电动力学复习题库02(修改)

1、二、简答题1. 电磁场理论赖以建立的重要实验及其重要意义。11 斗斗2. 静电场能量公式 WedV、静磁场能量公式 WmJ AdV的适用条件。2、2、13. 静电场能量可以表示为 WedV，在非恒定情况下，场的总能量也能这样完全通过电荷或电流分布表示出来吗？为什么？4. 写出真空中Maxewll方程组的微分形式和积分形式，并简述各个式子的物理意义。5. 写出线性均匀各向同性介质中麦克斯韦方程微分形式和积分形式，其简述其物理意义。6. 电象法及其理论依据。答：镜像法的理论基础（理论依据）是唯一性定理。其实质是在所研究的场域外的适当地方，用实际上不 存在的 像电荷”代替真实的导体上的感应电荷或介质

2、中的极化电荷对场点的作用。在代替的时候，必须保 证原有的场方程、边界条件不变，而象电荷的大小以及所处的位置由Poisson方程和边界条件决定。7. 引入磁标势的条件和方法。就是说该区域是没有自答：在某区域内能够引入磁标势的条件是该区域内的任何回路都不被电流所链环, 由电流分布的单连通区域。若对于求解区域内的任何闭合回路，都有H dl = 0,H 二一''、8. 真空中电磁场的能量密度和动量密度，并简述它们在真空中平面电磁波情况下分别与能流密度及动 量流密度间的关系。9. 真空中和均匀良导体中定态电磁波的一般形式及其两者的差别。10. 比较库仑规范与洛伦兹规范。11. 分别写出在

3、洛仑兹规范和库仑规范下电磁场标势矢势所满足的波动方程，试比较它们的特点。12. 写出推迟势，并解释其物理意义。J( xg/OdVr答：推迟势的物理意义：推迟势说明电荷产生的物理作用不能立刻传至场点，而是在较晚的时刻才传到场点，所推迟的时间r/c正是电磁作用从源点 x'传至场点x所需的时间，c是电磁作用的传播速度。13. 解释什么是电磁场的规范变换和规范不变性？答：设“为任意时空函数，作变换 AA： A I '',:有= N 汉 A = B_仝=_灯护 _£a = E即A；"与A,描述同一电磁场。上述变换式称为势的规范变换。当势作规范变换时， 所有物理

4、量和物理规律都应该保持不变，这种不变性称为规范不变性。14. 迈克尔逊一莫来实验的意义。答：迈克尔孙一莫来实验是测量光速沿不同方向的差异的主要实验。迈克尔孙一莫来实验否定了地球相对于以太的运动，否定了特殊参考系的存在，它表明光速不依赖于观察者所在参考系。15. 狭义相对论的两个基本原理（假设）及其内容。答：（1）相对性原理所有惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同形式。也就是不通过力学现象，还是电磁现象，或其他现象，都无法觉察出所处参考系的任何绝对运动”。相对性原理是被大量实验事实所精确检验过的物理学基本原理。（2）光速不变原理真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为

5、G并与光源运动无关。16. 写出洛伦兹变换及其逆变换的形式。17. 具有什么变换性质的物理量为洛伦兹标量、四维协变矢量和四维协变张量？试各举一例。18. 写出电荷守恒定律的四维形式，写出麦克斯韦电磁场方程组的四维形式。1 写出真空中麦克斯韦方程组的微分形式、积分形式和边值关系。.d#-d .-E dlB ds H dl =1 fD dsLdt SidtsD ds =QfsB ds =0sn E2 - E1 =0n H 2 - H1 二n D2 -二二 n B2 - B1 02写出线性均匀各向同性介质中麦克斯韦方程组的微分形式、积分形式和边值关系。VxE 二汨'、B = JI;:E E

6、E = 0rt:tzEdld=B dsH dll-I fD dsLdtSdtsDsds=QfB dss=0nE2-E1 =0n H2 一 H 1n D2 D<|=二 nB2 - Br = 02 电磁场与带电粒子系统能量转化与守恒定律微分式、积分式及其意义。微分式 '= -f vad积分式S d；- f vdVdVdt '物理意义：单位时间内流入某一区域v内的能量，等于其内电荷所消耗的焦耳热与场能的增加。3.写出平面波、复介电系数、复波矢的表达式i k x _wt E x,t - Eoe4写出四维波矢量、四维电流密度、四维势、电荷守恒定律、达朗贝尔公式的表达式。J 厂 J,

