参数估计与假设检验 (2)ppt课件

1、第四章 延续型随机变量的 参数估计与检验n第一节第一节 参数估计参数估计n第二节第二节 假设检验假设检验n第三节第三节 单个正态总体的参数检验单个正态总体的参数检验n第四节第四节 两个正态总体的参数检验两个正态总体的参数检验一、点估计及其性质一、点估计及其性质估计量：设估计量：设 为总体为总体X X的一个未知参数，统计量的一个未知参数，统计量 称为称为 的估计量。的估计量。1,nXX 经过一次详细抽样值经过一次详细抽样值 ，估计，估计参数参数 取值的方法称为参数的点估计问题。取值的方法称为参数的点估计问题。12,nx xx 一个待估参数一个待估参数 ，可以有几个不同的估计量，可以有几个不同的估

2、计量，这就引出了如何衡量估计量好坏的规范。这就引出了如何衡量估计量好坏的规范。1,nxx称为称为 的估计值。的估计值。1 1、无偏性、无偏性定义定义 假设假设 ，那么，那么 称为称为 的无偏估计量。的无偏估计量。E结论结论 设总体为设总体为X X，有，有 ， ， 为取自为取自X X的样本，那么的样本，那么 、 分别为分别为 的无偏估计量。的无偏估计量。2, 2SEX2DX12,nXXXX即即EX22ES留意留意:S:S不是不是 的无偏估计量的无偏估计量, ,只是只是 的一个估计量的一个估计量. .22211nnnESESnn2 2、有效性、有效性例例1 1 设设 为取自总体的样本，且为取自总体

3、的样本，且 ， 。问：。问：能否为能否为 的无偏估计量的无偏估计量 ？ 和和 哪个更有哪个更有效？效？ 123,XXXEX2DX1123111333XXX和和2123124777XXX由证明得知，总体均数由证明得知，总体均数 和方差和方差 的有效估计的有效估计量分别为量分别为 和和 。2X2S定义定义 设设 和和 均为未知参数均为未知参数 的无偏估计量，的无偏估计量， 假设假设 ，那么称，那么称 比比 有效。有效。121212DD121123123111111333333EEXXXEXEXEX解：解：133 2123123124124777777EEXXXEXEXEX133 所以所以 和和 都

4、是都是 的无偏估计量，由此可的无偏估计量，由此可知一个未知参数的无偏估计量不是独一的。知一个未知参数的无偏估计量不是独一的。121123123111111333999DDXXXDXDXDX22130.339 3 3、一致性、一致性结论：结论： 和和 分别是总体均数分别是总体均数 和和 的一致的一致估计量。估计量。2X2S定义定义 设设 为为 的估计量，假设对的估计量，假设对 ，有，有那么称那么称 为为 的一致估计量的一致估计量, ,即即 0 lim1nPP21231231241416777494949DDXXXDXDXDX22210.4349由于由于 ，故，故 比比 有效有效12DD12定义定

5、义 设总体设总体X X含有未知参数含有未知参数 ,(0,1) ,(0,1)P(150f50时，时，22tfu假设此题用公式假设此题用公式* *计算，给定计算，给定 ，自在度，自在度 , ,查查u u分布临界值表，得分布临界值表，得0.01122228fnn0.010.01222282.58tu22155 54.873 49.211465.13422.162.582281567423.67,62.27 此题由于是大样本，故用两种方法计算结果一样，此题由于是大样本，故用两种方法计算结果一样，而公式而公式* * *较简便。假设是小样本，只能按小样本的较简便。假设是小样本，只能按小样本的公式公式* *

6、计算。假设按大样本公式计算，结果误差偏大。计算。假设按大样本公式计算，结果误差偏大。2 2 未知且未知且 2212,2212假设为小样本，取样本函数假设为小样本，取样本函数12221212XYtt dfSSnn2221212222212121211SSnndfSSnnnn2212122SSxytnn其中其中得得 的置信度为的置信度为 的置信区间为的置信区间为121假设为大样本，取样本函数假设为大样本，取样本函数近似服从近似服从2212122SSxyunn12221212(0,1)XYuNSSnn得得 的置信度为的置信度为 的置信区间为的置信区间为121例例6 6 用两种方法测得某药物中一种元素

