《完全平方公式》典型例题.

1、完全平方公式典型例题例 1利用完全平方公式计算：（1）( 2 3x)2；（ ）2；（）122 (2ab 4a)3( am2b)2例2计算：（1） (3a1)2 ；（ 2） ( 2x3y)2 ；（3） ( 3xy)2 例 3用完全平方公式计算：（1）22；（ ）2；（ ）4b 5c)2( 3yx)2 ( ab)3 (3a3例 4运用乘法公式计算：（1） (x)()(2a2)；（）b c)(a b c)；a xa x2(a（3） ( x1)2 (x 1)2 ( x2 1)2 例 5计算：（1）1212；（ ）11；（ ）( x y)2( x y)2( x 3)x2 (2a b)(2a b)3242

2、2例 6 利用完全平方公式进行计算： （1） 2012 ；（ 2） 992 ；（ 3） (30 1)23例 7已知 ab 3,ab12，求下列各式的值（1）a2b2；（ ）a2abb2；（ ）(a b)223例 8若 3( a2b2c2 )( abc)2 ，求证： abc参考答案例 1 分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计算解：（1） (23x)222223x(3x)24 12x9 x2 ；（2） ( 2ab 4a) 2( 2ab)222ab4a( 4a)24a2b2 16a2b 16a2 ；（3） (1am2b)21a2 m22amb4b2 24说明：（1）必须注

3、意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公式；（ 2）在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现(23x)2412x3x2 的错误例 2分析：（2）题可看成 (2x)3y 2 ，也可看成 (3 y2x)2 ；（ 3）题可看成 (3xy)2 ，也可以看成 ( 3x)y 2 ，变形后都符合完全平方公式解：（1） (3a1) 2(3a) 22 3a 1129a26a1（2）原式( 2x) 22 ( 2x) 3y(3 y)24x212xy9 y2或原式 (3 y2x) 2(3 y)22 3y 2x(2x) 29 y212xy4x2（3）原式 (3xy)2(3xy) 2(3x

4、) 22 3xyy 29x26xyy 2或原式 ( 3x) 22 (3x)yy29x26xyy 2说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用例 3分析：第（ 1）小题，直接运用完全平方公式2 x 为公式中 a， 3y 为公3式中 b，利用差的平方计算；第（2）小题应把 (a b) 2 化为 (ab)2再利用和的平方计算；第（ 3）小题，可把任意两项看作公式中a，如把 (3a 4b)作为公式中的 a， 5c作为公式中的 b，再两次运用完全平方公式计算解：（1） ( 3y2 x)2 = ( 2 x3y) 2 4 x 24xy9y 2339（2） ( ab)2 = (ab)2a

5、22ab b2（3） (3a4b 5c)2(3a4b) 2 10c(3a 4b) 25c2= 9a230ac 40bc25c216b224ab说明： 运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：( ab) 2a 2b2 ，(a b) 2a 2 b2 例 4 分析：第（ 1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方式计算第（ 2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项 a c ，和互为相反数的项b，所以先利用平方差公式计算( ac)b 与 ( ac)b 的积，再利用完全平方公式计算(ac)2 ；第三小题先需要利用幂的性质把原式化为( x 10( x 1)( x2 1) 2 ，再利用乘

6、法公式计算解：（1）原式 = ( x2a 2 )( x2a2 ) (x2a 2 ) 2x42a 2 x2a4（2）原式 =( ac)b( ac) b(ac)2b2= a22acc2b2（3）原式 =( x1)(x1)( x21) 2( x 21)( x21) 2=( x4 1)2x82x4 1 说明：计算本题时先观察题目特点， 灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，以达到简化运算的目的例 5 分析：（ 1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项；第（ 2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，我们继续应用公式解：（1） ( 1 x3)21 x 21 x23x9

7、1 x293x ；2444（2） ( 2a b1)(2ab1 )( 2ab)1( 2ab)12222(2a b) 2 14a24ab b2 1 ；44（3） ( x y) 2(x y) 2x22xy y 2( x22xy y 2 )x22xyy2x22 xyy24xy 说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个整体来研究例 6 分析：在利用完全平方公式求一个数的平方时，一定要把原有数拆成两个数的和或差解：（1） 2012(2001)220022200140401；（2） 992(1001) 21002210019801（3） (30 1)2 (30 1 ) 230 22

8、301(1)23333900201921 .902说明：在利用完全平方公式，进行数的平方的简算时，应注意拆成的两个数必须是便于计算的两个数，这才能达到简算的目的例 7分 析 ：（ 1 ） 由 完 全 平 方 公 式 (ab)2a22ab b2 ， 可 知a2b2(ab)22ab ，可求得 a2b233 ；（2） a2abb2a2b2ab33(12)45；（3） (a) 2a22abb2332(12)57 b解：（1） a2b2(a b)22ab322(12)92433（2） a 2abb2( a2b2 ) ab33(12)331245（3） ( ab) 2a22abb2( a2b2 )2ab332(12)332457说 明 ： 该 题 是 (ab) 2a22abb2是灵活运用，变形为a2b2(ab) 22ab ，再进行代换例 8分析：由已知条件展开，若能得出 (ab) 2(bc) 2(c a)20, 就可得到 ab0,bc0, ca0, 进而 ab, bccaa bc, 同时此题还用到公式 (abc)2a2b2c22ab2ac2bc 证明：由 3(a2b2c2 )(abc)2 , 得3a23b23