组合变形与连接

1、 在复杂外荷载作用下，构件的变形包含两种或两种以上的基本变形，若几种变形所对应的应力属于同一数量级而不能忽略，则构件的变形称为组合变形组合变形。81 概概 述述MPRzxyP一、组合变形一、组合变形：二、组合变形的研究方法二、组合变形的研究方法 叠加原理叠加原理首先将作用在杆件上的荷载加以简化和分组，使简化后的每组荷载各自产生一种基本变形。分别计算每一种基本变形引起的应力和变形。将以上应力、变形叠加。适用条件：适用条件：小变形、线弹性小变形、线弹性。三、本章研究的组合变形：三、本章研究的组合变形：两相互垂直平面内的弯曲（斜弯曲）。轴向拉压与弯曲。与弯曲。82 两相互垂直平面内的弯曲（斜弯曲）两

2、相互垂直平面内的弯曲（斜弯曲） 梁具有一个纵向对称平面，且外力作用在 该纵向对称平面内，则变形后的梁轴线成为纵向对称平面内 的一条平面曲线。（挠曲线所在平面与外力所在平面重合）xyzPPyPzPzPyyzPj j 梁具有两个相互垂直的纵向对称平面，梁上的横向荷载通过梁轴线但不在同一纵向对称平面内。一、对称一、对称/ /平面弯曲平面弯曲：斜弯曲斜弯曲：xyzPPyPz2.对两个平面弯曲分别进行研究。PzPyyzPj j1.分解：将外荷载沿横截面的两个对称轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。二、研究方法二、研究方法：3.叠加：将两个平面弯曲的应力、变形结果叠加起来。sinMj ()sinP Lxj

3、 sinyPPjcoszPPj1.将外荷载沿横截面的对称轴分解2.分别研究两个平面弯曲：()zyMP Lx cosyMMjPzPyyzPj jxyzPyPzPLmmx其中：()MP Lx为横截面上的总弯矩。解：考虑任一横截面 m-m 。(cossin)yzzyMIIjjyzzyM zM yIIxyzPyPzPLmmxzzM yI M z引起的应力：合应力：PzPyyzPj jyyM zI My引起的应力： sinzMIyj cosyMIzj0000(,)(cossin)0yzyzzyMIIjj00ctgzyyIzIj一般 Iy Iz，故斜弯曲时中性轴与外力不垂直斜弯曲时中性轴与外力不垂直。在中

4、性轴两侧，距中性轴最远处分别为最大拉、压应力点。22zyffftgtgyyzzfIfIj一般j ，故称为斜弯曲斜弯曲。1,maxtD2,maxcDa a中性轴中性轴PzPyyzPj jD2D1a affzfy 33yyzP LfEI33zzyPLfEI3sin3zPLEIj3cos3yPLEIjtga 例例11如图结构，P过形心且与z轴成j角，求梁的最大应力与挠度。22yzfffjtgtgzyzyIIff解：危险截面为固定端，危险点分析如图。1maxmax,maxyztDzyMMWWffzfy yzLxPyPzPhb中性轴中性轴PzPyyzPj jD2D1a a21,max,maxcDDt 2

5、23333yzzyP LPLEIEI例例2 矩形截面木檩条如图，跨长L=3m，受集度为q=800N/m的均布力作用， =12MPa，许可挠度 f/L =1/200，E=9GPa， 试选择截面尺寸，并校核刚度。sinzqqa解解：将荷载 q 分解： maxmaxmaxyzyzMMWWcosyqqa2max8zyq LM2max8yzq LMa a 2634 hbzyqqLAB800 0.447358N/m8000.894715N/m2358 3403N m82715 3804N m822442255384384yzyzzyq Lq LfffEIEImaxmaxmaxyzyzMMWWa a 263

6、4 hbzyqqLAB即可确定 b68mm、h 102mm 。然后算出判断是否满足 f /L f/L =1/200 。再设1.5hb22403N m804N m66hbbh 12MPa（详见教材P262264）83 轴向拉伸或压缩与弯曲的组合轴向拉伸或压缩与弯曲的组合 一、轴向拉伸或压缩与横力弯曲（轴向力与横向力共同作用）一、轴向拉伸或压缩与横力弯曲（轴向力与横向力共同作用）PR 本节只限于讨论抗弯刚度本节只限于讨论抗弯刚度 EI 较大的杆较大的杆，这时横向力引起的弯曲变形很小，则轴向力因弯曲变形而产生的弯矩可略去。这样，轴向力就只引起拉伸或压缩变形，而不引起弯曲变形，叠加原理就可以应用了。则

