电动力学第三版答案

1、电动力学习题解答签考第二章牌电场L 一个半径为R的电介质球，极化强度说厶，电容率为£。 厂(1) 计算束缚电荷的体密度和而密度：(2) 计算自由电荷体密度：计算球外和球内的电势；(4)求该帯电介质球产生的静电场总能磺。解：(1)_r11pp = -V B厶=-A?(V -f + V f) = -Kir2* ap = -n(P2-F>)R又球外无极化电荷FA = 0 bp =n-FR = n-K-TR = KIR(2) It!公式 D=CE£K(£一死)卢1 -电动力学习题解答签考第二章牌电场# -电动力学习题解答签考第二章牌电场(3) 对于球外电场,由高斯定

2、理可得,# -电动力学习题解答签考第二章牌电场# -电动力学习题解答签考第二章牌电场行.伽2=巨竺=险更m5CKR/. &外=r- K f同理可得球内电场：殆=£一务厂8F疋R球外电势的=2弘證=应石# -电动力学习题解答签考弟二章符电场电动力学习题解答签考弟二章符电场8R球内电势0内=样外朮+样内SK£。(一 心)1 一- 1血内=亍£)内E内=亍AT K » r2 £一心r _ cK2r2 2(£%)电动力学习题解答签考弟二章符电场电动力学习题解答签考弟二章符电场.卄内d7=JJ片爲rKr'siii如d久0=2；T

3、£R ()3电动力学习题解答签考弟二章符电场电动力学习题解答签考弟二章符电场t r2sin6did6H<死(£r2 加 RK，o(-o)2电动力学习题解答签考弟二章符电场电动力学习题解答签考弟二章符电场.w = %+ ”外=2；z示(1 + -2. 在均匀外电场屮置入半径为尽的导体球，试用分离变数法球卜列两种情况的电势:(1) 导体球上接有电池.使球与地保持电势差必；(2) 导体球上带总电荷Q解：(1)肖导体球上接有电池.与地保持电势差时，以地为电势零点 本问题的定解条件如F0内=0o(R=&)V>=0 (R>-Rq ) IL0 外 Lt8 = _

4、EoRcos&+%0外 I R=% = %(%是未置入导体球电动力学习题解答签考弟二章符电场电动力学习题解答签考弟二章符电场前坐标原点的电势)8bn根据仃关的数理知识，可解得：0外=工筑町+) R(cos8) n-0R由©外|心=-EoRcos&+0o 即:80外=% + OiRcos8+ 工 a”R”E(cos&)11=244cos0+gn-H出(cosQ)|8=-EqRcosO+(p0电动力学习题解答签考弟二章符电场电动力学习题解答签考弟二章符电场故而有：aQ = =一血卫“ =0(« >1)上” =0(n>l)0外=©_E

5、()Ycose+cos。电动力学习题解答签考弟二章牌电场又0外g =00,即：0外%-恥cos歼学+%心0= 00故而又冇:00 + # = 00- EqR0 cos&+ 4cos0 = 0得到：bQ = （00 - %）C 二最后.得定解问题的解为：©卜=-EoRcos0+ 5 +（% 一 ）凡 +（尺 > 尽）（2）当导体球上带总电荷Q时.定解问题存在的方式是：P20内=0（尺< 凡）讪外=0（尺> 阳0内|r_x）=有限< 0外|R» = EoRcosO +（Po（处是未置入导体球询坐标原点的电势）0内=0外 |r-e-辄鲁妇0心尽）5

6、解得满足边界条件的解是0内=工鑫时4（3。）n=0©卜=处E°Rcos 外工尺（cos。） n=0 R由J9外|心8的表达式中，只出现了目（cos8） =cos少页，故，b”=°0?>l）/. %=处一E（）Rcos&+%+ 4cos°R &又仃0外k胡是个常数（导体球是静电平衡）b b0外|g =% - E°尽cos外严 + 占cos&=C. 一 E0R0 cos 0 十- cus 0 = OH|J: b、= E0R0外=% -EqRcos8 + 仏 + 已吓 C0S&Q卄咏一5= Q + 如徑cos&a

