第二章 §2.8　函数模型及其应用

1、§2.8函数模型及其应用考试要求1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a>0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a>0且a1)幂函

2、数模型f(x)axnb (a，b为常数，a0)2.三种函数模型的性质函数性质yax(a>1)ylogax(a>1)yxn(n>0)在(0，) 上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax微思考解函数应用题的一般步骤是什么？提示解函数应用题的步骤题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，

3、若按九折出售，则每件还能获利(×)(2)函数y2x的函数值比yx2的函数值大(×)(3)在(0，)上，随着x的增大，yax(a>1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a>0)和ylogax(a>1)的增长速度()(4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型(×)题组二教材改编2在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()Ay2x Byx21Cy2x2 Dylog2x答案D解析根据x0.50，y0.99，代入计算，

4、可以排除A；根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意3已知某物体的温度Q(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律为Qm·2t21t(t0，且m>0)若物体的温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是_答案解析由题意得，m·2t21t2恒成立(t0，且m>0)，又m·2t21t2，22，m.4用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_答案3解析设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形面积为y，则yx×2x(6x)2(x3)218，当x3

5、时，y最大题组三易错自纠5当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A8 B9 C10 D11答案C解析设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为n，由n<，得n10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”6某物体一天中的温度T是关于时间t的函数，且Tt33t60，时间单位是小时，温度单位是，

6、当t0时表示中午1200，其后t值为正，则上午8时该物体的温度是_答案8解析由题意知，上午8时，即t4，因此所求温度T(4)33×(4)608.题型一 用函数图象刻画变化过程1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数vf(h)的大致图象是()答案B解析vf(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.2(2020·全国)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i1,2，20)得到下面的散

7、点图：由此散点图，在10至40之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()Ayabx Byabx2Cyabex Dyabln x答案D解析由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近3设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合

8、的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案题型二 已知函数模型的实际问题例1小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)x2x(万元)在年产量不小于8万件时，W(x)6x38(万元)每件产品售价5元通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x

9、(万件)的函数解析式；(注：年利润年销售收入固定成本流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解(1)每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元当0<x<8时，L(x)5x3x24x3；当x8时，L(x)5x335.故L(x)(2)当0<x<8时，L(x)x24x3(x6)29；当x6时，L(x)取最大值为L(6)9(万元)；当x8时，L(x)3535215(万元)，.综上，当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元思维升华求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，

10、弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验跟踪训练1某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Qatb，Qat2btc，Qa·bt，Qa·logbt.利用你选取的函数，求：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是_；(2)最低种植成本是_元/100 kg.答案(1)120(2)80

11、解析因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t60和t180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Qat2btc，即Qa(t120)2m描述，将表中数据代入可得解得所以Q0.01(t120)280，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.题型三 构造函数模型的实际问题命题点1构造二次函数模型例2某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是()A4,8 B6,10C4%,8% D6%,10%答案A解析根据

12、题意，要使附加税不少于128万元，需×160×R%128，整理得R212R320，解得4R8，即R4,8命题点2构造指数函数、对数函数模型例3一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1x)10a，即(1x)10，解得x1.(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1x)ma，即，即，解得m5

13、.故到今年为止，该森林已砍伐了5年 若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？解设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为a(1x)n.令a(1x)na，即(1x)n，即，解得n15.故今后最多还能砍伐15年命题点3构造分段函数模型例4国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠；每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解设该旅行团的人数为x人，飞机票的价格为y

14、元旅行社可获得的利润为w元(1)当0x30时，y900，当30<x75时，y90010(x30)10x1 200，综上有y(2)当0x30时，w900x15 000，当x30时，wmax900×3015 00012 000(元)；当30<x75时，w(10x1 200)·x15 00010x21 200x15 00010(x60)221 000，当x60时，w最大为21 000元，每团人数为60时，旅行社可获得最大的利润素养提升1.在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型(2)建模：将自然语

15、言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型(3)解模：求解函数模型，得出数学结论(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题2通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解决问题，提升数学建模核心素养跟踪训练2(1)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A10.5万元 B11万元 C43万元 D43.025万元答案C解析设在A地销售