7、杆横截面上任一点的正应力为：NM 例例11 最大吊重G8 kN的起重机如图(a)所示(单位：mm)。其中AB杆为工字钢，材料为Q235钢， 100 MPa，试选择工字钢型号。 0:AM0)5 . 15 . 2(85 . 262. 28 . 0F42kNF 解得：解：解：AB杆受力简图如图(b)所示，设CD杆的拉力为F，列平衡方程2.52.62xFF0.82.62yFF40kN，12.8kN 可见AB杆在AC段内产生压缩与弯曲的组合变形。作出AB杆的弯矩图和轴力图如图(c)所示。 maxMW 开始试算时，可先不考虑杆轴力的影响，只根据弯曲强度条件选取工字钢。则从图中可看出，C截面左侧为危险截面危

8、险截面。53312 10m120cm3612 10100 10N()40kNCF12kN mCM 选定工字钢后再进行强度校核。知危险点危险点在危险截面C的下边缘，发生有绝对值最大正应力（压），大小为c,maxNFMAW即最大正应力与许用应力 100MPa接近相等，故无需重新选取截面的型号。 查型钢表，初选16号工字钢，W141cm3，A26.1cm2。334640 1012 1026.1 10141 10 100.5MPa 如果作用在直杆上的外力，其作用线与杆轴线平行但不通过杆件横截面的形心，则引起偏心拉伸/压缩。二、偏心拉伸或压缩二、偏心拉伸或压缩1 1、分解：、分解：FxyzFMzxyzF

9、MzMy首先建立坐标系。以杆轴线为x轴，横截面的两个形心主轴形心主轴分别为y、z轴。FA zzM yI yyM zI 2、应力分析、应力分析：xyzFMzMyFMyMzy z设偏心拉力F在端截面上的作用点为A(yF, zF)，则 yFzFMF zMF y于是：再注意到：22 yyzzIA iIA iyzyzM zM yFAII221FFyzz zy yFAii 中性轴是一条不通过横截面形心的直线，它在 y、z 两轴上的截距分别为4、危险点、危险点3、中性轴方程、中性轴方程111222maxmin(,)(,) , DyzDyz000022(,)10FFyzyzz zy yFAii002210FF

10、yzzyzyii22 , yzyzFFiiaayz 危险点即距中性轴最远的点D1、 D2 。yz1D2D中性轴中性轴若max 0，则为t, max；若min 0，则为c, max 。中性轴与偏心力作用点分别位于截面形心两侧11.7MPa ()压8.75MPa ()压1max1PA2max22zPMAW332350 10(350 10 ) 0.050.2 0.30.2 0.3 / 6解解：两柱横截面上的绝对值最大正应力均为压应力。 例例2 图示等截面与不等截面柱，受力P=350kN， 试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。图（1）图（2）.P300200200P200200MPPd偏心距 d 50

11、 mm3350 100.2 0.254747.27 10 mm7.27 10 mPPMN0(20 10) ( 20)100 1020 10Cz 323210 100(10 100) 51210 20 (10 20) 2512CyI 例例3 图示钢板受力P=100kN，试求最大正应力。若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？解解：（一）内力分析如图坐标如图，挖孔处的形心3(510)500N mMPPP2010020yzyC105mmPPMN125MPa37.8MPa应力分析如图336710010500(5510)800107.2710（二）求孔移至板中间，且使最大正应力

12、保持不变时的挖空宽度maxNA 38.6mmxmaxmaxycM zNAI162.8MPa326100 10614.3mm162.8 1010 (100)x2010020yzyC10 例例4 小型压力机的铸铁框架如图 (a)所示。已知材料的许用拉应力 30 MPa，许用压应力 160 MPa。试按立柱强度确定压力机的最大许可压力FP。立柱的截面尺寸如图 (b)所示（尺寸单位：mm）。 tca)b) 其次分析立柱的内力和应力。立柱任意横截面m-m以上部分受力情况见图(c)，截面m-m为单向偏心受拉。可以求得轴力FN和弯矩My分别为解：解：首先根据截面尺寸计算截面面积，确定截面形心位置，求出截面对

13、形心主惯性轴 y 的主惯性矩Iy。结果为3213415 10 mm75mm53125 10 mmyAzI，NP FF，3PN1015FAF轴力FN对应的均布拉应力为c)3P(35075) 10yMFP0.425mF2cmaxyyM zI 最后，由1tmaxyyM zImaxtmaxt cmaxcmax弯矩 My 对应线性分布的正应力，最大拉、压应力分别是叠加以上两种应力见图c) ，知在截面内、外边缘上分别发生最大拉、压应力，且为使立柱同时满足抗拉、抗压强度条件，应有由tmaxtmaxccFP 45kN 。FP 171.4kN。得：得：FP 45kN3P90.425(75 10 )53125 1