7、mp;EoRcosB R> 民 4%R&3. 均匀介质球的中心置一点电荷Q球的电容率为球外为真空.试用分离变数法求 空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较.提示：空间各点的电势是点电荷Q的电势明航与球而上的极化电荷所产生的电势的 叠加.后者满足拉普拉斯方程。解：一.高斯法在球外，R>&,由高斯定理有：ds = Q=QJ+QP = QJ ,（対丁整个导体球而言，束缚电荷C? = 0）积分后得：0外=急+弘是积分常数）又由0外|rt8 = °，C = °在球内，RV&,由介质中的高斯定理：D-ds=Qj枳分启得到：=+C2.（C2是积分常

8、数）-5-电动力学习题解答卷冷弟二章符电场宙0内=0外良胡，故而有:Q4矶尽 ©=卫-+ （R < 爲）IJ AncR 4龙兄Rq 4开叭二.分离变屉法本题所求的电势是由点电荷Q与介质球的极化电荷两者各自产牛的电势的會加，II.令着球対称性.因此，其解可写作"=磊+0 由0是球对称的，其通解为 0=Q +看 tlJ：球心有Q的存在.所以有0内|rtO = S,-#-电动力学习题解答卷冷弟二章符电场-#-电动力学习题解答卷冷弟二章符电场在球外冇 IrrN,由边界条件得R,R > R)-#-电动力学习题解答卷冷弟二章符电场0内=蛊+誥忒急4. 均匀介质球（电容率为&

9、#174;）的中心宣一口 I1J电偶极子球外充满了另一种介质（电容率为5 求空间各点的电势和极化电荷分布。提示：同上题，0=号.：+仇而0，满足拉普拉斯方程" 4龙£尺'内又浑1 dR“ 2Rcos8it& = 0（一 -dR-7-电动力学习题解答卷冷弟二章符电场-#-电动力学习题解答卷冷弟二章符电场比较刁（cos。）系数:BgOf /q'=0一牛"耳害心电知2（SFPj2（®_£jPfw：均=4兀® （习+ 2习）用4龙匂佝+ 182）比较马（cos 8）的系数:3禺， B2ia2rq=-,a2 =及 （1

10、+） = 0所以A2 =0,B2 = 0.同理.Aj=Bi =0,（/= 23 -）最后有:PjR2（习-PjR2（勺-$2”厂斤0内= r +Rcos0 =r +,（尺 v &）4眄R MqG +2£?）尽4龙£尺4亦（习 +22）尺0如=竺+ 2（»£2巾严“竺+如勺）”：="j.R 阳 4gR 4龙习（£ + 1c2）R4“R'4打6（£ +26）R 4龙（右 +2勺）氏-8-电动力学习题解答琴考弟二章静电场球面上的极化电荷密度6 讥-，斤从2指向1，如果取外法线方向，则Gp =弘"- R#”

11、 = （$2 - ）V0外）h -（勺 - ）V0内几。0外°）药P f cos。-6py cos（96（0 -2）py cos。2（® _&）_2（匂 +2&）=（G 一 ） 一 （i 一 ）1;4才（® +2习）尽）4龙（® +2习）尽）4亦1（习+2巧）尽）=6®偷-引+ 6£血严）“辭=-3（-） 歸4开S （叼+ 22 ）屁2兀匂（可+ 2勺）农 '求极化偶极子：号二話可以看成两个点电荷相距1，对每一个点电荷运用高斯定理.就得到在毎个点电荷旁边冇极化电荷qP = （-l）qf-qP = （-l）（-g

12、z）,两者合起來就是极化偶极子6勺#电动力学习题解答琴考弟二章静电场#电动力学习题解答琴考弟二章静电场< 02 =C,02|=r =C5空心导体球壳地内外半径为R】和比，球中心置一偶极子戸，球壳上带电Q,求空间各点 电势和电荷分布。解：*3 =0，0|一8 =°< 02 二 W = 00p.f0 = + 0妙0为有限值4 知'4陌s<9+ 5A.局勺1COS&+ 仝+ Aq +Zi/?i cos0 + =C4即：Aq = C,（4i+ Pj Jcos<9 = 0,5/ =0（Z =1.2.3-）,>!/ = 0（/= 2.3.4） R24

