第三章时域响应分析

1、 工程中的控制系统总是在时域中运工程中的控制系统总是在时域中运行的。行的。在分析和设计控制系统时，我们在分析和设计控制系统时，我们需要有一个对各种控制系统性能进行比需要有一个对各种控制系统性能进行比较的基础。这种基础可以通过下述方法较的基础。这种基础可以通过下述方法建立建立: 1 1 预先规定一些特殊的试验输入信号预先规定一些特殊的试验输入信号 2 2 然后比较各种系统对这些输入信号的响应。然后比较各种系统对这些输入信号的响应。 第三章第三章 时域响应分析时域响应分析 sXi sXo s sXssXio规定一些特殊的规定一些特殊的试验输入信号试验输入信号各种各种系统系统比较各种系统对这比较各种

2、系统对这些试验信号的响应些试验信号的响应 sXsLsXLtxioo11 时域分析法就是根据系统的微分方程时域分析法就是根据系统的微分方程，采用拉普拉斯变换法直接解出系统的时，采用拉普拉斯变换法直接解出系统的时间相应，再根据响应的表达式及对应曲线间相应，再根据响应的表达式及对应曲线来分析系统的性能。来分析系统的性能。 用时域分析法分析系统性能具有直接用时域分析法分析系统性能具有直接、准确、易于接受等特点。、准确、易于接受等特点。 时域响应及典型输入信号时域响应及典型输入信号时域响应时域响应： 在输入信号作用下，系统输出随时间变化在输入信号作用下，系统输出随时间变化过程称为过程称为系统的时间响应系

3、统的时间响应。 时间响应通常有两部分组成：时间响应通常有两部分组成：瞬态响应瞬态响应和和稳态响应稳态响应。 瞬态响应：瞬态响应：系统在某一输入信号作用下，其输系统在某一输入信号作用下，其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。出量从初始状态到稳定状态的响应过程。 稳态响应：稳态响应：时间时间t趋于无穷时，系统的输出状态。趋于无穷时，系统的输出状态。 时域响应及典型输入信号时域响应及典型输入信号时域响应包括时域响应包括：（以阶跃输入为例）：（以阶跃输入为例）常见的典型试验输入信号：1. 阶跃信号 0 0 0tattxi0ta为单位阶跃函数。为单位阶跃函数。时，时，为常数，当为常数，当其中其中1aa

4、 2 斜坡函数 0 0 0tatttxi10at为单位斜坡函数。为单位斜坡函数。时，时，为常数，当为常数，当其中其中1aa 3 加速度函数 0 0 02tatttxi0t称称为为单单位位加加速速度度函函数数。时时，为为常常数数，当当其其中中21 aa 因为持续时间趋于无穷小，所以脉冲高度趋于无穷大，脉冲面积为a 。当 a=1时，称为单位脉冲函数，又称 函数。4 脉冲函数 0 0 0 ttt t000tt0ta 为常数其中或atttattttxti 0 0 00000lim0 1)()(1t -tLsXdt换为单位脉冲函数的拉氏变，且5正弦函数 0 00 tsinttatxi0ta究竟采用哪种典

5、型信号？ 取决于系统在正常工作情况下最常见的输入信号 形式。斜坡信号 随时间逐渐变化的输入阶跃信号 突然的扰动量、突变的输入脉冲信号 冲击输入正弦信号 随时间往复变化的输入 瞬态性能指标是以阶跃信号为典型输入信号定义的。 一阶系统的瞬态响应 sXi sXo sE-Ts1 sXi sXo11Ts 1 1 1 12tstst? 1Ts1sXsXio 一、一阶系统的单位脉冲响应 1sXttxii etToTtx1198.2%95%99.3%86.5%B0tT 2T 3T 4T 5T txoT163.2%AT1368. 0 1111 TssXTssXioT1sT1 二、一阶系统的单位阶跃响应 s1sX

6、t1txii etTotx11 sTssXTssXio11111sTsT111 T1s1s1 Tsbsa1 etTotx11结论： 1可用实验方法测 T；2 经过34T，响应已达稳态值的95%98% 3时间常数决定于系统参数，与输入函数无关。 Tdttdxto10一阶系统的单位阶跃响应曲线 txoT 2T 3T 4T 5T98.2%95%99.3%86.5%B0t163.2%A0.632斜率斜率1/T三、一阶系统的单位斜坡响应 2iis1sXttx 211111sTssXTssXio 2s1T1sT1 Tscsbsa12 etToTTttx1T1sTsTs12 Te1TTTtttxtxteee

