第五章测量误差知识

1、误差理论的应用误差理论的应用 第五章测量误差知识课堂练习题第五章测量误差知识课堂练习题 第五章测量误差知识课堂练习题答案第五章测量误差知识课堂练习题答案 结束结束 测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：1、对同一量多次观测，其观测值不相同。2、 观测值之和不等于理论值： 三角形 +180 闭合水准 h0一、一、 等精度观测：观测条件相同的各次观测。 不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。1. 仪器误差2. 观测误差3. 外界条件的影响观测条件粗差：因读错、记错、测错造成的错误。二、二、 在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出以下特性： 误差的绝对值为一常量，或按一定的

2、规律变化； 误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化； 误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。 1、系统误差 误差的大小、符号相同或按 一定的规律变化。 钢尺尺长、温度、倾斜改正 水准仪 i角 经纬仪 c角、i角 注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。 1）校正仪器； （2）观测值加改正数； （3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。 在相同的观测条件下，对某个固定量作一系列的观测，如果观测结果的差异在正负号及数值上，都没有表现出一致的倾向， 即没有任何规律性，这类误差称为偶然误差。 2、偶然误差 偶然误差的特性偶然误差的特性180lxl真误差观测值与理论值之差观测值与理论值之差正态分

3、布曲线正态分布曲线四个特性：四个特性：有界性，趋向性，对称性，抵偿性有界性，趋向性，对称性，抵偿性。 0limlim21nnnnn -21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24x= y误差分布频率直方图误差分布频率直方图 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等， 可相互抵消； 同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平 均值，随着观测次数的增加而趋近于零， 即： 0limnn在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度;（有界性）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会要多；（密集性、区间性）（抵偿性）1、粗差：舍弃

4、含有粗差的观测值，并重新进行观测。2、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵 消和削弱。3、偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据 减少其影响。返回精度：又称精密度，指在对某量进行多 次观测中，各观测值之间的离散程度。评定精度的标准 中误差 容许误差 相对误差 一、一、 中误差中误差 定义 在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观测，观测值l1， l2，ln，偶然误差（真误差）1，2，n，则中误差m的定义为：nmxliin,.2232221式中式中 式中：例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。 解：第一组观测值的中误差：解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：第二

5、组观测值的中误差： ，说明第一组的精度高于第二组的精度。，说明第一组的精度高于第二组的精度。说明：中误差越小，观测精度越说明：中误差越小，观测精度越高高5 . 210) 4(2) 1() 2(34) 3(12022222222221 m2 . 310) 1() 3(017) 1(0) 6(2) 1(22222222222 m21mm 定义 由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。二、容许误差（极限误差）二、容许误差（极限误差） 测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差； 即容=2m 或容=3m 。极限误差的作用：极限

6、误差的作用：区别误差和错误的界限。区别误差和错误的界限。 超出超出317317；超出；超出2 24545；超出；超出3 333。 n偶然误差的绝对值大于中误差9的有14个，占总数的35%，绝对值大于两倍中误差18 的只有一个，占总数的2.5%，而绝对值大于三倍中误差的没有出现。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。 相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式 来表示，称其为相对（中）误差。即:mDDmK1三、三、 相对误差相对误差 :角度、高差的误差用m表示， 量距误差用K表示。 返往平均DDDK1例 已知：D1=100

7、m, m1=0.01m，D2=200m, m2=0.01m，求： K1, K2解：20000120001. 010000110001. 0222111DmKDmK返回 概念 误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值 函数中误差的关系的定律。 函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数 常见函数形式常见函数形式 一、倍数函数形式一、倍数函数形式 倍数函数形式：倍数函数形式：函数真误差：函数真误差： (i=1,2, n)(i=1,2, n)上式平方有：上式平方有：(i=1,2, n)(i=1,2, n)上式求和除以：上式求和除以：由中误差定义可知：由中误差定义可知： 将将代入代入式有：式有：kxZ

8、iixkZ222)()(iixkZnZmiz22)(nxknZii222)()(nxmix22)(xzxzkmmmkm222 mdD38500mmmdD1 . 0500 量得某圆形建筑物得直径D=34.50m,其中误差 ,求建筑物得园周长及其中误差。解：圆周长)(03. 038.10803. 0)01. 0(1416. 338.10850.341416. 3mPmmmDPDP=结果可写成中误差mmD01. 0 例题例题2 2： (i=1,2, n)(i=1,2, n)yxZiiiyxZiiiiiyxyxZ2222nyxnynxnZiiiii2222, 0limnyx222yxzmmm 假设假设