7、iC5.写出磁偶极子的磁感应强度、矢势表达式答：磁偶极子的磁感应强度(1)B6.磁偶极子的矢势(1)A唯一性定理的内容及其意义。(6分)内容:设区域V内给定自由电荷：、（x），在V的边界S上给定Cp、1）电势 S确定 或2）电势的法向导数则V内的电场唯一地被确定。(4分)意义：1.给出了确定静电场的条件，这是解决实际问题的依据。2. 在有解的情况下，解是唯一的。因此，在实际问题中，可以根据给定的条件作一定的分析，提出 尝试解，只要它满足唯一性定理所要求的条件，它就是唯一正确的解。（2分）7.平面电磁波的特性（6分）1） 电磁波是横波，E和B都与传播方向垂直（2分）2） E、B、k两两垂直，EX

8、 B沿k的方向（2分）3）E和B同相，振幅比为 v（2分）第一章例：电流I均匀分布于半径为 a的无穷长直导线内，求空间各点的磁场强度，并由此计算磁场的旋 度。解：在与导线垂直的平面上作一半径为r的圆，圆心在导线轴上。由对称性，在圆周各点的磁感应强度有相同数值，并沿圆周环绕方向。先求磁感强度：（1）当r>a时，通过圆内的总电流为 I，用安培环路定理得10 分）因此，可以得出:B dI 二 2».rB 二（r>a）式中e0为圆周环绕方向单位矢量。(2)若rva，则通过圆内的总电流为2.2 nr IJ S =二 r J 2: a应用安培环路定理得lB dl 二 2 二rB因而，

9、得出 b=2ia2 灯2r2 1 a%lr2（rva）用柱坐标的公式求磁场的旋度：(1)当r>a时由我们求出的 B得出、 B =-旦 er1 厶(rBJg =0.z r ：r(2)当r<a时，由上面的式子得卩Ib勺 ez 70j a六、电荷Q均匀分布于半径为 a的球体内,解：由高斯定理N2ra 时，: E ds = 4：r E- Qr写成矢量式得 E 34瓏orr : a时，球面所围电荷为（r>a）（r<a）求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度.（2 分）（1 分）(共Qr33a（1 分）E ds =4二r2E = Qr7%a（2 分）（2 分）r a 时，；r

10、= 0'、(2 分)7.有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球，介质的电容率为；，使介质球内均匀带静止自由电荷订，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。解：（1）设场点到球心距离为r。以球心为中心，以r为半径作一球面作为高斯面。 由对称性可知，电场沿径向分布，且相同r处场强大小相同。当 r ： * 时，Di = 0， Ei = 0。当 * : r : r2 时，4：r2D2 =4 二（r3 - r）43匚（r3-ri3）6(r3 -ri3)63r2向量式为当r r2时,(r3-ri3)4 r -3sr3433、_ TT (a)Pf324二r D3D3 =(r23

11、（叮-心向量式为(2 )当 r1 : r3r23；°r2*2ri3)；'f r3；°r3:D 时,，E2 :-D 2)cp一n (P2 - Pi)-n-0=r2 时，cp8.内外半径分别为r1和r2的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流 J，求磁感应强度和磁化电流。解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径为 性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。当 r : r1当 r1 : rJ f，导体的磁导率为r。由对称所以 H时，由安培环路定理得：:2时，由环路定理得:2 2J f （r - ri ）B2H i =

12、0, Bi = 02二旧2 二 Jf 二(r2 -ri2)(r2-rj) |Jf2r向量式为B 22r仏"f 兮J f r当r r2时,2r ' - 2r22 22 二旧3 二 Jf 二-ri )22%仃2 - ri )J f 2r2r向量式为B 3 二 (。2 _l2)jf g 厂沁二J J f r所以 HJfW2)3,B32r22r磁化强度为卩 （r2 -几2）化一1）J f r所以 Jm = '泊 M = '订（1）H 2 =（1八H 2% %在r = r1处，磁化面电流密度为1M dl =02 二 R 在r = r2处，磁化面电流密度为:m =0-丄