7、tT1tT1oi t ttxi Te t1TTttxetT1o 0一阶系统的单位斜坡响应曲线四、一阶系统的单位加速度响应 321 21ssXttxii 311111sTssXTssXio 3111sTsT Tsdscsbsa123 )(211122etToTTtttx TsTsTsTs112223 etToiTTttxtxte121一阶系统的单位加速度响应 txtxoi dtddtd eTttTTttx t eTttxt1 11 eTtTtxt1 sXi sXo1Ts1 例：已知单位反馈系统的开环传递函数为例：已知单位反馈系统的开环传递函数为 ,试求系统的单位阶跃响应。试求系统的单位阶跃响应。

8、解：首先求出系统的闭环传递函数解：首先求出系统的闭环传递函数 可知：可知：K=0.95，T=0.01单位阶跃响应表达式：单位阶跃响应表达式：121. 020)(ssG)(1)()(sGsGs 101. 095. 0)(1)()(ssGsGs)1 (95. 0)1 (95. 0)1 ()(10001. 0ttTteeeKty结论如果系如果系统的输入信号存在积分和微分关系，则系统的时间统的输入信号存在积分和微分关系，则系统的时间响应也存在对应的积分和微分关系。响应也存在对应的积分和微分关系。 我们在研究线性定常系统的时间响应时，不必我们在研究线性定常系统的时间响应时，不必对每种输入信号形式进行分析

9、，而只取其中一种典对每种输入信号形式进行分析，而只取其中一种典型形式进行分析，通常我们研究型形式进行分析，通常我们研究。例1 系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小到原来 的0.1倍，且保证原放大倍数不变，试确定参数 Ko 和 KH 的取 值。 HOHOHOKsKsKsKsGKSGKs1012 . 01012 . 010112 . 010)(1)()( 10*1011002. 0*1012 . 0KKKTKHOH 109 . 0OHKK11012 . 010110 sKKKHHOasatkLs )()(ateth 1)(atataeethtk1 )()()(1)()(sGsGs

10、)( )(1)(sGsGs saasaasasssG 1)(1)()(例例2 2 已知单位反馈系统的单位阶跃响应已知单位反馈系统的单位阶跃响应 试求试求 s , , k(s) , G(s) 。解解)()()()(ssGssG )(1)()(sssG 例例3：两个系统的传递函数为：两个系统的传递函数为试比较系统响应快慢。试比较系统响应快慢。1610)()()2(1210)()()1( ssXsYssXsY系统（1）时间常数T1=2；系统（2）时间常数T2=6。由于T1T2，因此系统1的响应速度快。达到稳态值的时间，如果以5%为准，t1s=3T1=6s，t2s=3T2=18s，因此系统1比系统2快

11、3倍。例例4 某系统的单位阶跃响应曲线如图所示，某系统的单位阶跃响应曲线如图所示，写出其传递函数。写出其传递函数。 找到稳态值找到稳态值10的的63.2%点，此点对应的时间为点，此点对应的时间为0.1s，即，即T=0.1，传递函数的增益，传递函数的增益k为输出稳态值为输出稳态值10与输入稳态值与输入稳态值1比值，即比值，即k=10/1 。 因此，系统闭环传递函数为因此，系统闭环传递函数为11 . 0101)( sTsksy(t)x(t)106.3200.1总结总结总结总结总结总结 四种典型输入信号单位脉冲、单位阶跃、单位速度和单位加速度之四种典型输入信号单位脉冲、单位阶跃、单位速度和单位加速度

12、之间存在着积分和微分关系，他们的时间响应也存在着同样的积分和间存在着积分和微分关系，他们的时间响应也存在着同样的积分和微分关系。微分关系。 重要性质：重要性质：1. 1.如果系统的输入信号存在积分和微分关系，则系统的如果系统的输入信号存在积分和微分关系，则系统的时间响应也存在对应的积分和微分关系。时间响应也存在对应的积分和微分关系。 2. 2.系统的单位脉冲响应函数的拉普拉斯变换等于系统的系统的单位脉冲响应函数的拉普拉斯变换等于系统的闭环传递函数。闭环传递函数。总结总结 t td d 0.693T 0.693T t tr r 2.197T 2.197T t ts s =3T =3T（ =5%=