7、的含量用两种方法测得某药物中一种元素的含量%得数据如下：得数据如下：方法方法I I：3.28,3.28,3.29,3.293.28,3.28,3.29,3.29方法方法IIII：3.25,3.27,3.26,3.253.25,3.27,3.26,3.25试估计这两种方法测得的元素含量的均数差的置信试估计这两种方法测得的元素含量的均数差的置信区间置信度为区间置信度为0.95)0.95)解：设方法解：设方法I I和和IIII测得元素的含量服从正态分布，那么测得元素的含量服从正态分布，那么两组数据分别是从两个正态总体中抽出的样本。由于两组数据分别是从两个正态总体中抽出的样本。由于方法不同，可以为方法

8、不同，可以为 。2212知知25113.2850,3.33 10 ,4xSn25223.2575,9.17 10 ,4ySn25522553.33 10/49.17 10/44.92253.33 109.17 104 14 1df查临界值表查临界值表 0.052252.57tdft代入小样本置信区间得代入小样本置信区间得553.33 109.17 103.28503.25752.57440.01314,0.04186四、正态总体方差四、正态总体方差22的区间估计的区间估计 0.1540dchisq x 5()151xo )(xf2 22 212 2 2 1 1、单个正态总体、单个正态总体 的区

9、间估计的区间估计取样本函数取样本函数222211nSn222212211nSP 22P22222222112222PPP由由 ，得，得1122 222222111,nSnSfn1 例例7 某药含碳量服从正态分布某药含碳量服从正态分布,允许方差在允许方差在0.0482(mg2)内内,任取任取5件测得含碳量件测得含碳量1.32,1.55,1.36,1.40,1.44(mg),根根据据0.05判别该药消费能否稳定？判别该药消费能否稳定？解：知解：知n5,1.414,S0.0882, fn-14 X1433.11)4()4(2025. 02205. 0 即得即得 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信

10、区间21查表得查表得48442. 0)4()4(2975. 021205. 0 2的置信度的置信度0.95的置信区间的置信区间 220882. 048442. 015,0882. 01433.1115 (0.0028，0.0642) 置信区间的下限置信区间的下限0.00280.04820.0023可以为该药消费不稳定可以为该药消费不稳定 2 2、两个正态总体方差比、两个正态总体方差比 的区间估计的区间估计2122取样本函数取样本函数22111222221,1SFF nnS对给定的置信度对给定的置信度 ，有，有1P FF1122221P FFFP FFP FF 221122122221SP FF

11、S 那么那么即得即得 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间22221212122/,SSSSFF2122111221,1fnfnF F分布的临界值性质：分布的临界值性质：112211,FffFff例例8 8 用两种方法各用两种方法各4 4次测定次品占总产品数量的百分次测定次品占总产品数量的百分比，测定的规范差分别为比，测定的规范差分别为0.11,0.07,0.11,0.07,求方差比的置信度求方差比的置信度为为0.950.95的置信区间。的置信区间。解：知解：知12124,0.1184,0.0711nnSS给定给定 ，自在度，自在度 ，查表得，查表得0.05123ff120.0252,3

12、,315.44FffF1120.9750.02521,3,30.0653,3FffFF代入置信区间得代入置信区间得22220.1184 /0.07110.1184 /0.0711,0.179,42.7715.440.065一、假设检验的原理一、假设检验的原理小概率原理小概率原理 概率很小的事件，在一次实验中是不能够发生概率很小的事件，在一次实验中是不能够发生的，这一原理称为小概率原理。的，这一原理称为小概率原理。例如有人说例如有人说, ,我厂消费的我厂消费的10001000个产品中只需个产品中只需1 1个是次品个是次品. .即次品率为即次品率为1/1000,1/1000,现从中随机抽取一个现从

