高二数学同步辅导教材(第18讲)

1、高二数学同步辅导教材（第18讲）一、 本章主要内容8.2 椭圆的简单几何性质课本第97页至第103页二、 本讲主要内容1、 椭圆的第二定义（圆锥曲线的统一定义）；2、 椭圆的简单几何性质；3、 椭圆的参数方程。三、 学习指导 1、根据曲线的条件求出其对应的方程，根据曲线的方程特征研究它的几何性质，是解析几何的基本问题。前者是手段，后者是目的。本节的椭圆方程是在以椭圆两个焦点的中点为原点，以对称轴所在直线为坐标轴这个坐标系下推导出来的。2、两个定义的统一性。教材P.100例4是椭圆的第二定义（它同时又是圆锥曲线的统一定义），它与第一定义是统一的。联系如下：教材第93页自上而下第七行为： 接下来作

2、如下整理： 表示动点M与右焦点F2的距离表示直线到点M的距离图见课本第100页例4图，用文字语言表述，即为第二定义当涉及到椭圆上的点到焦点距离时，通常用第一或第二定义去转化，降低运算量。利用第二定义可得焦半径（焦点与椭圆上点连线长度）：设椭圆上点P坐标为（x0,y0）当焦点在x轴上时，左焦半径r=a+ex0 右焦半径r=a-ex0当焦点在y轴上时，上焦半径r=a+ey0 下焦半径r=a-ey0注：当点P为长轴端点时，焦半径分别取得最大和最小值4、 椭圆的性质 （1）几何性质：位置关系：中心是两焦点、顶点的中点，两准线关于中心对称；焦点在长轴上；长轴与准线垂直；对称性（具有轴对称和中心对称）数量

3、关系：主要是距离的不变性。两焦点、长轴两个顶点、短轴两个顶点之间距离始终为2c，2a，2b；两准线之间距离为；焦点到对应准线距离（焦准距等等）离心率：，0<e<1基本图形：中心、短轴顶点、焦点构成直角三角形，三边关系满足a2=b2+c2 （2）解析性质与坐标系的选取有关。如下图：方程：（a>b>0） （a>b>0）焦点：（±c，0） （0，±c）顶点：（±a，0），（0，±b） （0，±a），（±b，0）准线：x=± y=±4、直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相交、相切，与直线

4、和圆的位置关系类似。判断方法是判别式（法）。当直线与椭圆相交时，设直线l与椭圆（a>b>0）相交于A、B两点，AB中点为M（x0，y0），对于与中点有关的问题通常有两种途径：（1） 列方程用韦达定理；（2）点差法，有结论：。 不管是哪一种途径，都体现了设而不求的思想。5、 椭圆（a>b>0）的参数方程为（为参数）； 椭圆（a>b>0）的参数方程为（为参数）。四、 典型例题 例1、定点A（-1，1），B（1，0），点P在椭圆上运动，求|PA|+2|PB|的最小值。解题思路分析：如果试图用距离公式建立函数关系，从而求最小值，显然是行不通的。注意到B（1，0）是焦

5、点，因此用定义转化2|PB|设右准线l：=4过P作PHl，H为垂足则 ， |PH|=2|PB| (|PA|+2|PB|)min=(|PA|+|PH|)min A、l分别为定点与定直线 过A作AH0l，交椭圆于P0，H0为垂足，则点P0为所求的点 (|PA|+|PH|)min=|AH0|=5注：实际上，|PA|+2|PB|=|PA|+|PB|。对于与焦半径及离心率有关的问题，一般用椭圆的第二定义转化。例2、过椭圆的左焦点F作倾斜角为的弦MN，若弦长不大于短轴长，求cos的取值范围。解题思路分析：本题cos范围所对应的不等关系很明显：|MN|2b=4，关系是如何求|MN|，焦半径的原理就是椭圆的第

6、二定义。设直线MN：，代入得(1+4k2)x2+16k2x+16(3k2-1)=0 焦点F在椭圆内部 该方程判别式0恒成立设M（x1，y1），N（x2，y2）则 x1+x2= 又|MN|=|MF|+|NF|=a+ex1+a+ex2=2a+e(x1+x2)=8+(x1+x2) 8+(x1+x2)4 x1+x2 由得：化简得：k2，即 注：当直线与椭圆相交时，对于交点，一般都用设而不求的思想处理。途径一就是本例的模型；列方程组，用韦达定理。另一种常用途径见下例。例3、焦点在x轴上的椭圆c的一顶点为B（0，-1），右焦点到直线m：x-y+=0的距离为3，（1） 求c的方程； （2）是否存在斜率k0的