13、5%） 或或=4T=4T （ =2%=2%）减小一阶系统时间常数的方法：减小一阶系统时间常数的方法：1. 1.通过加入负反馈减小时间常数通过加入负反馈减小时间常数2. 2.在系统的前向通道上串联一个比例环节减小时间在系统的前向通道上串联一个比例环节减小时间常数。常数。,2)(,21,/1/1)()()(2222wswswsGLCRLCwLCLsRsLCsUsUsGnnnnio则：，令：二阶系统的瞬态响应uiu0LRC二阶系统的时间响应 2nn22nios2ssXsX sXi sXo sE- n2n2ss sXi sXo2nn22ns2s 振荡角频率振荡角频率无阻尼自然无阻尼自然阻尼比阻尼比 n

14、 - 1Ts2sT122 二阶系统特征方程：0222nnsss01 1 122 . 1nns0 1 22 . 1ns0 1 10 322 . 1nnjs0 0 42 . 1njs122 . 1nns特征方程的根：实轴负方向转过角度：此处“极”坐标与数学上有所区别 n 2n1j n21tg0s2n1j sin11 2tdten一、二阶系统的单位阶跃响应dnnnjjs 1 10 1.22 . 1欠阻尼 ssssXnnno12 222此时：2nn2s2scbssa tttxa,b,cdtdtoeennsin1cos1 2求出：x0(t)wnttpP54 图3-10 二阶 振 荡环 节 单位阶 跃 响

15、 应曲线2 . 04 . 06 . 08 . 0 ttxdtoensin112衰减振荡00 一、二阶系统的单位阶跃响应n2nn2 . 1j1js0 2.无阻尼 s1ssX2n22no 此时：此时：2n2sss1 x0(t)wnttpP54 图3-10 二阶 振 荡 环 节 单位阶 跃 响 应曲线 ttxnocos1等幅振荡01 一、二阶系统的单位阶跃响应nnnjs 1 1 3.22 . 1临界阻尼 s1ssX2n2no 此时：此时： n12n2sbsbsa x0(t)wnttpP54 图3-10 二阶 振 荡 环 节 单位阶 跃 响 应曲线不振荡 tttxb,ba,ntttnoeeennn11

16、1 12求出：01 一、二阶系统的单位阶跃响应 1 1 4.22 . 1nns过阻尼 s1sssssX212no 此时：此时：21sscssbsa x0(t)wnttpP54 图3-10 二阶 振 荡 环 节 单位阶 跃 响 应曲线不振荡动态过程更长 eetstsocbatxa,b,c21 求出：一、二阶系统的单位阶跃响应 0 5.1s2nn2 . 1 s01负阻尼 1s1sssssX1212no 不相等正实根xo(t)0tP 55 图 3-15 负 阻 尼 二 阶 系 统 的 单 调 发 散 响 应单调发散 21sscssbsa t1cbatxa,b,ceetstso21 求出：求出：xo(

17、t)0tP55 图3-14 负 阻尼 二阶 系统 的 发 散振 荡响 应 1- 02 共轭复根001 1 0 5.22 . 1 nnjs负阻尼发散振荡t0110101总总 结结 可以看出：可以看出： 11时时，二阶系统的单位阶跃响应具有单调上二阶系统的单位阶跃响应具有单调上升的特性，系统的稳定性较好；升的特性，系统的稳定性较好； 1 10 0时时，二阶系统的单位二阶系统的单位阶跃响应衰减振荡的，且趋于阶跃响应衰减振荡的，且趋于1 1，即系统是稳定的；，即系统是稳定的；=0=0时时，二二阶系统的单位阶跃响应是等幅振荡，系统临界稳定；阶系统的单位阶跃响应是等幅振荡，系统临界稳定；0 0时时，二阶系

18、统的单位阶跃响应是发散的，即系统是不稳定的。二阶系统的单位阶跃响应是发散的，即系统是不稳定的。实际系统。一般设计为实际系统。一般设计为0.40.80.40.8的欠阻尼状态，系统可以既的欠阻尼状态，系统可以既快又稳的跟踪输入信号。快又稳的跟踪输入信号。二、二阶系统的性能指标二阶系统 st1 1 瞬态性能？ sXssXio sXsLsXLtxioo111、二阶系统瞬态响应指标响应曲线从响应曲线从0上上升到稳态值的升到稳态值的100%所用时间所用时间rt响应曲线达响应曲线达到第一个峰到第一个峰值所用时间值所用时间pt在响应曲线的稳态值上，用稳态值的绝对在响应曲线的稳态值上，用稳态值的绝对百分数做一个

