第二章 误差分析

1、第二章 误差分析数值计算中得到的近似值与精确值之差误差 本章主要研究误差的来源和分类，误差的计算和估计方法以及如何减小误差的危害等问题。1. 模型误差误差的来源和分类例：自由落体运动忽略了空气的阻力。2. 观测误差 在数学模型中包含的参量一般是通过实验观测确定的，其精度依赖于仪器和人的操作。抽象,简化3. 截断误差 模型的准确解和数值方法求出的近似解之差称为截断误差，或叫方法误差。, .! 5! 3sin53xxxx.! 5)! 3(sin53xxxx等式的右边就是截断误差。例:如果取等式右边前两项为sinx的近似值，则例：指数函数ex可展开成下列幂级数形式但在实际计算时，不可能计算无穷多项，

2、只能截取有限项，取用Sn(x)作为ex的近似值，其截断误差为.!.! 212nxxxenx!.! 21)(2nxxxxSnn.! 1)(1nxexSnxn4. 舍入误差 计算机对数据四舍五入 例: 用3.1415926作为的近似值 模型误差和观测误差是客观存在的，而截断误差和舍入误差是由计算方法引起的，因此后两种误差是我们在计算物理课中主要研究的；讨论误差在计算过程中的传递和对计算结果的影响，并找出误差的界，对研究误差的渐进特性和改进算法的近似程度具有重大的意义。误差与有效数字1.绝对误差(error)和绝对误差限 设某物理量的精确值为x*，用某种方法计算出的近似值为x，则称e= x*- x为

3、x*的绝对误差，简称误差。 e显示出近似值x的准确程度，在同一量的不同近似值中，e越小，x的准确度越高。注意：绝对误差e可正可负 一般某一量x*的精确值是不知道的，因而也无法求出，但是往往可以估计出e的范围，即存在，使得xxe* xx*成立 （2-1） 称为x的绝对误差限，简称误差限或精度；越小，近似值x的精度越高。 另外一种写法：2.相对误差(relative error)与相对误差限相对误差定义为绝对误差与精确值之比，即 称为近似值的相对误差。xxxxxxxeer*注意:1.实际运算中x*不可知，此处用x代替。 2.相对误差是无量纲的数，通常用百分比表示，称为百分误差。（2-2） 类似于绝

4、对误差的情况，可以估计相对误差的范围，若存在r，使得 rxxxxe*称r为近似值x的相对误差限。 例：已知| x-x* |1cm，问测量长度为100m物体与10m物体时的相对误差分别是多少？%01. 010001. 0re%1 . 01001. 0re（2-3）100m物体10m物体交通之误差 马里列本火车站挤满了回家的旅客。一列又一列的火车不是误点就是取消。终于一位愤怒的旅客对车站职员说：“我不明白英国铁路公司干吗要印时刻表！”车站职员说：“我也不知道，不过，要是不印时刻表的话，你就无法说出火车究竟误点多久了，对吗？”3.误差与有效数字 若近似值x的绝对误差限是某一位的半个单位，就称其“准确

5、”到这一位，且从该位直到x的第一位非零数字共有n位，则称近似数x有n位有效数字。 例：下列各数358.467，0.00427511，8.000034，8.000034102的具有5位有效数字的近似值分别是 有效数字既能表示数字的大小，又能表示近似值的精确程度。358.47，0.0042751，8.0000，800.00。 knnaaax10)10.1010(2211（2-4） 其中a1，a2，an是09这十个数字中的一个数，其中a10 ，n是正整数，k是整数，且x的绝对误差限满足不等式 则称近似数x具有n位有效数字。 nkxx1021*有效数字的表示法如下：设x为x*的近似数，将x写成（2-5

6、）x*xe1.7011.700.001 21.700.002 31.700.003 41.700.004 51.71-0.005 -0.004 9-0.001例：分别对以下数值保留3位有效数字，得01.021005.0e绝对误差限是近似值末尾所在位的单位数值的一半。有效数字与绝对误差限的关系有效数字与相对误差限的关系 定理一 若某数x*的近似值x具有n位有效数字， 则其相对误差限为 证明：由（2-5）式，可得 再由 （2-4）式可得111021nra111110) 1(10kkaxa1111*1021101021nknkraaxxxknnaaax10)10.1010(2211定理二 若近似值x