9、nxxxxZ 32122322212xnxxxzmmmmm xnxxxmmmmm 321nmmmnmzz22 例题例题3 3：某测站测得后视读数某测站测得后视读数4.3984.398，前视读数，前视读数3.2553.255，3 3，求和，求和。解：解：4.3984.3983.2553.2551.1431.143（）2 2 （）2 2 （）2 23 32 23 32 21818mmmh2318所以， 4322llllDmmmD1045差及其中误差。两点间的高求中误差得高差到从中误差得高差进行到水准测量从CAmmCBmmmhmhhBCBChABAB,009. 0,747. 5,012. 0,476

10、.15 B,A)(015. 0223.21015. 0223.21747. 5476.15009. 0012. 02222mmmhmmmhhhAChBChABhACBCABAC+=+=+=+=+=+=解： 例题例题5 5：3.用长30m得钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为5mm，求全长D及其中误差。)(016.030016105.30010301021mDmmnmmDmDlDlll=+=但解：全长 例题例题6 6： 1 11 12 22 2n nn n1 11 11 12 2n nxzxzkmmmkm22222322212xnxxxzmmmmm 222323222221212nnzmkm

11、kmkmkm 设非线性函数的一般式为：式中： 为独立观测值； 为独立观测值的中误差。 求函数的全微分，并用“”替代“d”，得),(321nxxxxfz ixnmmmm,321 nxnxxZxfxfxf )()()(2121 式中： 是函数F对 的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：ixf), 2 , 1(ni 22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm ix2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm 误差传播定律的一般形式误差传播定律的一般形式 例已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角=15000030求：水

12、平距离D解：1.函数式 2.全微分 3.求中误差 dDDddD)sin()(cos cosDD2222203)15sin50(05.0)15(cos)sin()(cos mDmmDD)(048.0mmD 1.列出观测值函数的表达式： 2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式： 式中， 是用观测值代入求得的值。 ),(21nxxxfZ nxnxxZdxfdxfdxfd)()()(2121 )(ixf 求观测值函数中误差的步骤：五、五、 运用误差传播定律的步骤运用误差传播定律的步骤 3、根据误差传播率计算观测值函数中误差： 注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观 测值必须是

13、独立观测值。 22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm 函数名称函数名称函数式函数式函数的中误差函数的中误差倍数函数倍数函数和差函数和差函数线性函数线性函数一般函数一般函数nxxxz21nnxkxkxkz2211),(21nxxxfZ kxz xzkmm22221nzmmmm2222222121nnzmkmkmkm2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm 返回 设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为l1、l2ln，中误差为m1、 m2 mn，则其算术平均值（最或然值、似真值）L 为： nlnlllxn 21一、一、 求最或是值（求最或是值（算术平

14、均值算术平均值）L L 设未知量的真值为x，可写出观测值的真误差公式为 （i=1i=1，2 2，n n）将上式相加得 或故 nxlllnn )(2121nxl xnln推导过程：xlii 由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时， 即 （算术平均值） 说明，n n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。趋近无穷大时，算术平均值即为真值。 0limnn Lnlxn, 例题例题1： 对某段距离用同等精度丈量了6次，结果列于下表，求这段距离的最或然值，观测值的中误差及最或然值的中误差。解：LixLixiixLxLLLiiLLLxvLxnnLnLnLxLL)()(000000=+=+=+=+=+=又则令

15、 例1（续）次序观测值(m)v(mm)vv(mm2)1346.53515+4162346.54828-9813346.5200+193614346.54626-7495346.55030-111216346.53717+24v=-2vv=632mxmmnmMmLxnvvmnxLx005.0539.3466 .462 .11539.346019.0520.3461663211961160=+=+=)(116 mmL520.3460L取116L 因为 式中，1n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。 设平均值的中误差为mL，则有 nlnlnlnnlL11121 2222222122

16、1111mnmnmnmnmnL 二、二、 算术平均值中误差算术平均值中误差mL nmmL 由此可知，算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍。 n1故，故，算术平均值的中误差为： 三、精度评定 第一公式 第二公式（白塞尔公式白塞尔公式）这是观测值的中误差条件：观测值真值已知条件：观测值真值未知， 算术平均值L已知nm1nVVm其中 观测值改正数，iViilLV 证明证明：1nVVnmiilLVxlii（i=1，2，3，n）两式相加，有xLViiiiv即解解：（i=1，2，3，n）设 则 xL 将上列等式两端各自平方，并求其和，则 22nVVV将将 代入上式，则代入上式，则 2nvv 0lLnv