13、M dl 二 一（2-1）（2 一；1）Jf2兀r2、402r222向量式为 aM -（1）色 t J f%2r；9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度证明：在均匀介质中 P = （;/；0-1）；0E =（；-；0）E所以P = （ ； - ；0八 E = （ ； - ；0）（1/ ；） D 八（；-；o）/；'f 八（1-；o/；）f(2 )当 * : r ： r2 时，M = (1) H 22r2= ()J f0-0(r22 -ri2),J ff 的(1 - ;0 / ;)倍。的电池，求：（1 ）电容器两极板上的自由电荷面密度- f1和f2 ；11.平行板电容

14、器内有两层介质，它们的厚度分别为h和12，电容率为；1和；2，今在两板接上电动势为E（2）介质分界面上的自由电荷面密度- f3。（若介质是漏电的，电导率分别为匚1和匚2当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？）解：忽略边缘效应，平行板电容器内部场强方向垂直于极板，且介质中的场强分段均匀，分别设为E1和E 2，电位移分别设为 D1和D2，其方向均由正极板指向负极板。当介质不漏电时，介质内没有自 由电荷，因此，介质分界面处自由电荷面密度为C0f3 =0取高斯柱面，使其一端在极板A内，另一端在介质1内，由高斯定理得：D1 =怕 f1同理，在极板B内和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：D2=cof2在

15、介质1和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得:Dr = D2所以有E1f1f1由于E dlf1f1所以f1=-cof212当介质漏电时，重复上述步骤，可得：Di=.fi ,D2=-.f2 ,D2Di=f3二 CO f 3 = 0 f 1 co f 2介质1中电流密度 J 1E门D1 / ” =介质 2 中电流密度 J 2 =；2 E 2 = =2 D 2 / ；2 - ；2 C ' f1 亠心 f3 ）/ ；2 由于电流恒定，J 1 = J 2 ,二 <!伸 f1 /知=2 f1 +f3）/®-'f3二(£1 一二)s =(亠一1)1- 2- 1- 2 2

16、 I 1再由 EE dl = E1l 1E2I2 得E"12 j 2 '1 f1- 1(hJ I'1 2。2 S E、-2丨 1、- 11 2=_(，f1 . .，f3)= _二 1 2 _ ；2 1-f3- 一E I212. 证明：（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足tan r 22tan 片“其中；1和；2分别为两种介质的介电常数，宀和二2分别为界面两侧电场线与法线的夹角。（-）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线的曲折满足tan 6 _ 二2ta n- 1其中匚1和匚2分别为两种介质的电导率。证明：（1）由E的切向分量连续，

17、得(1)(2)E1 sin 十=E2 sin 二2交界面处无自由电荷，所以D的法向分量连续，即D1 cos冃二 D2 cosr2;1E1 cost = ；2E2 cosn2（1）、（ 2）式相除，得ta n 丁 2 tan 齐 “（2）当两种电介质内流有恒定电流时J 1 = 1 E 1, J 2 二；” 2 E 2(3)由J的法向分量连续，得二 Ecos =J2E2cosr2（1）、（ 3）式相除，即得tan d2 _ Jtan 片 -113. 试用边值关系证明： 在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。证明

18、：（1）设导体外表面处电场强度为E，其方向与法线之间夹角为-，则其切向分量为 Esinr。在静电情况下，导体内部场强处处为零，由于在分界面上E的切向分量连续，所以Esin 日=0因此 - 0即E只有法向分量，电场线与导体表面垂直。（2）在恒定电流情况下， 设导体内表面处电场方向与导体表面夹角为：，则电流密度E与导体表面夹角也是。导体外的电流密度 J-0，由于在分界面上电流密度的法向分量连续， 所以匚Esin ： = 0因此 - 0即J只有切向分量，从而 E只有切向分量，电场线与导体表面平行。19.同轴传输线内导线半径为a,外导线半径为 b,两导线间为均匀绝缘介质 （如图所示）。导线载有电流I，

19、两导线间的电压为 U。4（1）忽略导线的电阻，计算介质中的能流S ；（2）若内导线的电导率为 6计算通过内导线表面进入导线内的能流，证明它等于导线的损耗功率。解：（1）以距对称轴为r的半径作一圆周（a<rvb），应用安培环路定律,由对称性得2 二 rH 二二 I因而H 2灯导线表面上一般带有电荷，设内导线单位长度的电荷（电荷线密度）为T ,应用高斯定理由对称性，可得2 rEr =-zT，因而Er2兀2I T能流密度为S =E H= ErH君2兀z4兀&r式中ez为沿导线轴向单位矢量。两导线间的电压为U = bErdln©b2二；把S对两导线间圆环状截面积积分得:P 二