19、允许误差范围，响应曲线达百分数做一个允许误差范围，响应曲线达到并且永远保持在这一允许误差范围内所到并且永远保持在这一允许误差范围内所用的最小时间用的最小时间st10ttxopM %100oopoxxtx10这些点已被确定0.05或0.021、二阶系统的性能指标 10 dn2nn2 . 1j1js 2nn22nios2ssXsX n d2nj1j n 21tg 0sdj ttxdtoensin112 ttxdtoensin112 rt1 上升时间上升时间 0tsin1d2ten 则：则： 1txo 令令 0tsind ntd drt1n 取取 pt2 峰值时间峰值时间 0dttdxo 令令dpt

20、 求出求出 ttxdtoensin112 ttxdtoensin112 pdtpottxepnsin112sinsin pM3 最大超调量最大超调量 sin1121e2 %100oopoxxtx2n1 dpt代入n d2nj1j n 21tg 0sdj -1-2 100% 100%21-eoopopxxtxM 1 21-epotx 100% %21-epM 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1100 72.9 52.7 37.2 25.4 16.3 9.5 4.6 1.5 0.2 0Mp st4 调整时间调整时间 ttxdtoensin112调节时间的

21、实际计算方法：10ttxo2-11 net%512tes n-令令05. 0ln1n ns3t 2ns105. 0ln1t 得得 ttxdtoensin112 n-%212tes 若令若令ns4t 2-11 net05. 0ln1n n32105. 0ln1 nst由。越短，即系统响应越快越大，则一定时，当snt。最短，即系统响应最快左右时，的极小值，可得当求一定时，变化当ssntt707. 0愈长。愈大，则时，而当愈长；愈小，则时，当sstt707. 0707. 0较大时，近似度降低。的推导还可见，当另外，由st愈长。愈大，则时，而当愈长；愈小，则时，一定时，当当ssntt707. 0707

22、. 0阻尼比阻尼比0.707为最佳：为最佳：半。穿越其稳态值次数的一时间内，在：振荡次数)(0)5txttNos，知系统振荡周期为由ddtnoarctgtetx2T),1sin(11)(d22的取值不同，求得：根据ts）（0501512.N2nd1T2sstNt）（02. 0122N总结：总结：）（2211arctgtnr21npt%1001exp2Mp215 . 1Nnst3, 8 . 0050 . 0则，若u当当一定时，一定时，t tr r ，t tp p ，t ts s均与均与n n成反比，提高成反比，提高n n可减小可减小t tr r ，t tp p ，t ts s ，从而提高系统的响

23、应速度；，从而提高系统的响应速度；u当当n n一定时，若一定时，若增大，则增大，则t tr r ，t tp p增大，系统响应速度降低，增大，系统响应速度降低， 但但M Mp p和和N N减小，即振荡程度减轻；减小，即振荡程度减轻；u响应速度和振荡强度矛盾，应折衷选取响应速度和振荡强度矛盾，应折衷选取和和n n ，通常先根据，通常先根据MpMp 确定确定，继而确定其他参数；，继而确定其他参数；u上述公式只适用于上述公式只适用于 的情况，否则应先求出的情况，否则应先求出 单位阶跃响应函数，再根据定义求性能指标。单位阶跃响应函数，再根据定义求性能指标。2222)(nnnsss标准二阶系统瞬态响应指标

24、drt dpt 100% 21-epM %24t%53tnsns 例：系统框图如图所示，当系统输入例：系统框图如图所示，当系统输入Xi(t)=1(t)时，求系统的性能指标：上升时，求系统的性能指标：上升时间时间tr、峰值时间、峰值时间tp、最大超调量、最大超调量Mp、调整时间调整时间ts和震荡次数。和震荡次数。解：系统闭环传递函数：)1(1 ssXi(t)Xo(t)02. 0(10. 15 . 014. 3866. 0215 . 1)05. 0(83. 05 . 014. 3866. 05 . 115 . 1)02. 0(815 . 044)05. 0(615 . 033%3 .16%100s

25、63. 3866. 014. 3tps41. 2866. 005. 114. 3tr/866. 023105. 1601arctan5 . 0/rad1121211)()()(221dd22222222 NNstsstseMpsradradssssssXisXosnnndonnnnnn各性能指标为：各性能指标为：由此可知：由此可知：解得：解得：得得与标准型比较与标准型比较例：系统框图如图所示，当系统输入例：系统框图如图所示，当系统输入Xi(t)=1(t)时，求系统的性能指标：上升时，求系统的性能指标：上升时间时间tr、峰值时间、峰值时间tp、最大超调量、最大超调量Mp、调整时间调整时间ts和震

