12、高三一轮复习：复数

1、复数的概念【知识要点】一、 虚数单位i :规定i21 ,其幕的性质为：i4n 1, i4n 1 i , i4n 21, i4n3 i（n N）。二、 复数的代数形式：把形如a bi（ a、b R）的数叫做复数，用字母 Z表示，即Z a bi （ a、b R），这就是复数的代数形式，其中a叫做复数Z的实部，记作ReZ，b叫做复数Z的虚部，记作ImZ。1、当b 0时，复数Z a是实数；当b 0时，Z叫做虚数；当a 0且b 0时，Z bi叫 做纯虚数；当且仅当 a b 0时，Z 0 ；2、 复数全体所组成的集合叫做复数集，用字母C表示。实数集R是复数集C的真子集。（注 意区分“复数”和“虚数”）3、

2、 复数的相等：如果两个复数Z1 a bi （a、b R）和 如 C di （c、d R）的实部与虚部分别相等，即 a C且b d ,那么这两个复数相等，记作a bi C di。三、复数的坐标表示：1、复平面：建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，在平面直角坐标系中，可以用点Z（a,b）表示复数a bi （a、b R）。在复平面上，X轴和y轴分别称为实轴和虚轴， 复数集C中的元素和复平面上所有的点组成的集合中的元素对应。2、 复数的向量表示：设复数 Zabi （a、b R）在复平面上所对应的点为Z（a, b），O 为坐标原点，那么向量 OZ表示复数a bi（ a、b R）O复数集C中的元

3、素和复平面上以 原点为起始点的向量也是一一对应的。3、 复数的模：复数 Zabi （a、b R）所对应的点Z（a,b）到坐标原点的距离叫做复数Z的模（或绝对值），记作I z I, I z I -.a2 b2。4、 共轭复数：实部相等而虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。复数Z的共轭复数用 Z来表示，即当 Z a bi （a、b R）时，Z a bi。|z|z|, ZZ |z|2 |zf。【例题解析】1、判断下列命题的真假：（1）已知a、b R,则Z a bi是虚数；（×）第1页（共11页）3(2) 已知 Z C,则 Z 0 ； (X)(3) 已知 x、y、Z C,且(X y)2

4、 (y z)20 ,则 X y Z ； (X)(4) 已知a R,则(a 2)i是纯虚数；(x)(5) 已知z C,且z2 0,则Z为纯虚数；()(6) 已知 X、y C，且 X y 0,则 X y ； (×)(7) 已知 x、y C， X 0 且 y 0 ,则 X y 0 且 Xy 0 ； ()(8) 已知 z C，且 IZl a ,则 Z a或 Zai。(×)2 22、 求当实数 m为何值时，复数Z m m 2 (m 1)i分别是：(1)实数；(2)虚数;(3)纯虚数；(4) 0。【解】(1) m 1 或 m 1 ； (2) m 1 且 m 1 ； (3) m 2 ；

5、(4) m 1。k 3213、 若是实数，则纯虚数 k 21i O2 7i24、解方程:|X| X 1 3i ,其中i为虚数单位,X Co ( X4 3i)1【变式】已知复数Z满足Z- R,且|z 2 |2 ,求Zo ( ZZ5、已知复数Z3 (X 1)i , X R ,且4|z|2 3z 36 9i ,若 在复平面上对应的点在第四象限，求实数 X的取值范围。【解】由题意得：4x2 8x 5 (3x 6)i ,因为 在复平面上对应的点在第四象限，24x 8x 505 亠 1 C所以，解得：X 或 X 2,3x 6 022即实数X的取值范围是21 - 2U5 - 2第2页(共11页)复数的运算【

6、知识要点】、复数的四则运算：加法、减法、乘法、除法。第7页（共11页）二、复数的乘方。2【注】常用结论：（1 i） 2i，(1 i)2n ( 2i)1 i .1 iN*)，Ci，C i，a bia bii （ a、b R）， b aib ai三、复数的模的运算性质：i (a、b R )。1、2IzI IzI，Z Z IzI2|Z|2 2Iz | Iz | ；2、I z1 Z2 | z1 | | Z21，ZIZ23、绝对值不等式：I z11|Z21Z |Z21(z20），znIZIn( n N*)；ZZ21Z |Z21。四、复平面上两点间的距离:设两复数z1a bi （ a、b R）、Z2C d