13、中随机抽取一个, ,结果恰是次品结果恰是次品, ,此时我们会疑心这人的说法，以为次品率不是此时我们会疑心这人的说法，以为次品率不是1/10001/1000。 所以假设检验的根本思想可以概括成一句话：所以假设检验的根本思想可以概括成一句话：“是是某种带有概率性质的反证法。类似于数学中逻辑论某种带有概率性质的反证法。类似于数学中逻辑论证的反证法，但又区别于纯数学中逻辑推理的反证法。证的反证法，但又区别于纯数学中逻辑推理的反证法。由于我们这里的所谓不合理，并不是绝对矛盾，而是由于我们这里的所谓不合理，并不是绝对矛盾，而是基于小概率原理。基于小概率原理。判别判别H0为真为真H0为假为假回绝回绝H0(接

14、受接受H1)(弃真弃真)1-(正确正确)接受接受H01-(正确正确)(取伪取伪) 概率概率不等于不等于1-,减小减小,中一个时中一个时,另一个往往会增另一个往往会增大大,要同时减小要同时减小,只需添加样本容量，只需添加样本容量， 可先限制检验可先限制检验水准水准,再适当确定样本容量使再适当确定样本容量使尽量小。尽量小。 二、假设检验中的两类错误二、假设检验中的两类错误1、第一类错误：、第一类错误： 为真时却回绝了为真时却回绝了 ，也称，也称弃真错误。犯这类错误的概率就是所谓的小概率弃真错误。犯这类错误的概率就是所谓的小概率事件发生的概率，常用事件发生的概率，常用 表示。通常取表示。通常取0.1

15、,0.05,0.010H0H0H0H2 2、第二类错误：、第二类错误： 为假时却接受了为假时却接受了 ，也称取伪，也称取伪错误。犯这类错误的概率常用错误。犯这类错误的概率常用 表示。表示。单侧检验单侧检验00:H10:H左侧检验：左侧检验：右侧检验：右侧检验：00:H10:H双侧检验双侧检验00:H10:H原假设原假设备择假设备择假设( (可忽略不写可忽略不写) ) 在实践问题中在实践问题中, ,有时需求推断总体参数能否增大有时需求推断总体参数能否增大或者减小或者减小, ,假设事先有根据以为假设事先有根据以为 能够大于能够大于 , ,这时这时采用右侧检验采用右侧检验; ;反之反之, ,采用左侧

16、检验采用左侧检验. .0三、假设检验的普通步骤三、假设检验的普通步骤第一步：根据研讨问题的需求提出原假设和备择假设。第一步：根据研讨问题的需求提出原假设和备择假设。第二步：确定检验的统计量并计算出它的值。第二步：确定检验的统计量并计算出它的值。第三步：在给定的显著性程度第三步：在给定的显著性程度 下，查表确定临下，查表确定临 界值。界值。(留意区分单侧、双侧检验留意区分单侧、双侧检验第四步：把统计量的值和临界值比较，决议能否接受第四步：把统计量的值和临界值比较，决议能否接受0H1、单个正态总体均数、单个正态总体均数 的检验的检验1 1 知知uu检验检验2 统计量统计量回绝域回绝域0H1H信息信

17、息00000X0X0XnXu 0 2uuuu uu临界值临界值2uuu在上面的表格中，在上面的表格中，2P uuP uu和和 ，即，即 ， ， 均为小概率事件。此时小概率事件假设发生，那么我们均为小概率事件。此时小概率事件假设发生，那么我们就会疑心原假设就会疑心原假设 不成立，从而回绝不成立，从而回绝 ，接受，接受 。P uu 2uuuu uu0H0H1H例例1 六味地黄丸丸重服从正态分布六味地黄丸丸重服从正态分布,规范差规范差=0.5g,规定规范丸重为规定规范丸重为9g,随机抽取随机抽取100丸丸,样本均数为样本均数为9.1g, 判别该批产品能否合格判别该批产品能否合格 ？ 0.05解：首先