26、荡次数。和震荡次数。解：系统闭环传递函数：)1(1 ssXi(t)Xo(t)02. 0(10. 15 . 014. 3866. 0215 . 1)05. 0(83. 05 . 014. 3866. 05 . 115 . 1)02. 0(815 . 044)05. 0(615 . 033%3 .16%100s63. 3866. 014. 3tps41. 2866. 005. 114. 3tr/866. 023105. 1601arctan5 . 0/rad1121211)()()(221dd22222222 NNstsstseMpsradradssssssXisXosnnndonnnnnn各性能

27、指标为：各性能指标为：由此可知：由此可知：解得：解得：得得与标准型比较与标准型比较)02. 0(10. 15 . 014. 3866. 0215 . 1)05. 0(83. 05 . 014. 3866. 05 . 115 . 1)02. 0(815 . 044)05. 0(615 . 033%3 .16%100s63. 3866. 014. 3tps41. 2866. 005. 114. 3tr/866. 023105. 1601arctan5 . 0/rad1121211)()()(221dd22222222 NNstsstseMpsradradssssssXisXosnnndonnnnn

28、n各性能指标为：各性能指标为：由此可知：由此可知：解得：解得：得得与标准型比较与标准型比较 2222)(nnnsss Ks(s+1)1+khsxo(s)xi(s)+-P59图3-19例 1系统 方块图 Ks1KKsK1sssK1K11ssKsXsXh2hio srhhppttKKKK12 . 0Mt和和系统的系统的值下，值下，和和并确定在此并确定在此值值和和确定确定欲使欲使 K12K21KKKnhnh2n 0.456 0.2 - 解之，得解之，得依题意，依题意，e21pM ddp1t 则则依题意，依题意， 178. 0K12K21KK5 .1253. 3Knhnh22n 比较比较与标准二阶系统

29、与标准二阶系统2nn22ns2s 53. 3456. 01122dn 则则48. 24t65. 01arctg1tns2ddr 例3-1 203. 00029. 003. 0ppotMxP60 图3-20 质 量-弹簧-阻尼系统MFi(t)xo(t)kfMfK8.9Ntp0.0029P60 图3-21 系统 的 阶 跃 响 应曲 线xo(t)(m)t(s)0.0029pt求M、k、f 的数值 tFtkxtxftxMtxMtxftkxtFiooooooi 即：即： 2nn22n22ios2sk1MksMfsMkk1kfsMs1sFsX 2 , 2 nnMkMf有关系： s9 . 8kfsMs1s

30、FkfsMs1sX2i2o m03. 0k9 . 8s9 . 8kfsMs1slimssXlimx20so0so 由终值定理得由终值定理得 mN29703. 09 . 8k 0.6 0.030.0029 21-解之，得epM96. 16 . 01221t2n2ndp smNMfn 8 .1813 .7796. 16 . 022 kgkMn3 .7796. 129722 3-4 高阶系统的瞬态响应 对于一般二阶以上的单输入单输出线性定常系统，其传递函数可以表示为： nmasasasbsbsbsksXsXn1n1n1nm1m1m1mio nr2qs2spsbsbsbskq1jr1k2kkk2jm1

31、m1m1m s1sXt1txii 设：设： sXsXsXsXiioo 则：则： q1jr1k2kkk2jm1m1m1ms2spssbsbsbsk 12121 1sin 1coskktkrkktkqjtpjoteteetxkkkkj经拉氏反变换，得 rkkkkkkkkkqjjjosspsssX12222111则可以展开成：如果其极点互不相同， 可见，高阶系统的瞬态响应是由一些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数迭加组成的。当所有极点均具有负实部时，除了，其它各项随着t而衰减为零，即系统是稳定的。见教材 高阶系统通过合理的简化，可以用低阶系统近似。1、 系统极点的负实部愈是远离虚轴，则该极点对应的项在瞬态响应中衰减得愈快。 反之，距虚轴最近、并且附近不存在零点的闭环极点称之为。对应着瞬态响应中衰减最慢的项，该极点对（或极点）对瞬态响应起主导作用 工程上当极点A距虚轴的距离大于5倍的极点B距虚轴的距离时，分析时可忽略极点A。2、 闭环传递函数中，如果零、极点数值上相近，则可将该零点和极点一起消去，称之为。例：某系统闭环传递函数为例：某系统闭环传递函数为652334651024. 61040. 4100 . 81001025. 61012.