7、i（c、d R）分别对应复平面上的点Z（a, b）、Z2(c, d),则 | Zl Z21 |(a C)(bd)i|,(a c)2 (b d)2，可见IZi Z21表示两点UmLr乙Z2的模。乙（a,b）、Z2（c,d）之间的距离，也等于向量五、常见几何图形的复数表达式：设复数Z为变量，Z1、Z2为定值，且Z1 Z2 ,则1、IzZ1 II Z Z21表示线段 Z1Z2的垂直平分线；2、IzZ1 Ir（ r 0）表示以 乙为圆心，r为半径的圆；3、IzZ1 I|z Z2 | 2a（ 2a |乙Z2 |）表示以乙、Z 为焦点，2a为长轴长的椭圆；4、IzZ1 I|z z2 | 2a（ 0 2a

8、|乙z? |）表示以乙、Z2为焦点，2a为实轴长的双曲线。六、复数的平方根与立方根：1、复数的平方根：（1）定义：若复数Z1、Z2满足Z2 Z2 ,则称Z1是Z2的平方根。任何非零复数都有两个平 方根。.a,a0（2）实数a的平方根为0,a0。a i,a02、复数的立方根：（1）定义：若复数z1、Z2满足z3 Z2 ,则称z1是Z2的立方根。（2）设13i，则2 2331° 1、 都是1的立方根，即1，1；2° 2 _ _ 1 .3°、是方程X2 X 1 0的两复数根。2七、实系数一元二次方程ax bx C 0 ( a、b、C R， a 0):1、方程的根:(1)

9、当0时,(2)当0时,(3)当0时,方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根X1方程有两个不相等的共轭虚根X2b b2 4ac2a ；b2a ；b , 4ac b2 i；2a2、根与系数的关系（韦达定理）CX1 X2a【例题解析】1、计算:i1 3i(1)(i)2i53 I 12(3)31.i；（1）2 2(5) ii i L 2005i ；( i)(2)(1.3i)6(13i)6 ；( 0)AB 2005A；2005(4)1i1 i-；（2i）1i1 i(6)(31004i)。99（43i)(43i)2、已知Z(3 4i)2 ¥ 2i10C23i)4,则 z。3、（ 2007

10、年上海卷）对于非零实数a、b,以下四个命题都成立:(a2 2 2b) a 2ab b ；若Ial |b| ,则a若a2 ab ,则a b。那么，对于非零复数 a、b,仍然成立的命题所有的序号是。4、已知复数Z满足|z|1 ,则|z 2|的取值范围是 1,3；【变式1】若复数 Z满足Iz3i5 z 2的最大值为5 S3 ,最小值为5 13 ；【变式2】若复数Z满足z3i则z21的最大值为 5 ,13 ,最小值为 0 ;【变式3】若复数Z满足z3i则z2 的取值范围是为 0,5 .13）。5、已知复数Z C ,且z 的值。【解】由z1,得：Z Zz2ZZZ【变式】已知 z1 z21 L【解】由Zi

11、Zi Z 2 r2 ,得:所以ZZ2LZn111LZlZ2ZnZ(ZZn ZiZ2Zizz（正常数）(i 1,Zn ,求Z1Z2LZn的值。Z1Z22,，n)上A Z1 Z2 LZn rr2Z1 Z2Z1 Z2 Lzn r2。Zn 第11页（共11页）6、在复数集上解关于 X的一元二次方程 X2 ax 4 0 （ a R）O【解】根的判别式a2 i6 ,4或a 4时，原方程有两个不相等的实数根:a a2 i6X 2，x2a . a2 i6 ；2 ；4时，原方程有两个相等的实数根:a 4, XiX22 ;右 a 4, xix2a 4时,原方程有两个不相等的共轭虚根:Xia i6 a2i2 ，x2

12、a 、i6 a2iO27、（ 2007年上海卷）已知a、b R ,且 2 ai、（i是虚数单位）是实系数一兀二次2方程XPXq 0的两个根，那么 p、q的值分别是（(A)P 4 , q5(B)P4, q 3(C)P 4, q 5(D)P4 , q 3【变式】已知Xi、X2是方程2 X2mx10 ( m R)的两个虚数根,求实数m的取值范围。【解】由题意得：4m240 ,解得：i m iO设Xia bi (a、bR),则X2abi ,所以，XiX2 2a o由| Xii| x2 ,得:(ai)2b22 ab2,解得：1 a2由根与系数的关系，得:XiX22m,所以m a ,且 I x 1| X2

