数列极限的运算性质

1、极限的运算教学目标1 熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限.2 理解和掌握三个常用极限及其使用条件培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解 决数列极限问题的能力.3 正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质 变的一种辩证唯物主义的思想.教学重点与难点 使用极限四则运算法则及 3个常用极限时的条件.教学过程（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限 师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个1 常用极限：lim =0 , lim c=c , lim qn=0 （|q|<i ）来解决。n nnn例1:求下列极限：32(1)

2、limn7n 3n n 5 4n31八 7n3 - 3n3 + n + 5师：（1）中的式子如何转化才能求出极限.生：可以分子、分母同除以 n3，就能够求出极限.315.,3,1571- 2 + -r hm7 litn I- lim -y + lim r解 厚式 111 口 口 叶帕nf 旳口nf 席nlim4 -lim p70+0-0_740 = 4师：（2）中含有幕型数，应该怎样转化?生；可以转化成li临JQ的形式.分子、耸母同时除以歹.解：原式二幌行JtL3lim；T?223JnL10-13师：分子、分母同时除以 3n-1结果如何?生：结果应该一样.解;原式諱1-0 1S-0T 3师：分

3、子、分母同时除以 2n或2n-1，能否求出极限?_ J生；不能.因= 0中，|q|< 而y>1,召卫十驾_生日十+珀门十 、亠师；当叫冷+“匚斗二* * Cp, q£N）要求ImiMn时，一般方法是把分子、分母同除弘的最高次為 转化威求数列£ 的极限问题.当厂q昨卿严当pCq时.limML =0.rrM（二）先求和再求极限例2求下列极限:1-卜匚护-i當_尹9 _亠（_ 3由学生自己先做，教师巡视.师；第1）题有的同学结果得0,有的得？写出耒大家分析、判断正误.解祛1：原式事臨T亍凹中十+ lim-ii-g3n + 1解袪2原式站甘？二十陽 7叶 xn -1n-

4、*-n生：因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况此题当nth,和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的.师：解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运算法则的条 件，从而求出了极限第（2 ）题应该怎样做?生：用等比数列的求和公式先求出分母的和.-吊珀'4 * r-314 （- 3）解;原式魄厂帀占匚铲=出=寸題订厂=12 .师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限项和的问题 中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件.例3求下列极限:（3n 一 2）（3n 十 1）+4 +1 - 4-4 - 7 7 - 10

5、师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点, 想出对策.生：（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形.2 3411 十 1 2n 鼻 3 45 a + 2 _ n + 2故原式2n生：（2）题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形.1 1 市 + 4* 7 7 ；10 + (3n-2)3n + l)例4设首项为1，公比为q (q >0 )的等比数列的前 n项和为Sn,设T孕 nN-*rt师：等比数列的前 n项和Sn怎样表示?l-q生乙 当q=l时，Sn = na,；当灾右时，S-1'1 - q师：看来此题要分情况讨论了.生*最简单的情况是当q二1时，3

6、血=呵二g则乙=limTL = 1.L8 n- 1 -师！回答正确.q#l时，E =-屮如驰人=?生因廻蛹0中，|q|< 1 -所以当q尹1时，还要再分情况 讨论.当 q > 1 时 n ltmT q ;当 0 < q < 1 时.liinT 1 .师：综合两位同学的讨论结果，解法如下:辄当“时虫F f则Tj字,恤儿二腰罟：1；当小且沪时*丄小叶当0<q<时占麻韋&十斗当宀昨器承因此当0<q<l时,恋肌=1;当ql时，恋旺=Q-师：本例重点体现了分类讨论思想的运用能够使复杂问题条理化同学们在利他删J|q| < 1求概限方面有了很大进

7、歩.（三）公比绝对值小于 1的无穷等比数列前 n项和的极限师：禾U用无穷等比数列所有各项和的概念以及求极限的知识，我们已经得到了公比的 绝对值小于1的无穷等比数列各项和的公式:4着其中涯数列的首项，q松比.例5计算：数列:卡彩，Ji"*所有项的和无穷等比数列J2+1, 1, 72-1, 所有奇数项的和.题目不难，可由学生自己做.师：（1 ）中的数列有什么特点？生：首项弔是二 公比是 冷的无穷等比数列 |-吕<1,可以直3_ =丄114师：（2）中求所有奇数项的和实质是求什么?生 实质是求无那比数列72+1?屈所有项的和 眄二师；便用公式$ =尹要注意三个问题；1-Q（1 ）所给

8、数列是等比数列；（2）公比的绝对值小于 1 ；G）前门项和与所有项和的关系S=limS = n-*» "例6己知血兽炉= !求站值iit閃 3- 5n 2< 2）己现理w 7我二二求俎的取值范围（四）利用极限的概念求数的取值范围叶忖严 1 * （tn-2广2' '"' _ "师：（1 ）中a在一个等式中，如何求出它的值.生：只要得到一个含有 a的方程就可以求出来了.师：同学能够想到用方程的思想解决问题非常好，怎样得到这个方程?生：先求极限.111 -I 1 丄1.lim5 = lim.-二2Z 3 -九亠唧 3-乱 5因一