14、0F3P90.425(20075) 1053125 10F 三、截面核心：三、截面核心： 故在横截面形心附近存在某一区域。当偏心压力作用在此区域内时，相应的中性轴将在截面以外或与截面周边相切而不穿过横截面，这时整个截面上只有压应力而无拉应力。该区域称截面核心截面核心。yzayaz中性轴中性轴(,)FFA yz截面核心22 , yzyzFFiiaayz 偏心拉、压问题的中性轴截距公式为 研究截面核心的意义？如何确定截面核心？ 当偏心压力作用在截面核心的边界上时，相应的中性轴将与截面周边相切且不穿过横截面。 （方法详见教材P274） 84 扭转与弯曲扭转与弯曲 弯曲与扭转的组合在机械工程中最常见。

15、下面以操纵手柄为例说明这类组合变形的应力及强度的计算方法。 图 a)所示为一钢制手柄，AB段是直径为d 的等直圆杆，A端为固定端，BC段长度为a，C端受铅垂力FP作用。为分析AB杆的受力情况，将FP力向AB杆B端的形心简化。 在危险截面A上，弯曲正应力 在上下两端点1和2处最大(图e)，而扭转切应力t t 在横截面周边各点处最大(图f)。所以点1和点2为危险截面上的危险点危险点。 AB杆弯矩图和扭矩图分别如图c)、d)所示。显然固定端A截面为危险截面危险截面，其弯矩 MFPl，扭矩 TFPa。 因手柄用钢材制成，应选用第三或第四强度理论。若采用第三强度理论，可得其强度条件为 221222322

16、022ttr313取其中的点 1研究，其受力如右图所示。点 1的三个主应力为 224t式中的 M 和 T 分别为圆截面杆圆截面杆危险截面上的弯矩和扭矩。222r412233112 22r3MTW 22r40.75MTWWMPTWt若采用第四强度理论，其强度条件成为注意到：且对圆截面杆圆截面杆有WP2W，则以上两式改写成 223t按第三强度理论：按第四强度理论： 例例5 电动机带动一圆轴AB，在轴中点处装有一重G5 kN、直径D1.2 m的胶带轮(图a)，胶带紧边的拉力F16 kN，松边的拉力F23 kN，两端轴承间的轴长 l =1.2m。若轴的许用应力 50 MPa，试按第三强度理论求轴的直径

17、d。受力简图中：1212()222xDDDMFFFF所以轴发生弯曲和扭转的组合变形。 解解: 把作用于轮上的胶带拉力F1、F2向轴线简化，如图b所示。F=G+F1+F2 根据横向力F作出的弯矩图如图c)所示。最大弯矩在轴的中点截面上，其值为4FlM =(5+6+3)kN=14kN1.2(63)1.8kN m214 1.24.2kN m4解得：1.8kN mxTM 2222r33/32MTMTWd323263(4.2 10 )(1.8 10 )50 10/32d0.098m=98mmd 根据扭转外力偶矩Mx，作出的扭矩图如图 d)所示。扭矩为故轴中间截面右侧为危险截面危险截面。代入相应数据：按第

18、三强度理论，有pTWtPA解：此问题为拉扭组合,危险点 在杆表面，应力状态如图。 例例6 直径为d =0.1m的圆杆受力如图,T =7kNm，P =50kN, =100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。故安全。tAAPPTT2234rt 71.7MPa100MPa3250 100.1 / 4337 100.1 /16226.374 35.76.37MPa35.7MPa28Pa 一、钢圆轴为拉伸与扭转的组合变形，试写出其强度条件。若为拉伸、扭转和弯曲的组合变形，试写出其强度条件。maxNFMAW22/ 4246aaa aPP第八章第八章 组合变形练习题组合变形练习题解：解： 二、正方形截面

19、杆的横截面面积在 mn 处减少一半，试求由轴向载荷 P 引起的 mn 截面上的最大拉应力。92.7MPa22331.52100.065 /3296MPa解：解：作弯矩图。yyzzWMWMmaxmaxmax22maxmaxmaxzyMMW3232(1.5 10 ) 10.05 0.075 /6(1 10 ) 20.075 0.05 /6三、矩形截面梁如图。已知b = 50mm , h =75 mm，求梁内的最大 正应力。如改为 d = 65mm的圆截面，最大正应力为多少？如改为圆截面，则8-5 连接件的实用计算法连接件的实用计算法一、连接件的受力特点和变形特点：一、连接件的受力特点和变形特点：1