13、1,从而实数m的取值范围是i,228、已知关于X的方程XPX 10 ( P R)的两根分别为Xi、X2 ,若| Xi X2 | 1 ,求实数P的值。【解法1】当2 或 P 2 时，X1 P PI4-,X2所以，x1X2 |PP2 4所以，x1得:X2 I综上所述，实数【解法所以,由|p2【变式求实数2 P 2 时,4 p2 i2得：P 3 oP的值为 5或2】由根与系数的关系得:P i 4 p2 i2.3。X12 2|X1 X2 | |(X1 X2) | |(X14| 1 ,得：P】已知关于X的方程29、已知关于X的方程2xX22P i2(3m|3,求实数m的值。【解】当都是实数时,由根与系数

14、的关系，得:因为m R ,所以1)xX2P , X1X2 12X2) 4X1X21|.3 OP24| ,0 （ P R）有两个复数根X1、2m 10的两复数根分别为(3m3mX2，若 | X1 X213 ,且1)28(m21)0,解得:122m 12所以III I III又因为都是虚数时，I2综上，实数,所以|m的值为3m 122(3m 1)IIIIm2123 ,解得：m -（舍）38(m2,解得:1)2|I 3 ,即 |.14-2-（舍）。0,4第13页（共11页）【变式】已知关于X的方程22 3ax a2 a O至少有一个模为1的复数根，求实数 a的值。【解】设X1是方程的一个复数根，且I

15、X1I 1右X1是实数，则方程有两个实数根，所以2 29a 8(a aI） O,解得：a8或aO当X1 1时，代入原方程得：a22a 2O,解得：aR ,舍去；当X11时，代入原方程得：a24a 2O ,解得：a2 .2 (,8 U O,)右X1是虚数，则方程有两个共轭虚根，所以2 29a 8(aa） O,解得：8 aO,设另一根为X2 ,则X2X1 ,所以XIX2X1X1IX1I2 1 ,即2 aa1,解得:a 2(舍)2或a 1 o综上，实数a的值为2,2或1o1O、已知关于X的一元.次方程X2ax 43iO有实根，求复数a的模的最小值。【解】设Xo是方程的实数根，显然2Xo O ,所以

16、Xo ax° 4 3i解得:XoXo3 .I ,Xo所以,IaI2xOXOxO2XO25 8 2 厉 8 18,xo2725X。当且仅当0X2即X0、5时等号成立，所以复数 a的模的最小值为3.、2。X0R211、已知关于X的方程x 4x k 0有一虚根1 2i ,求k的值及另一根。2【解】由题意，得：(12i)4(12i)k0,解得：k7 4i o设方程的另一根为X2 ,由根与系数的关系,得:1 2iX24 ,解得:x23 2i o【变式】已知关于X的方程X2(4i)x4ai0 (aR)有实根，求实数a的值并解方程。【解】设X1是方程的实根，则X24 X14(X1a)i0,2所以X

17、1 4X140 ,解得：X12Ox1a 0a2设方程的另一根为 X2 ,则X1X2(4i),解得：X22 i o综上，实数a的值2,方程的解为X12,X22 ii O-5 5i12、( 2005年上海卷理科)证明：在复数范围内，方程z2 (1 i)z (1 i)z(i为虚数单位)无解。【证明】原方程化简得：z2 (1 i)z (1 i)z 1 3i 。假设ZXyi(x、yR)是方程的复数解,代入原方程，整理得:所以y2 (2 x2y)i1 3i，2 2X y2x 2y1 ,整理，得:328x2 12x160,所以此方程无实数解,从而在复数范围内，方程z2(1 i)z(15 5iOZ 5( i为

18、虚数单位)无解。13、已知集合A zz 2a1a2i，R,当实数a变化时，说明集合 A中的元素在复平面上所对应的点的轨迹表示何种曲线。第9页(共11页)【解】复数Z 2a 1 a2i在复平面上对应的点为(2a 1,a2)。X 2a 1i设2,消去参数a,得:y丄(X 1)2 ,y a4所以，集合A中的元素在复平面上所对应的点的轨迹表示抛物线。1。114、设复数 X yi ( x、y R) 与复平面上的点 P(x, y)对应。(1)若是关于t的一元二次方程t2 2t m 0 ( m R)的一个虚根，且I I 2 ,求实数m的值;(2)设复数满足以下等式：3| ( 1)n3| 3a ( 1)na( nN*，且常3动点P(x, y),3 )。当n为奇数时，动点P(x, y)的轨迹为C1 ；当n为偶数时,2的轨迹为C2 ,且两条曲线都经过点 D(2, 2) ,求轨迹C1与C2的方程