17、故故 222nnnnQPn 2222)(12433221222212（PQ）又因又因 nnxlxnlxL 由于 为偶然误差，它们的非自乘积 仍具有偶然误差的性质，根据偶然误差的特性，即n ,21QP0limnQPn21)1(mnVVnVVnnnVV 例题：设用经纬仪测量某个角6测回，观测之列于 表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。算术平均值L中误差是：1 . 1) 16( 634) 1( nnVVnmmL返回 误差理论的应用误差理论的应用LmmkmLLmlmLlmlLmmlLnnlLlnmmmhhhhhhhhn2,1,21=+=中站站站站站的中误差为每公里往返测高差中数中误差。是每公里

18、水准测量高差即时，当则令则即全长设每站距离均为，则均为设每一站高差的中误差一、水准测量的精度二、铁路线路水准的限差：二、铁路线路水准的限差：mmLmFmmLmmLmmLLmmLmmmmmfhhLfhkmLkm302152)(25 . 725 . 7.5 . 7=容许高差闭合差为的中误差即闭合差公里往返高差之差中误差为公里单程水准测量高差则平均值的中误差不大于要求每公里往返测高差铁路线路水准测量中，单单单单误差理论的应用误差理论的应用三、两半测回角值之差的限差：三、两半测回角值之差的限差：034327122122122626,6=故铁路线路测量规定为误差，则有若取两倍中误差为容许误差为：两半测回

19、角值之差的中故半测回角的中误差为一测回角的中误差为一测回方向中误差为对于半半方方mmmmmmmmJ误差理论的应用误差理论的应用两测回角值之差的限差：两测回角值之差的限差：03,422:21226266=为两测回角值之差的限差对于定差，故铁路线路测量规考虑到还有一些其他误误差，则容许误差若取两倍中误差为容许差为：两测回角值之差的中误一测回角的中误差为DJmmm误差理论的应用误差理论的应用四、钢尺量距的精度：四、钢尺量距的精度：差是单位长度的偶然中误，则令DmlmDlmlDmnmmnlDDD=误差理论的应用误差理论的应用返回第五章测量误差知识课堂练习题一、填空题：85.测量误差是由于_、_、_三方

20、面的原因产生的。86.直线丈量的精度是用_来衡量的。87.相同的观测条件下,一测站高差的中误差为_。88.衡量观测值精度的指标是_、_和_。89.对某目标进行n次等精度观测,某算术平均值的中误差是观测值中误差的_倍。返回第五章测量误差知识课堂练习题90.在等精度观测中,对某一角度重复观测多次,观测值之间互有差异,其观测精度是_的。91.在同等条件下，对某一角度重复观测次，观测值为、其误差均为，则该量的算术平均值及其中误差分别为和_。92.在观测条件不变的情况下,为了提高测量的精度,其唯一方法是_。93.当测量误差大小与观测值大小有关时,衡量测量精度一般用_来表示。返回第五章测量误差知识课堂练习

21、题94.测量误差大于_时,被认为是错误,必须重测。95.用经纬仪对某角观测四次,由观测结果算得观测值中误差为20,则该角的算术平均值中误差为_96.某线段长度为300m,相对误差为1/1500,则该线段中误差为_。97.有一N边多边形,观测了N-1个角度,其中误差均为10,则第N个角度的中误差是_。返回第五章测量误差知识课堂练习题二、选择题：45.在等精度观测的条件下，正方形一条边a的观测中误差为m，则正方形的周长（=4a）中的误差为（）.m； .2m； .4m46.丈量某长方形的长为=200.004m，宽为b=150.00m，它们的丈量精度（ ）相同；.不同；.不能进行比较47.衡量一组观测

22、值的精度的指标是（）.中误差；.允许误差；.算术平均值中误差48.在距离丈量中，衡量其丈量精度的标准是（ ）.相对误差；.中误差； .往返误差返回第五章测量误差知识课堂练习题49.下列误差中（）为偶然误差.照准误差和估读误差；.横轴误差和指标差；.水准管轴不平行与视准轴的误差50.若一个测站高差的中误差为m站，单程为个测站的支水准路线往返测高差平均值的中误差为（）.nm站；. . 51.在相同的观条件下，对某一目标进行个测站的支水准路线往返测高差平均值的中误差为（）.； .； . mn站2/mn站nm/）（1/nm）（1/nnm返回第五章测量误差知识课堂练习题52.对三角形进行次等精度观测，其真误差（闭合差）为：+4；-3；+1；-2