20、、连接件、连接件 在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件连接件。例如：螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，却起着传递载荷的作用。 特点：可传递一般 力， 可拆卸。PP螺栓mmPP铆钉特点：可传递一般 力，不可拆卸。如桥梁桁架结点处用它连接。无间隙轴键齿轮特点：传递扭矩。2、连接件的受力特点和变形特点：、连接件的受力特点和变形特点：nn（合力）（合力）PP以铆钉为例： 受两组大小相等、方向相反、作用线相距很近的平行力系作用。 沿两组平行力系的交界面发生相对错动。PP 受力特点受力特点： 变形特点变形特点：nn（合力）（合力）（合力）（合力）PP 构件将发生相互错动的面，如 n n 。 内力 剪力FQ

21、 ，其作用线与剪切面相切。PnnFQ剪切面剪切面 剪切面剪切面： 剪切面上的内力剪切面上的内力：nn（合力）（合力）（合力）（合力）PP 拉伸破坏PnnFQ剪切面剪切面钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。 3、连接处破坏的三种形式、连接处破坏的三种形式： 沿铆钉的剪切面剪断，如 沿n n面剪断 。 铆钉与钢板在接触面上因 挤压而产生显著塑性变形， 使连接松动发生破坏。 剪切破坏 挤压破坏（连接件）（连接件/被连接件）（被连接件）1) 剪切面面积-AQ QQFAt2) 名义剪应力-t t3) 剪切强度条件： QQFAtt untt其中nn（合力）（合力）（合力）（合力）PPPn

22、nFQ剪切面剪切面工作应力不得超过材料的许用应力。二、剪切的实用计算二、剪切的实用计算 实用计算假设：实用计算假设：假设剪应力在整个剪切面上均匀分布。剪力-FQ注：若连接件有两个剪切面，则称双剪切双剪切。三、挤压的实用计算三、挤压的实用计算挤压：挤压：构件与连接件在接触面上相互压紧的现象。实用计算假设：实用计算假设：挤压应力在有效挤压面上均匀分布。挤压力：挤压力：受挤压面上的压力。受挤压面：受挤压面：受压的接触面。 挤压面积A Ajy ：接触面在垂直Pjy方向上的投影面的面积。jyjyjyjyAP3)挤压强度条件：挤压面积dtAjy2)名义挤压应力：jyjyjyPA 工作挤压应力不得超过材料的

23、许用挤压应力。注意：注意：当连接件与被连接件材料不同时，应对其中许用挤压应力 较小的材料进行挤压强度计算。1)挤压力PjyQQFAtjyjyjyPPAcb 例例1 木榫接头如图所示，a = b =12cm，h=35cm，c=4.5cm, P=40KN，试求接头的剪应力和挤压应力。解解： 受力分析如图。 剪应力和挤压应力剪切面和剪力为： 挤压面和挤压力为：PPQAjyAPPPPbachh; QQAbhFPPPcbAjyjy ;Pbh340 100.12 0.350.952MPa340 107.4MPa 0.045 0.12解解：下钢板受力分析如图 例例2 一铆接头如图示，受力P=110kN，已知

24、钢板厚度为 t=1cm，宽度 b=8.5cm ，许用应力 = 160M Pa ；铆钉的直径d=1.6cm，许用剪应力 t = 140MPa ，许用挤压应力jy= 320MPa，试校核铆接头的强度。（假定每个铆钉受力相等） 4QjyPFPbPPttdPPP11 2233P/4则对每个铆钉有：钢板的2-2和3-3面为危险截面剪应力和挤压应力的强度条件QQFAt23 /4(2 )Pt bd/4jyjyjyPPAtd3()Pt bd综上，接头安全。P11 2233P/4ttdPP2/ 4/ 4Pd32110 100.016 136.8MPa140MPat343 110 104 1 (8.52 1.6)

25、 10 155.7MPa160MPa3110 104 0.01 0.01634110 101 (8.5 1.6) 10 159.4MPa160MPa171.9MPa320MPajy 例例3 图(a)为拖拉机挂钩，已知牵引力F15kN，挂钩的厚度为d8mm，被连接板件厚度为1.5d12mm，插销材料为20钢，材料的许用切应力为t t =30MPa，直径d20 mm。试校核插销的剪切强度。 根据受力情况，插销中段相对于上、下两段，沿m-m、n-n两个面向左错动，所以有两个剪切面，称为双剪切双剪切。2QFF QQFAt故插销的剪切强度足够。插销横截面上的切应力为由平衡条件可求得剪力解：解： 插销受力如图 (b)所示。32615 10 / 220104 623.9 10 Pa23.9MPa30MPat解解：键的受力分析如图 例例4 齿轮与轴由平键（bhL=2012100）连接，它传递的扭矩m=2kNm，轴直径d=70mm，键的许用剪应力t = 60MPa ，许用挤压应力为jy= 100M P