18、提出原假设和备择假设，该批产品合格的解：首先提出原假设和备择假设，该批产品合格的规范是丸重为规范是丸重为9g9g，故应采用双侧检验。，故应采用双侧检验。0:9H1:9H知知 ,=0.5,n=100. ,=0.5,n=100.故采用故采用u u检验，计算检验，计算9.1x 统计量得统计量得09.1 920.5/ 100 xun查临界值查临界值0.05221.96uu2uu由于由于 ，故小概率事件发生，我们有理由回绝，故小概率事件发生，我们有理由回绝 ，以为该产品不合格。，以为该产品不合格。0H例例2 安息药睡眠时间服从正态分布安息药睡眠时间服从正态分布,规范差为规范差为1.5小小时时,10人服用

19、后人服用后,测得平均睡眠时间为测得平均睡眠时间为21.15小时小时,该批号该批号安息药睡眠时间的总体均数能否高于安息药睡眠时间的总体均数能否高于20小时小时=0.01 解：知解：知 ，故此题应采用，故此题应采用右侧检验右侧检验H0：=20， H1：2021.1520,1.5,10 xn4244. 2105 . 12015.21 u统计量的值统计量的值查临界值查临界值0.010.0222.33uuu由于由于 ，小概率事件发生，故回绝，小概率事件发生，故回绝 ，接受，接受 ，以为睡眠时间总体均数显著高于，以为睡眠时间总体均数显著高于2020小时。小时。uu0H1H2 2 未知未知tt检验检验2 统

20、计量统计量回绝域回绝域0H1H信息信息00000X0X0X01xtSnt n2tttt tt临界值临界值2ttt大样本时大样本时,总体不论能否服从正态分布，统计量渐总体不论能否服从正态分布，统计量渐近服从正态分布近服从正态分布, 可运用可运用u检验。检验。例例3 人体注射麻疹疫苗后人体注射麻疹疫苗后,抗体强度服从正态分布抗体强度服从正态分布,16人注射测得抗体强度为人注射测得抗体强度为1.2,2.5,1.9,1.5,2.7,1.7，2.2,2.2,3.0,2.4,1.8,2.6,3.1,2.3,2.4,2.1,根据样天性否证根据样天性否证明该厂产品的平均抗体强度高于明该厂产品的平均抗体强度高于

21、1.9 ？ =0.05解：由知计算得解：由知计算得 ,S=0.5183,S=0.5183，n=16,f=15n=16,f=152.225x 设设 ， 未知，故用未知，故用t t检验检验01:1.9,:1.9HH25082. 2165183. 09 . 1225. 2 t查临界值查临界值0.05151.753tt由于由于 ，故回绝，故回绝 ，以为该厂产品的平均，以为该厂产品的平均抗体强度显著高于抗体强度显著高于1.91.9。tt0H例例4 甘草流浸膏中甘草酸含量服从正态分布甘草流浸膏中甘草酸含量服从正态分布,要求要求甘草酸含量不得低于甘草酸含量不得低于8.32(%),随机抽取随机抽取4个样品测个

22、样品测得样本均数为得样本均数为8.30(%),样本规范差样本规范差S=0.03(%),判别判别该厂产品的甘草酸含量能否低于规范？该厂产品的甘草酸含量能否低于规范？=0.05 3333. 1403. 032. 830. 8 t解：知解：知 , , 未知。故运用未知。故运用左侧左侧t t检验检验 8.308.32,0.03,4xSn201:8.32,:8.32HHf=4-1=3,f=4-1=3,查临界值查临界值计算统计量计算统计量 0.0532.353tt由于由于 ，故接受，故接受 ，以为甘草酸含量没有，以为甘草酸含量没有低于规范。低于规范。tt 0H2 2、单个正态总体方差、单个正态总体方差 的

23、假设检验的假设检验 统计量统计量回绝域回绝域0H1H信息信息220220S临界值临界值212220S220S2202202202221nS21n212222222212或或22221例例5 5 某厂预备消费一批新药某厂预备消费一批新药, ,通常收率的规范差在通常收率的规范差在5%5%以内以为以内以为是稳定的是稳定的, ,现试产现试产9 9批批, ,得平均收率得平均收率(%)(%)为为75.244,75.244,方差为方差为3.3083.308。问此药的消费能否稳定？显著程度问此药的消费能否稳定？显著程度0.010.012解：知解：知2275.244,3.3085 ,9xSn设设22225 ,5