16、该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可获得利润y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.1(x10.5)20.1×10.5232.因为x0,16且xN，所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元(2)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A2020年 B2021年C2022年 D2023年答案D解析设经过n年资金

17、开始超过200万元，即130(112%)n>200.两边取对数，得n·lg1.12>lg 2lg 1.3，所以n>，又nN*，所以n4，所以从2023年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元课时精练1某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()答案A解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.2在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示

18、这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.041 87.51218.01A.y2x2 By(x21)Cylog2x Dy答案B解析由题表可知函数在(0，)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.3某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A略有盈利 B略有亏损C没有盈利也没有亏损 D无法判断盈亏情况答案B解析设该股民购这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(110%)

19、na×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(110%)na×1.1n×0.9na×(1.1×0.9)n0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损4某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为()A13 m3 B14 m3 C18 m3 D26 m3答案A解析设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y则10m(x10)·2m16m，解得x

20、13.5某食品的保鲜时间y(单位：h)与储存温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)，若该食品在0 的保鲜时间是192 h，在22 的保鲜时间是48 h，则该食品在33 的保鲜时间是()A22 h B23 h C33 h D24 h答案D解析依题意e22k，e11k，e33kb(e11k)3·eb3×19224.6小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)则下列说法错误的是()A随着时间的增加，小菲的单

21、词记忆保持量降低B第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%答案D解析由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；由图象可得B正确；当1<x30时，f(x)，则f(9)×0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C正确；f(26)×>，故D错误7(2020·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y(数量：只)与时间x(单位：年)的关系式为yalog2(x1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到_只答案300解析由题意知100alog2(11)a100，当

22、x7时，可得y100log2(71)300.8经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)2t200(1t50，tN)，前30天价格为g(t)t30(1t30，tN)，后20天价格为g(t)45(31t50，tN)则日销售额的最大值为_答案6 400解析设日销售额为S，当1t30时，S(2t200)×t240t6 000(t20)26 400.当t20时，Smax6 400；当31t50时，S45(2t200)90t9 000，当t31时，Smax6 210.6 210<6 400，故当t20时，日销售额有最大值6 400

23、.9(2021·武汉模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1 000元选择合适方式存满5年，可以多获利息_元(参考数据：1.022 541.093,1.022 551.118,1.040 151.217)答案99解析将1 000元存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为1 000×(14.01%)51 217(元)，故共得利息1 2171 000217(元)将1 0

24、00元存入银行，则存满5年后的本息和为1 000×(12.25%)51 118(元)，即获利息1 1181 000118(元)故可以多获利息21711899(元)10为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地，第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元设f(n)表示前n年的纯利润，则从第_年开始盈利f(n)前n年的总收入前n年的总费用支出投资额答案5解析由题意知f(n)26n60n219n60.令f(n)>0，即n219n60>0，解得4<n<15，所以从第5年开始盈利11

25、某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系ycmt(c，m为常数)(1)求c，m的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？解(1)由题意可列方程组两式相除，解得(2)由题意可列不等式0.5，所以8，即t8，解得t32.故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态12某家庭进

26、行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元，0.5万元(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解(1)设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为f(x)k1x，g(x)k2.由已知得f(1)k1，g(1)k2，所以f(x)x(x0)，g(x)(x0)(2)设投资股票类产品为x万元，则投资债券类产品为(20x)万元依题意得yf(20x)g(x)(0

27、x20)所以当2，即x4时，收益最大，ymax3万元故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元13(2020·皖南八校联考)某购物网站在2020年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为()A1 B2 C3 D4答案C解析为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又4211×39，所以最少需要下的订单张数为3.14物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则TTa(T0Ta)，其中Ta称为环境温度，h称为半衰期现有一杯用85 热水冲的速溶咖啡，放在21 的房间中，如果咖啡降到37 需要16 min，那么这杯咖啡要从37 降到29 ，还需要_ min.答案8解析由题意知Ta21 .令T085 ，T