20、-rSdraIn (a/b)b 1a严UIUI即为通常在电路问题中的传输功率表达式。可见这功率是在场中传输的。（2）设导线的电导率为d，由欧姆定律，在导线内有CTEzJ- na cr由于电场切向分量是连续的，因此在紧贴内导线表面的介质内，电场除有径向分量Ez。因此，能流S除有沿z轴传输的分量Sz夕卜，还有沿径向的分量-SrEr夕卜，还有切向分量-Sr EzHy2流进长度为 I的导线内部的功率为-Sr2a;_l第二章七、（11分）导体内有一半径为 R的球形空腔，腔内充满电容率为£的均匀电介质，现将电荷量为q的点电荷放在腔内离球心为 “（a ： R）处，已知导体电势为 0,试求：腔内任一

21、点的电势。解：假设球内有点电荷 q 可代替球面上感应电荷,:=0,满足唯一性定理，解唯一合法。（2 分）由对称性q应放在oq的连线上。选择q的位置大小，使球面上的 考虑两个特殊点 A , BaRo=0bRoa Ro4二；0（a - R。）4二；0（b R0）q¥ q買（2 分）R0 -b4二；o（a - Ro）4二；o（b - R°）rq_R0 -brq_b+ R0a - R°aR0R0-ba - R0bR0aR0R0R0（2 分）（2分）（2 分）申1"q R°q _ 1qR°q'a4號0<raO 4瓏 0sR2 +a

22、2 -2RaCos日Jr2 +b2 -2RbCosBJ1一个内半径和外半径分别维（1 分）R2和R3的导体球壳，带电荷为Q。同心地包围着一个半径为R1的导体球(R1<R2)，使半径R1的导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。QR2R3SOLURION:第一步：分析题意，找出定解条件。根据题意，具有球对称性，电势不依赖于4极角和方位角 '，只与半径r有关，即;：(r,) >故定解条件为 2 1 二 0.'、2 2 -0.边界条件导体接地有2(r)(3.38)rR3R : r :R2(3.39)=3r 占1 r整个导体球壳为等势体，有21 JR3(3.40

23、)球壳带电量为 Q，根据Gauss定理(3.41) E ds =S得到C1 2靜2 2/r2d2r2d-二r £3r 盘 r(3.42)由方程(3.39)可看出，电势不依赖于 内、外空间的电势：，取n=0;不依赖于二，取尺(cos)1，故得到导体球壳(3.43)第二步，根据定解条件确定通解和待定常数。B曙=A + r > R5*r惯D黄=C +R1 cr 5 )lr由(3.40)式得当 r “ ， = 0.A = 0当 r = R,2 = 0.C -R1从而得到旦彳r2说-丄)r R由(3.41)式得(3.44)(3.45)B D(11R3R2R1由(3.42)式得(3.47)

24、(3.48)4 二；o将(3.49)式代入(3.48)式，即得1 . 1 丄)(3.49)+R-iR2(3.50)QQi :R2R3(3.51)1 1 1 1 艮(1 - h 1)因此得到A =0,b Q 44叭 4叭QD -4二；oQiC =4二；0R将A, B, C, D系数代入到(3.46)式，即得电势的解为旦=丄+Qir 4 咫 0r 4 咫 0r2D21r 4 二；0R 4 二；0r(rR3)(3.52)(R1 : r ：R2)(3.53)导体球上的感应电荷为砂2 2r亍0 .r =Ri小-；o r £ :丁八；0r与一2d-.1(3.54)2 .介电常数为gSoluti

25、on:第一步，根据题意，找出定解条件。由于这个问题具有轴对称性，取极轴z沿外电场E。方向，介质球的存在使空间分为两个均匀的区cpCp域球内和球外。两区域内都没有自由电荷。因此电势满足Lap lace方程。以1代表球外区域的电势，：2代表球内区域的电势，故'可 2%=0%护=一E0rcos B= -E0rP1( cos 0 )(3.63)(r Z R)1 r_R(r 乞 R)2 r厂有限值2r £:10r =Rr=R2 r,02gcn>Rr =R(3.55)(3.56)第二步，根据定解条件确定通解和待定常数cp由于问题具有轴对称性，即电势i与方向角无关，故八(anrnn八