13、 佔id（tk 2Pf cosOPf cosO乂：/-= +IARPl = +A cos8+dr 4gR； J2 叭 R：BQ "一 bq警工（亠i）岛刁一鲁宀計se+ 则：一 4些dS= 4算dS= 算切S= 4欣:算 =4初。J dr J R R；R§dS =cos倒'sin创础0+ 舟丁 cos倒'sin&i6ti（p= 0 + 0 = 0故:4巩=Q_10电动力学习题解答琴考弟二章静电场#电动力学习题解答琴考弟二章静电场QQ一 Pf"o = 1 ，尺="34/Tq4 开 £qR?4 穴兀&最后冇：P r

14、Pf -rQ0 =5T "*,（厂 V 尺）4/r%厂 勿®用初厲尽* 03 =*，（厂 >尺2） 机=A真，（月 <Z <2）电荷分布： 在r=Ri的而上一 Pf cosO 一 Pf cos&F:2緒4晴4/rqj R=Pf cos 8J4硏在 r=R2 ffli±#电动力学习題解答签考弟二章符电场6.在均匀外电场竝屮置入-带均匀I曲电荷Q的绝缘介质球求空间各点的电势。外=工(A/ + 岛)R(COS&) 0内=_存/宀0V* = 00内是由高斯定理解得的.Q的作用加上忌的共同作用。一 EqF COS&、00外=一 Ep

15、cos&+工缶 P (cos 8)0内=二 2 + 工 C/岀(COS &)B.0内=0外（尸=尺0）：EqRq cos0 + h-y P-, += pj-R" + c. + CAq cose + c->7?q*R +B. D 2农7"内外乙乙n切内drdrdr+ VlcjRq1 Fj (cos0) = -Rq + &i cos&+ 2&r局R + 3£ 厶3= %(-Eo COS& + 工(-1 -1)-)11-电动力学习题解答密考弟二章朴电场_詁cos 碍-勢cos 弩只+R62务耳心=Y°Eo-

16、32口凡一警21-#-电动力学习题解答密考弟二章朴电场-#-电动力学习题解答密考弟二章朴电场解方程得：Bq = - py3旬目=_36严+砧£+ 2$0-#-电动力学习题解答密考弟二章朴电场-#-电动力学习题解答密考弟二章朴电场及：2C2Rq = -3%尽jC?即卩矶+彳勺尺小二。-#-电动力学习题解答密考弟二章朴电场-#-电动力学习题解答密考弟二章朴电场同理：Cz = B, = 0得：0八=£or cos0± 氏P，+ Eo、cos0一 %E°氏 COse、r > 氏 3® r2（£+2旬）尸。内=一刍戸土用久（-+：）- 了

17、厂COS&/V尽6£7 3死 68£+2®7.在一个很人的电解槽中充满电导率为<7?的液体.使其屮流着均匀的电流SfQ9今在液体中置入一个电导率为5的小球，求稳衡时电流和电荷分布.讨论5>>6及a2 » 5两种情况的电流分布特点.先求空间电势:。内=0外r =尺0严内=0X外=0 因为/弘=6外 = &）（稳恒电流认为表而无电流堆积即流入”二流出”）并且几Lo = & 即0外|+=-时COS&（力.=6址）0内1-8有限可以理解为在恒流时T0的小対闭曲面流入=流出0内=一Ej" cos e,F