7、的相对误差限为则x至少具有n位有效数字。证明:1110) 1(21nra1111*10) 1(2110) 1(nkraaexxx111110)1(10kkaxank1021例：已知x的相对误差限r=0.3%，问x的有效数字位数至少有几位？把a1的最大值9代入公式，得出对应n的最小值分析得，nra1110) 1(21%3 . 0nnn102110102110) 19(21100031003 . 0113n 在混沌学中有一种称为“蝴蝶效应”的奇异现象：一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。”其原因就是蝴蝶扇动翅膀的运动，导致其身边的

8、空气系统发生变化，并产生微弱的气流，而微弱的气流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起一个连锁反应，最终导致其他系统的极大变化。误差的传递 数值计算中误差产生与传播的情况非常复杂，参与运算的数据往往都是些近似数，他们都带有误差，而这些数据的误差在多次运算中又会进行传播，使计算结果产生一定的误差，这就是误差的传递。下面介绍用函数的Taylor公式来估计误差的一种常用方法。以一元函数为例： 设x*的近似值为x，y*=f (x*)的近似值为 y=f(x)，由泰勒展开公式，我们得到 )*)()(*)(*xxxfxfxfyyexf)( 两边除以 f (x)，得)*()()()()(*)

9、(xxxfxfxfxfxfrexfxf xxxxxfxf x)()()*()()(.)*(! 2)()*)()(*)(2 xxxfxxxfxfxf收敛性与稳定性 收敛性与稳定性是计算方法的理论问题。一个计算方法的好坏成败，除了与计算格式的简练紧凑有关外，最本质的核心问题就是收敛性与稳定性问题。 收敛性指通过数值计算得到的近似解是否能够逼近数学模型真解的性质；而稳定性指在数值计算中，误差的传播能否得到控制的性质。 粗略说来，收敛性主要是研究方法误差问题，而稳定性则更关注舍入误差问题。在一定条件下，两者又可以是关联的、等价的。 由于计算物理的复杂性，要弄清楚所采用的方法的收敛性和稳定性，往往相当困

10、难。我们不能等待解决了收敛性、稳定性之后再去计算，而是要在计算机实验中进行解决。但另一方面，我们又必须对计算方法的收敛性、稳定性问题有所了解，以利于对计算结果进行分析。误差危害的防止 1. 选用数值稳定的计算公式，控制舍入误差的传播。 在计算过程中误差不会增长的计算公式称为数值稳定的，否则就是不稳定的，为了不影响数值计算结果的精确度与真实性，在实际中我们应尽量选用数值稳定的计算公式，避免使用数值不稳定的公式。举例：求积分101dxexExnn),.,2, 1(nn 1010111011dxexnexdexxnxnxn),.,2 , 1(11nnnEEnn06848. 0,.,367879. 0

11、,19110EEeE*00EE*1*0*01)1 ()(1EEEE 此值错，因为En应大于0，以下分析误差传递的过程，设E0的误差为-代入22)21 ()( 2121*2*1*112EEEEE 由此看出公式的每一步计算过程中误差都被放大了，于是我们改用另一种公式进行计算：!)1(*nEEnnn.nEEnn11当 时，n0nE0916123.00920EE设 由上面的计算可知，第二个公式是数值稳定的。2.避免相近数相减，造成有效数字位数锐减例：使用3位计算机求 的值。首先计算 ，这样计算结果为0。 避免方法： 301. 922sin210)2cos1 (10277x321067. 1300. 3

12、01. 0301. 9301. 9301. 9) 301. 9)(301. 9(301. 90016662. 301. 9例：3.防止大数“吃掉”小数例：对a、b、c进行加法运算，其中a=1012， b =10，c-a，若按(a+b)+c的顺序编制程序，在计算机上计算，则其结果接近于零，原因是a“吃掉”b，且a与c互相抵消，。 解决办法：按(a+c)+b的顺序编制程序，可得到接近于10的真实结果。例如研究物体的阻尼运动，阻尼系数很小。5.简化公式，减少运算次数（减少舍入误差） 同一个问题选用更为简单的计算公式减少运算的次数，不但可以节省计算量，提高计算速度，还能简化逻辑结构，减少误差累积，这也是数值计算所遵循的原则之一。4.绝对值太小的数不能做除数 有可能数值过大超范围，同时增大误差。2 .2718001. 07182. 21 .24710011. 07182. 2例：例如：计算和式 的值 若直接逐项求和，则其运算次数很多，而且误差累积也不小。 若将该和式简化为则整个计算就只需一次除法和一次减法。10001)1(1nnn100111111) 1(11000110001nnnnnn小结误差的基本概念和分类绝对误差及绝对误差限，相对误差和相对误差限的概念误差与有效数字的关系防止误差危害的