24、计算统计量计算统计量22218 3.3081.05925nS查临界值，查临界值，f=8f=8， 2210.9981.646由于由于 ，故回绝，故回绝 ，即规范差不大于，即规范差不大于5%5%以为消费是稳定的。以为消费是稳定的。2210H一、配比对较两个正态总体均数的差别一、配比对较两个正态总体均数的差别 作出两组资料各对的差值作出两组资料各对的差值d,问题转化为差值样问题转化为差值样本均数的总体均数本均数的总体均数d能否为能否为0的的t检验。检验。 是从两正态总体中抽出的样本均数。假设两种是从两正态总体中抽出的样本均数。假设两种处置下的正态总体均数一样处置下的正态总体均数一样, , 记记120

25、d 统计量统计量回绝域回绝域0H1H信息信息临界值临界值0d0d0d0d, x yxyxyxyddtSn1t n2tttt tt2ttt其中其中iiidxy11niiddn2111ndiiSdndn大样本时大样本时,总体不论能否正态分布总体不论能否正态分布,可用可用d的的u检验检验 例例1 调查中药眼伤宁对家兔角膜伤口愈协作用调查中药眼伤宁对家兔角膜伤口愈协作用,测得造测得造模兔用药前及用药后两月的角膜厚度值模兔用药前及用药后两月的角膜厚度值(mm),判别眼判别眼伤宁对促进角膜伤口愈合有无作用。伤宁对促进角膜伤口愈合有无作用。 =0.01 造模兔号造模兔号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

26、10用药前后用药前后0.74 .74 .72 .72 .76 .72 .72 .76 .64 .68药后两月药后两月0.56 .58 .58 .58 .56 .60 .60 .60 .58 .60解：由样本计算解：由样本计算 =0.0，Sd=0.0430，f=n-1=9 dH0：d=0， H1：d0 0016.10100430. 01360. 0 t查临界值，查临界值， 0.01293.25t由于由于 ，故回绝，故回绝 ，以为眼伤宁对促进角，以为眼伤宁对促进角膜伤口愈合有极显著作用。膜伤口愈合有极显著作用。 2tt0H二、方差齐性检验二、方差齐性检验FF检验检验 211(,)XN 222(,)

27、YN设两总体设两总体 和和 ， 和和 是分别从总体是分别从总体X X、Y Y中抽中抽出的样本。出的样本。112,.nXXX212,.,nY YY 统计量统计量回绝域回绝域0H1H信息信息临界值临界值22122212SS2212SS221222122122SFS 121,1F nn2FF2FFFF2212SS在计算在计算F F值时，总是以样本方差大的作分子，这样就值时，总是以样本方差大的作分子，这样就使使F1F1。而。而F F分布的右侧临界值分布的右侧临界值 或或 都是大于都是大于1 1的的数，根据数，根据F F分布临界值的性质分布临界值的性质2FF21S0.710.01dF x 88()40.

28、5x21 F2 F Fo)(xfx2 2 112211( ,)1(,)Fn nF n n 左侧临界值左侧临界值 、 都是小于都是小于1 1的的数，所以在进展数，所以在进展F F值与临界值的比较值与临界值的比较 时，只需查右侧临界值即可。假设把时，只需查右侧临界值即可。假设把 大于大于1 1的的F F与左侧临界值比较，那么与左侧临界值比较，那么无意义。无意义。12F1F例例1 1 现有两批中药黄连，分别随机取出现有两批中药黄连，分别随机取出4 4个样品，测个样品，测定其小檗碱的含量，第一批得数据：定其小檗碱的含量，第一批得数据：8.96,8.90,8.96,8.96,8.90,8.96,8.98