7、直线l与c交于两点M、N，使|BM|=|BN|？若l存在，求出k的取值范围；若l不存在，注明理由。解题思路分析：（1） 设椭圆方程为（a>b>0） 则b=1，右焦点F（c，0） c=（舍），或c= c2=2，a2=b2+c2=3 椭圆c的方程为思路一：设M（x1，y1），N（x2，y2），MN中点P（x0，y0）则 两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0显然x1x2，等式两边同除以x1-x2得：即KMN= k=又 kBP=由得： 点P在椭圆内 化简得：k2<1 -1<k<1 k0 k(-1，0)(0,1)注：本题用了二元二次不等

8、式的几何意义，即点P（x0，y0）在椭圆的内部；点P（x0，y0）在椭圆的外部，结论与点和圆的位置关系判断相同。原理与二元一次不等式的几何意义相同。思路二：本题也可用韦达定理求解设直线l：y=kx+b代入，整理得：(1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0由=36k2b2-4(3k2+1)(3b2-3)=12(3k2-b2+1>0得： 3k2-b2+1>0 此不等式即为所求k的取值范围k与b的关系，或者说用b表示k的等式通过|BM|=|BN|来体现。如何转化|BM|=|BN|则为本解法的难点。用平面几何性质。取线段MN中点Q，则BQMN，。设M（x1，y1），N（x2，y2），M

9、N中点Q（x0，y0）则 BQMN 代入得： 3k2+1>0 3k2+1<4 k2<1 k0 -1<k<0，或0<k<1注：1、本题思路一的方法称为点差法。一般步骤是设出直线与二次曲线的交点坐标，将此点坐标代入二次曲线方程，再将两个等式作差，找到弦中点与斜率的关系。2、 思路二的难点是转化|BM|=|BN|。这里用了平面几何的性质。同学们在解题过程中应充分数形结合，简化计算。不管是哪一种思路，都体现了设而不求的思想。例4、椭圆，动点P（x，y）与定点A（a，0）（0<a<3）的距离最小值是1，求a的值。解题思路分析：本题应从如何求|PA|的

10、最小值着手，即寻找|PA|取得最小值的过程，而不是直接利用结论：|PA|min=1。用两点间距离公式建立函数关系设点P（3cos，2sin）则 |PA|2=(3cos-a)2+(2sin)2 =5cos2-6acos+a2+4令t=cos，|PA|2=f(t)，则t-1，1 f(t)=5(t-a)2-a2+4 0<a<3 0<a<（1） 当0<a1，0<a时，(f(t)min=f(a)=a2+4 a2+4=1 a=（舍） （2）当，3>a>时，f(t)在-1，1上递减 (f(t)min=f(1)=a2-6a+9 a2-6a+9=1 a=2，或a=

11、4（舍）综上所述，当a=2时，椭圆上点P（3，0）到定点A距离的最小值为1。例5、点P位于第一象限且在椭圆（a>b>0)上，O为坐标原点，A（a，0），B（0，b），求四边形OAPB面积的最大值，并求此时P点坐标。解题思路分析：因无法直接用公式求四边形OAPB的面积，故考虑对四边形OAPB分割途径一：连OP，则SOAPB=SOPB+SOPA设P(acos，bsin)，（0，），则 SOPB=bacos，SOPA=absin SOAPB=ab(sin+cos)当=，P（）时，(SOAPB)max=途径二：连AB，则SOAPB=SOAB+SAPB=ab+SABP,下求SAPB的最值。又

12、SAPB= 欲求SAPB的最大值，只要求点P到AB距离的最大值设P（acos，bsin）,(0，)直线AB：，即bx+ay-ab=0 点在直线AB上方 bacos+absin-ab>0 当=时，h取到最大值 注：1、在分割的过程中，应尽量向已知量靠拢。就本题来说，在关于目标函数面积的二元变量底边长及对应的高中，尽可能使得其中一个变量如常数，如途径一中分别以|OA|、|OB|为底边长。2、在途径二中求点P到直线AB的距离最大时，也可用平移方法。平移AB与椭圆弧相切时，则切点为所求点P，用=0用点P坐标。六、同步练习（一） 选择题1、 常数a>0，椭圆x2+a2y2=2a的长轴长是短轴

