用于不仅适用于静电场静电场，也适用于运动电荷和变化的电场。，也适用于运动电荷和变化的电场。niiSEqSE101d内二、高斯定理的应用二、高斯定理的应用 常见的高对称电荷分布：常见的高对称电荷分布： （1）球对称性：球对称性：均匀带电的球体、球面和点电荷。均匀带电的球体、球面和点电荷。（2）柱对称性

17、：柱对称性：均匀带电的无限长的柱体、柱面均匀带电的无限长的柱体、柱面和带电直线。和带电直线。（3）平面对称性：平面对称性：均匀带电的无限大平板和平面。均匀带电的无限大平板和平面。当带电体的电荷当带电体的电荷(场强场强)分布具有分布具有高度的对称性高度的对称性时，时，就可能用高斯定理计算电场强度。就可能用高斯定理计算电场强度。niiSEqSE101d内 解题要点：解题要点：找到合适的闭合曲面（高斯面）。找到合适的闭合曲面（高斯面）。电场强度垂直于闭合面，且大小处处相等；电场强度垂直于闭合面，且大小处处相等；闭合面上一部分区域电场强度处处相等且与该面闭合面上一部分区域电场强度处处相等且与该面 垂直

18、，另一部分区域电场强度平行（垂直，另一部分区域电场强度平行（E E通量通量=0=0）；）；l优点优点：可以避免复杂积分，只要计算高斯面的总：可以避免复杂积分，只要计算高斯面的总电荷量就可以了。电荷量就可以了。例题例题7-8 求均匀带电球体的场强分布。（已知球体求均匀带电球体的场强分布。（已知球体半径为半径为R，电荷量为，电荷量为q） R解：解：rP对称性分析：对称性分析：电荷球对称分布电荷球对称分布电场分布也电场分布也具有球对称性具有球对称性常量)(rE当当 r=常量常量 时，时， rerEE)(可以选择可以选择以球心为中心的球面以球心为中心的球面为为高斯面高斯面。（1）求球体外某点的场强（）

19、求球体外某点的场强（r R ）204qEr思考题：思考题：P RrrerqE2040dqSESSSSrEEd)(Sd024)(d)(qrrESrES？闭合面闭合面立方体立方体SEd（2）求球体内一点的场强（）求球体内一点的场强（r l，2200cos2cos41cos2cos241lrqllrqlrqVP解法一：解法一：223 2014()qxExR22 3 20dd4()Pxxqx xVElxR2204qxRPxxRr例题例题7-13 均匀带电圆环，电荷量为均匀带电圆环，电荷量为q，半径为，半径为R，求轴线上任意一点的求轴线上任意一点的P电势。电势。解：解：电场强度，利用电势的定义求解。电场

20、强度，利用电势的定义求解。rqV04ddPxxRrrqrqVVLP0044dd2204qxR解法二：解法二： 连续分布电荷的电势，积分。连续分布电荷的电势，积分。例题例题7-14 半径为半径为R的均匀带电球面，电荷量为的均匀带电球面，电荷量为q。求电。求电势分布。势分布。qRr解：解：电场强度，利用电势的定电场强度，利用电势的定义求解。义求解。)(0)(420RrRrerqEr12ddRPrRVE rEr04qR r R时：时：2200dd44PrrqVErrrqr rR时：时：rVORddPrrVErE r解法一：解法一：解法二：解法二： 连续分布电荷的电势，积分！连续分布电荷的电势，积分！

21、P276例题例题7-15 求无限长均匀带电直线外任一点求无限长均匀带电直线外任一点P 的电势。的电势。(已知电荷线密度已知电荷线密度 )解：解：1110dd2rrPPrrVVElrrrE021100lnln22rrrrr如果势能零点在如果势能零点在 r1=1m，则，则rVPln20 对无限分布带电体，只能选有限远点为电势零点。对无限分布带电体，只能选有限远点为电势零点。r1PP1r五、等势面五、等势面1V2V3V2312VV, ,V x y z 常数约定：约定：相邻等势面的电势差为常相邻等势面的电势差为常量，可以得到一系列的等势面。量，可以得到一系列的等势面。将电势相等的场点连成连续的曲面，将电势相等的场点连成连续的曲面，称为称为等势面。等势面。满足方程：满足方程： 等势面的性质等势面的性质1. 电荷沿等势面移动，电场力不做功。电荷沿等势面移动，电场力不做功。0VqA2. 电场强度与等势面正交；电场线由电场强度与等势面正交；电场线由电势高的地方指向电势低的地方。电势高的地方指向电势低的地方。lEqAdd0d0El3. 等势面密集处场强量值大，稀疏处场强量值小。等势面密集处场强量值大，稀疏处场强量值小。常量lEVlE1dEl7-5 电场强度与电势梯度的关系电场强度与电势梯度