29、.8.98.第二批得数据：第二批得数据：8.82,8.90,8.85,8.918.82,8.90,8.85,8.91。试问这两。试问这两批小檗碱的含量方差能否齐性？批小檗碱的含量方差能否齐性？0.05解：设解：设2222012112:,:HH由知计算得由知计算得210.0012S220.0018S由于由于 ，所以，所以 作分子，计算统计量得作分子，计算统计量得2221SS22S22210.00181.50.0012SFS自在度自在度 ， ，查临界值表，查临界值表1113fn 2213fn 0.050.02523,33,315.44FF由于由于 ，故接受，故接受 ，以为方差齐，以为方差齐2FF0

30、H例例2 2 某中中医结合医院科研室，想比较单味大黄某中中医结合医院科研室，想比较单味大黄与西药治疗急性上消化道出血的效果，以止血天数与西药治疗急性上消化道出血的效果，以止血天数为目的，结果为为目的，结果为 西药西药单味大黄单味大黄 药种药种样本容量样本容量 均数均数 规范差规范差 6.9 6.9 6.9 6.9 30 1.5 30 1.5 0.880.88试检验两组药种下总体方差能否齐性？试检验两组药种下总体方差能否齐性？0.05解：解：2222012112:,:HH2212226.9061.830.88SFS查临界值表查临界值表0.050.025219,2919,292.21FF 由于由于

31、 ，故，故回绝回绝 ，以为两方差不齐。，以为两方差不齐。0H2FF例例3 3 合成车间某中间体消费的工艺条件改革后，收率似有提合成车间某中间体消费的工艺条件改革后，收率似有提高，但工人师傅反映新工艺的条件不易控制，收率动摇较大，高，但工人师傅反映新工艺的条件不易控制，收率动摇较大，为此，对新老工艺分别抽查假设干批，得下表为此，对新老工艺分别抽查假设干批，得下表老工艺收率老工艺收率 84.0 83.3 82.5 82.0 84.5 83.1 84.1 82.1 83.484.0 83.3 82.5 82.0 84.5 83.1 84.1 82.1 83.4新工艺收率新工艺收率 86.5 87.7

32、 88.0 87.5 85.6 84.2 86.0 83.2 87.0 86.186.5 87.7 88.0 87.5 85.6 84.2 86.0 83.2 87.0 86.1试解释工人师傅的问题试解释工人师傅的问题. .0.05解解: :这个问题我们关怀的是新工艺能否比老工艺动摇大这个问题我们关怀的是新工艺能否比老工艺动摇大, ,应作单侧检验应作单侧检验, ,由知数据算得由知数据算得 , ,22.368S新20.6386S老设设2222012112:,:HH221新( , )( , )222老222.3683.710.6386SFS新老查得临界值查得临界值0.059,83.39FF由于由于

33、 , ,故回绝故回绝 , ,以为工人师傅的想法是正确的以为工人师傅的想法是正确的. .FF0H22221 三、成组比较两个正态总体均数的差别三、成组比较两个正态总体均数的差别1 1、方差齐性、方差齐性 小样本小样本tt检验检验 统计量统计量回绝域回绝域0H1H信息信息临界值临界值12xy2ttttxy121221211wxytSnn122t nn2tt其中其中222112212(1)(1)2wnSnSSnn假设假设 时为大样本，那么换成时为大样本，那么换成u u检验，统计量检验，统计量221221xyuSSnn改用改用1250,50nn2221 12221122()()XYtSnSn不服从不服

34、从t(n1+n2-2) 2 2、方差不齐、方差不齐 小样本小样本tt检验检验狄克逊和马赛于狄克逊和马赛于19691969年提出自在度修正公式年提出自在度修正公式222121222221211221111SSnndfSSnnnn 统计量统计量回绝域回绝域0H1H信息信息临界值临界值12xy2ttttxy1212 t df2tt221212xytSSnnn150,n250时为大样本，可用时为大样本，可用u检验近似替代检验近似替代2212120,1xyuNSSnn例例4 4 现有两批中药黄连，分别随机取出现有两批中药黄连，分别随机取出4 4个样品，测个样品，测定其小檗碱的含量，第一批得数据：定其小檗碱的含量，