18、< Rq这时的解即为：5+26Ld L 6 - 6、COS。 f窃辭5傀密云求内外电场:E7占烷需歸）一20力, 1 20曲3o仃一（晋匸审"嗨）36o*i + 2 oEf/.=E0 (cos 爲 一 sin 為)+ 用呼 (_)2 cos 硯 + sin 6ee r 6 + 26=Eo (cos 爲 - sin 爲)+ Eo, (_)(3 cos 爲 - cos 爲 + sin 6ee 1r (Jl + 2(j2詁+用（土学）珥辭（7 + 2a2求电流：根据了内=5丘内丿外外JjQ=(72(Jj P)戸<r20r cosd _3%Eo cos。匂3j = 0(2m 一

19、目=%外“ 一 E内=_T(5 - 6)O + ZO->-13-电动力学习题解答卷冷弟二章朴电场8半径为鸟的导体球外充满均匀绝缘介质£导体球接地.离球心为a处（a>尽）置一点电荷试用分离变数法求空间备点电势证明所得结果与镜像法结果相同。提示:1（R2 +，-2aRcos&解：1）分离变数法由电势叠加原理球外电势:佔蛊+皿是球面上跻电荷产轴电势且满足定解条件:W =0,（r > 尽）* 0 1+ =0根据分离变数法得:0外仁=0CO E0 =工-刁（cos外（厂 > 场） /=0 r/+ E #r 马 as。）4亦+ 厂-lar cosO /=o 1毎念

20、9"尺（T + £务恥。沏,（r<a）乂 04边磊和+诰出如）=。即：生+乩。,虫也零。,.,生+%=。4兀&? Rq Ansa a &4开&i a 號-14-电动力学习题解答卷冷弟二章朴电场-#-电动力学习题解答卷冷弟二章朴电场屁 Qf b 一 尺"Qta Ansa'a1 Ansa代入（*）式得解-15-电动力学习题解答参考弟二章舲电场-16-电动力学习题解答参考弟二章舲电场2）镜像法如图建立坐标系，本题八有球对称性，设在球内©处冇像电荷00代替球而上感应电荷对空间电场的作用，由对称性，0在0的连线上。 先令场点R

21、在球而上，根据边界条件仃：乞+纟_ = 0,即:工=-纟-=常数5 % S Qf将Q的位置选在使 0POsA则冇:乙二乞（常数），为达到这-目的，令0距圆心为心则：2=乞心=竺Rq aa并件齐舊警常数O-警这样，满足条件的像电荷就找到了，空间各点电势为:Ri0厂旦+旦二丄叫4性庆砖卜+（令+ 2思罰V aa2/,(/>将分离变数法所得结果展开为Legend级数可证明两种方法所求得的电势柑等。9.接地的空心导体球的内外半径为R】和R“在球内离球心为a（av%）处置一点电荷Q用 镜像法求电势。导体球上的感应电荷有多少？分布在内表而还是外表而？解：球外的电势及导体内电势恒为0。而球内电势只耍满

22、足0内=0即可。因此做法及答案与上题同.解略。a因为球外0 = 0,故感应电荷集中在内农面，并J1为一Q.-17-电动力学习题解答签冷弟二章静电场10上题的导体球壳不接地.而是帯总电荷Qo,或便其右确定电势试求这两种情况的电势。又问与Q是何种关系时.两种情况的解是相等的？解：由于球壳上有自由电荷Qo并且乂是导体球壳，故鏗个球壳W该是等势体。其电势用高斯定理求得为纟上鱼4亦感,所以球壳内的电势将由Q的电势，像电荷-驾/的电势及球壳的电势檯加而成.球外电势利用高斯公式就町得. 故：Q+Q4兀“R,（尺> 尽）QJr' + a? -2Rci cos。-#-电动力学习题解答签冷弟二章静电

23、场-#-电动力学习题解答签冷弟二章静电场+0o“< 尽）% = °4% yR2 + a2 - IRa cos。1 0。= g+Q)时两种情况的解相同。 4矶&11.在接地的导体平面上有一半径为a的半球凸部(如图人半球的球心在导体平面上，点 电荷Q位J：系统的対称轴上，并与平而相距为b (b>a)f试用电象法求空间电势。解：如图.利用镜像法，根据一点电荷附近置一 无限人接地导体'卜板和一点电荷附近置一接地导体 球两个模型.可确定三个镜像电荷的电量和位a旷 _Qi=-Q = uDaa203 = -e»z3 = -bFA Q r11a4兀 Jr? +b