26、Grnn由(3.55)式得1r匸八-n比较两边系数，a -E°由(3.56)式得b鲁)巳(曲)rpl吕)巳(込二)r(r -R)(心R)(3.57)(anrn bn丄)Pn(cos)二-E0rP1(cos=)rf(3.58)得an =0. (n = 1)(3.59)T = &-n从中可见dn =0故有(Cnrn二有限值(3.61)(3.60)=-E0rP1(co) vn八 cnrn Pn (cos 丁)n根据(3.55)、(3.56)式，可得bn1nr Pn(cos) r(3.62)(3.63)Pn (COS 二)=' G Rn Pn(COS 二)n-E°R

27、R(cos巧 +瓦 bnn111-E0R(COSJ)-' (n 1)bn 茜巳(COST)-' CnRn，Pn(COSr)nR；0 n比较Pn(CO)的系数，得(3.63)Eo R 2R22b1_ E o3 = &Rgo(3.64)醫yRn= -n cnRn J；o- (n 1)由(3.65)式给出bn = o ,cn = o. (n = 1)由(3.64)式给出 -o3o EoR3(3.65)(3.66)b1 -2s0 + s一3名0匚 CE o2毎o七由此得到电势为(3.67)C31-Eorcos R E0 = cosn(r _ R)2 % + g r3 pEor

28、cos)2p ；(亡R)(3.68)相应的球内和球外的电场强度为巳=1er 1- E°r cos- R3E。丄 cos=.印 r r 壬二 02；:0 r2.03 2=E0 (coser - sin ) R E0 cos er2® + wr；_ ；03. 1 -R E0 sinre2；0 ；r3 -其中(cosr si ne日)©了第二项和第三项之和实际上是一个等效的放在原点的偶极子在球外产生的电场，其电偶极矩为 ；-；03-R3Eo2 ；o因此，球外区域的电场为二 E。EP =4二；o(3.71)(3.69)Ei而(3.72)13( p r)rp4二;0 IL

29、r5r3同理得到(3.73)3 ；02 ;0 ;E0r cost3 ；o2 ；0 :E0(cos er -sin re"3 ；o2 ；o :Eoez3 ；oEo(3.74)Eo为弱，这是极2 ；o :由此可见，球内的场是一个与球外场平行的恒定场。而且球内电场比原则外场 化电荷造成的。在球内总电场作用下，介质球的极化强度为P = Xe ；oE2 = ( ； - ；0)E2(3.75)介质球的总电偶极矩为p = 4 二R3P4二；oR3Eo(3.76)32 ；。；第三章1. 试用A表示一个沿z方向的均匀恒定磁场 Bo，写出A的两种不同表示式，证明二者之差为无旋场。解：Bo是沿z方向的均匀

30、恒定磁场，即Bo = Boez，由矢势定义i A = B得.:Az / :y-:Ay / ； = 0 ；:AX/-：Az / ：叹=0 ；：Ay/-：AX /二 Bo三个方程组成的方程组有无数多解，如： Ay=Az=O ,Ax=-Boy f(x)即:A二-B°y f(x) ex; Ax =Az=0 ,Ay=B°xg(y)即:A =B°x g(y)ey解与解之差为 A= -Bo f(x)ex -Box g(y)ey则 i(匚A)= (-:：Ay/ ：z)ex' G:Ax /:z)ey(Ay/-：Ax / ：y)ez= O这说明两者之差是无旋场3. 设有无限长

31、的线电流I沿z轴流动，在z<O空间充满磁导率为 的均匀介质，z>O区域为真空，试用 唯一性定理求磁感应强度B，然后求出磁化电流分布。解:设z>O区域磁感应强度和磁场强度为B1 , H ! ； z<O区域为B2, H 2 ,由对称性可知 H !和H 2均沿e方向。由于H的切向分量连续，所以 H 1二H 2二H。由此得到Bm = B20，满足边值关系， 由唯一性定理可知，该结果为唯一正确的解。以z轴上任意一点为圆心，以r为半径作一圆周，则圆周上各点的H大小相等。根据安培环路定理得：2 二 rH =1，即 H =I/2 二 r , H 1= H 2 曲/2 二 r eB1 =