13、长的3倍，则a的值为A、 B、3 C、3或 D、2、中心在原点，焦点在x轴的椭圆，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴分成三等分，则此椭圆方程是A、 B、 C、 D、3、直线y=kx+1与椭圆总有公共点，则m取值范围是A、m>1 B、m1，或0<m<1 C、0<m<5且m1 D、m1且m54、椭圆的准线平行于x轴，则m的取值范围是A、m>0 B、0<m<1 C、m>1 D、m>0且m15、椭圆上有一点P，它到左准线的距离等于，那么点P到右焦点的距离为A、8 B、 C、 D、6、椭圆x2+4y2=4的准线方程是A、 B、 C、 D、7、从

14、椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为1200，则此椭圆的离心率e为A、 B、 C、 D、8、椭圆(1-m)x2-my2=1的长轴长为A、 B、 C、 D、9、当k<4时，取不同的两个k值，方程所表示的两个椭圆的准线、顶点和离心率、焦点A、都相同 B、只有准线相同 C、只有准线及离心率相同 D、只有焦点相同10、中心在原点，准线方程为x=±4，离心率为的椭圆方程是A、 B、 C、 D、（二） 填空题11、 若椭圆的一条准线方程为，则m=_。 12、过原点的直线与椭圆（a>b>0）相交于A、B两点，若F（c，0）是椭圆的右焦点，则FAB的最大面积是_。 13、已知椭圆

15、上一点P到两焦点的距离之积为m，则当m最大时，点P坐标为_。14、已知椭圆x2+2y2-2=0的两焦点为F1、F2，B为短轴的一个端点，则BF1F2的外接圆方程是_。15、若椭圆方程为x2+my2=1，离心率e=，则它的长半轴长为_。（三） 解答题16、面积为1的PMN中，tanPMN=，tanPNM=-2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点，且过点P的椭圆方程。17、如图，已知曲线4x2+9y2=36（x>0，y>0），点A在曲线上移动，点C（6，4），以AC为对角线作矩形形ABCD，使ABx轴，ADy轴，求矩形ABCD的面积最小时，点A坐标。18、F1、F2是椭圆4x2+5y

16、2=20的两个焦点，过F1作倾斜角为450的弦AB，求F2AB的周长和面积。19、已知椭圆（a>b>0），A、B是椭圆上两点。线段AB的中垂线与x轴交于点P（x0，0），求证： 20、过点P（4，1）作直线l交椭圆于点A（x1,y1），B(x2,y2)(x1>x2)，在直线AB上取点Q，使，求点Q轨迹方程。七、参考答案（一） 选择题1、C。 椭圆方程，当2a>，a>1时，a=3；当2a<时，0<a<1时，a=2、A。 2a=18，a=9；2c=2a，c=3，b2=723、D。 直线y=kx+1，过定点（0，1），只需（0，1）在椭圆内部（短轴）上

17、，1，m1，且m54、C。 焦点在y轴上，2m>，4m2-3m-1>0，m1，或m<（舍）5、A。 设左焦点分别为F1、F2，a2=25，b2=9，c2=16，e=,|PF1|=2，|PF2|=2a-|PF1|=86、C。 标准方程为，a2=4，b2=1，c2=3，焦点在x轴上，准线x=7、D。 如图，=600，a=b，c2=a2-b2=2b2，c=b，e=8、C。 椭圆标准方程为，m<0，此时1-m>-m>0，9、D。 k<4时，9-k>0，4-k>0，9-k>4-k，c2=(9-k)-(4-k)=5，c=，焦点（，0）10、A。

18、，b=（二） 填空题11、 1 焦点在y轴上，a2=9，b2=m+4，c=，由得m=112、 bc 当AB为短轴时，A、B纵坐标的绝对值最大，13、（0，3），（0，-3） a2=25，b2=9，a=5，b=3，c=4，e=，设P（x0，y0），则M=(a+ex0)(a-ex0)=25-x0225，当且仅当x0=0时，m取得最大值，此时y0=±314、 x2+y2=1 a2=2，b2=1，c2=1，|BF1|2+|BF2|2=a2+a2=2a2=4=(2c)2，F1BF2=900，F1BF2外接圆圆心为原点O，r=c=115、 1或2 椭圆标准方程，当时，b=1，c=代入得m=，a=，当时，a=1（三） 解答题16、 解以MN所在直线为x轴，线段MN中垂线为y轴建立平面直角坐标系设P（x0，y0），则， 又 ， 2a=|PM|+|PN|= ，b2=3 椭圆方程17、 解：设A（3