24、? -2Rbcos& >JR2 + b2 + 2RbcosO , L-> a4 _ cr2 _ n b.R+2RcosO b2 b+ ，(0 " < % R >。),Ia4门/b、R" + 2 R cos 0 b2 b 12.仔一点电荷Q位两个互相垂直的接地导体平面 所由成的直角空间内，它到两个平面的距离为a和b, 求空间电势。解：可以构造如图所示的三个象电荷来代替a z P(x. yf z)Q(xo,a,b) b+QQ(Xo>a,-b)(xo,a.b) i0 =1L1A% 7(x - xo)2 + Cy - a)2 + (s - d)

25、2 yj(x - x0)2 + (y - a)2 + (s + b)21J(x-Xo)2 + (y + a) + (b)2+ 伍 XoF + U + dF + Cr + b)"®'- >0)13设有两平面围成的直角形无穷容器,其内充满电导率为。的液体.取该两平面为xz面 和yz面,在（毛%）和（忌必用）两点分别置正负电极并通以电流I,求导电液体中的 电势。解：本题的物理模型是，由外加电源在A、B两点间建工电场，使溶液中的载流子运动形 成电流I,当系统稳定时，是恒定场，即 V-；+ = 0«|«,空=0,dtdt对J：恒定的电流.可按静电场的

26、方式处理。 展在A点取包围A的包围面:E-ds =而又有Ji = E-a.右丄/ = >g= <7(7对B QQb=-Q=-旦G<A(xoy0.zo)/一B(xoy0.zo)Q(XoJo.Zo)又在容器壁上，川0,即元电流流入容器壁.QS滋由：=bE有儿=0时.£ = 0可取如右图所示电像XQ 如 yo/o) yQ(Xoy(rZo)-Q(xoyo/Zo)Q(-xo.yoQ(xo.7oX两导体板的作用。dx14価出函数坯1的图，说明p = -(P V)J(x)是一个位源点的偶极子的电荷密度。d6(x) a解：5(x) =0,X H 0s,x = 0dx-20-电动力学

27、习题解答签冷弟二章静电场力(X)= lim 5(x +Ax) - $(x) dx zto Ar)“0时,塑亠0dx2) x = 0时，:a) Ax > o,d$(x) - |jm 2_2 - _cq dxa yto Ax,x A c d§(x)0- cob)Ax < 0,= Inn= +sdx aato Ax15.证明1) 3(ax) = S(x).(a > 0)( a若a<0,结果如何?)2) xJ(x) = 03(x -证明：1)根据§0(X)=工占-X所以S(ax)-/2)从5(x)的定义町肖接证明。冇任意良丙数f(x),PW/(x).x=F(

28、x)也为良两数J f(x)xS(x)dx = /(r)-xx=Q =0 16. 块极化介质的极化欠届为P(x').根据偶极子静电势的公式，极化介质所产生的静电势为另外，根据极化电荷公式卩戶=-V.p(x)及Qp=HP,极化介质所产生的电势又可表为OI b用)新+$服)掃 ”4亦()广乐4o r试证明以上两衷达式是等同的-#-电动力学习题解答签冷弟二章静电场证明:又有:v>（pi） = V'.pl+P V'l>则:t 7 p I f I p I 两耳丁凸+訂（評7刚好是极化体电荷的总电势和极化面电荷产生的总电势Z和。17.证明下述结杲.并熟悉而电荷和而偶极层两侧电势和电场的变化。(1) 在面电荷两侧，电势法向微商有跃变，而电势是连续的(2) 在面偶极层两侧.电势有跃变而电势的法向微商是连续的。(各带等彊正负面电荷密度± 6何靠的很近的网个I虬 形成面偶极层而偶极矩密度P = lim .) aX© /TO证明：1)如图可得：2E山=£3:E =2心OG,0 0r