9、5° 2f 贝"' -25T师：(2)中要求m的取值范围，如何利用所给的等式？生观察所给竽式的左侧，发现墓求极限需要利規驰这里|q| v 1，正好能得到一个含有m的不等式，解不等式就能求出m的范围.由已知，上式值为因此hrn2liT如m -2V2=山于是有解得0 v m v 4 .师：请同学归纳一下本课中求极限有哪些类型?生：主要有三种类型:(1 )利用极限运算法则和三个常用极限，求数列的极限；(2 )先求数列的前n项和，再求数列的极限；(3)求公比绝对值小于 1的无穷等比数列的极限.师：求数列极限应注意的问题是什么？生甲：要注意公式使用的条件.生乙：要注意有限项和

10、与无限项和的区别与联系.上述问答，教师应根据学生回答的情况，及时进行引导和必要的补充.（五）布置作业1 填空题:Cl) lim 迁 1;(2)伽IL-*00 3il 十4.2 + 4十6十宀+2口x)rwl + 3 + 5+(2n + 1)n + 1 n135十 +亠+I 口 口n广八,1 + 2 + 25 +'- +26丿 lim-p3 + 3 + * + 3讪 + 1 n+l(?)当o<b<融时inn - ii-*m a + b>2 选择题:（数列的通项仝式为孑（=金）叫若帥存在,则x的取值范围是若鶴（陆叫）（陆+4%） =-1 ,则尿（轴）的值是B. -2C.

11、1D . -1作业答案或提示i0-*1；-111；0；(7) a.2 选择题:(1)提示；当|3-5k|<1时.册务=0解得彳害二当3-5x = l2眄limaji=h解得筈=二.故选C.(2 )由于所给两个极限存在，所以an与bn的极限必存在，得方程故an ( 3-Hh ) =2 ,故选 A .以上习题教师可以根据学生的状况，酌情选用.课堂教学设计说明1 掌握常用方法，深化学生思维.数学中对解题的要求， 首先是学生能够按部就班地进行逻辑推理，寻找最常见的解题思路，当问题解决以后，教师要引导学生立即反思，为什么要这么做？对常用方法只停留 在会用是不够的，应该对常用方法所体现的思维方式进行

12、深入探讨，内化为自身的认知结 构，然后把这种思维方式加以运用例1的设计就是以此为目的的.2 展示典型错误，培养严谨思维.第二课时数列极限的运算性质教学目标：1、掌握数列极限的运算性质；会利用这些性质计算数列的极限2、掌握重要的极限计算公式：lim(1+1/n) n=e教学过程：一、数列极限的运算性质如果 lima n=A , limb n=B，那么( 1 ) lim(a n+b n)= lima n+ limb n =A+B (2 )lim(a n-b n)= lima n- limb n =A-B( 3 ) lim(a n?bn)= lima n? limb n =A ?B( 4 ) lim

13、(a n/b n)= lima n/ limb n =A/B ( B 0， b n 0)注意：运用这些性质时，每个数列必须要有极限，在数列商的极限中，作为分母的数列的 项及其极限都不为零。数列的和的极限的运算性质可推广为：如果有限个数列都有极限，那么这有限个数列对应 各项的和所组成的数列也有极限， 且极限值等于这有限个数列的极限的和。 类似地， 对数列的积的极限的运算性质也可作这样的推广。注意：上述性质只能推广为有限个数列的和与积的运算， 不能推广为无限个数列的和与积。二、求数列极限1、 lim ( 5+1/n ) =52、 lim(n 2-4)/n 2=lim(1-4/n 2)=13、lim

14、(2+3/n) 2=44 、 lim(2-1/n)(3+2/n)+(1-3/n)(4-5/n)=105、 lim(3n 2-2n-5)/(2n 2+n-1)=lim(3-2/n-5/n2)/(2+1/n-1/n 2)=3/2分析：由于 lim(3n 2 -2n-5) 及 lim(2n 2+n-1) 都不存在，因此不能直接应用商的极限运 算性质进行计算。为了能应用极限的运算性质，可利用分式的性质先进行变形。在变 形时分子、分母同时除以分子、分母中含 n 的最高次数项。4、一个重要的数列极限我们曾经学过自然对数的底 e 2.718 ，它是一个无理数，它是数列 (1+1/n) n 的极限。lim(1

15、+1/n) n =e (证明将在高等数学中研究) 求下列数列的极限lim(1+1/n) 2n+1 =lim(1+1/n) n ?(1+1/n) n ?(1+1/n)=e ?e?1=e 2lim(1+3/n) n =lim(1+1/(n/3) n/3 3=e 3分析：在底数的两项中，一项为 1 ，另一项为 3/n ，其中分子不是 1，与关于 e 的重 要极限的形式不相符合，为此需要作变形。其变形的目标是将分子中的3 变为 1 ，而不改变分式的值。为此可在 3/n 的分子、分母中同时除以 3 ，但这样又出现了新的矛盾，即分 母中的 n/3 与指数上的 n 以及取极限时 n 不相一致， 为此再将指数上的 n 改成 n/3 ?3， 又因为 n 与 n/3 是等价的。lim(1+1/(n+1) n=lim(1+1/(n+1) (n+1)-1 =lim(1+1/(n+1) n+1 /lim(1+1/(n+1)=e练习：计算下列数列的极限lim(3-1/2n)=3 lim(1/n 2+1/n-2)(3/n-5/2)=5lim(-3n 2-1)/(4n 2+1)=-3/4lim(n+3)(n-4)/(n+1)(2n-3)=1/2