32、叫 H 1=%1/2 二 r 町,(z>O)； B2H 2 二 7 /2”：r s, (z<O)。在介质中 M B 2 / Jo H 2 二 I / 2 r "/o -1 e所以，介质界面上的磁化电流密度为："M n 二 1/27：比/%-1 * ez=l/2：r：H1 e r2 二总的感应电流：I = M dl = . I/2二r ：L/%-1 J rd e = I Abo -1 ,o电流在z<O区域内，沿z轴流向介质分界面。4. 设x<0半空间充满磁导率为 J的均匀介质，x>0空间为真空，今有线电流I沿z轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。

33、解：假设本题中的磁场分布仍呈轴对称，则可写作B = (HI /2jir)e©它满足边界条件：n (B2 - BJ =0及n (H 2 - H J0。由此可得介质中：H 2 二 B /-(丄1 /27r) e由H 2二B /0 - M得：卩'1卩一卩0在x<0的介质中 M- e ,2叮屮0 V则:2山。再由B=e %(l L)/2二r =(丄1/2二r)e可得丄注山。"“°)，所以B 二eV°l/(i 匕)二rW0)l/()。)(沿 z 轴)7.半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流J均匀分布于截面上，试解矢势A的微分方程。设导体的磁导率为，导

34、体外的磁导率为J。解：矢势所满足的方程为：，广 OJ 人内=-0J, (r <a)可2 A外=0, (r a a)自然边界条件：r > 0时，A内有限。边值关系：1 1A内r三一 A外三；i -A内|r -aA外|r -a选取柱坐标系，该问题具有轴对称性，且解与z无关。令= A内(r)ez , A外二 A外(r )ez ,代入微分方程得：1/：A内(r)(r )二r rr:r%J ； - (rr cr)=o.:r解得：1 2A(r)0JrC1 lnr C2 ; A外(r)=C3lnr C44由自然边界条件得 C0 ,112由A内|心A外 |心得：C3Ja2 ,J0J21 “由A内r

35、 a A外r a并令其为零，得：C2 = 2 % Ja , C = Ja Ina °人内=1 J0J (a2r2); A外 = - Ja21n 旦42r8.证明卩is的磁性物质表面为等磁势面。解：以角标1代表磁性物质，2代表真空，由磁场边界条件以及n B2 - B1=0,n H 2 - 比 i=0B11H1B 20 H 2可得式中n和t分别表示法向和切向分量。两式相除得H 2t-0H it0H2nHin因此，在该磁性物质外面，H2与表面垂直，因而表面为等磁势面。例2求磁化矢量为M）的均匀磁化铁球产生的磁场。解：铁球内和铁球外两均匀区域。在铁球外没有磁荷。在铁球内由于均匀磁化，则有M

36、=M 0:m 二 -M 0=0因此磁荷职分布在铁球表面上。球外磁势$ 1和球内磁势$ 2都满足拉普拉斯方程，即' 2 1 = 0, 22 =0.当甘X时，$ 1 ，所以$ 1只含R负幕次项。1 八 RrPn（cosRn R当R=0时，2为有限值，所以：2只含R正次幕项。：2 二 anRnPn（COS “.n铁球表面边界条件为当 R=R0 （RD为铁球半径）时,.:n二n M 1 一M 2-M0cos，送(n n!" Pn (cos8)= -无 nanR0_*Pn(COs8) +M 0P cos8) nR0n比较Pn的系数，得' 4Pn(COsR=' nanEP

37、nCOS" n R0n33an =bn =0, n =1.于是得_ M0R3 cos =或 M 0 R3 R23R3第四章1导出导体中的波动方程导体内部I广V x E闪汇H? = 0 , J=；E，麦氏方程组为: cB(1 分) D；:t（2分）对一定频率的电磁波，D = E, B=H，则有 曲卩H' H = -i ； E ；E* -京E= 0V H = 0（2 分）式中场量是抽去时间因子以后的函数，只与坐标有关。将导体内部的麦克斯韦方程组与绝缘介质中的麦克斯韦方程组比较可知,其差别仅在于第二个方程中多了一项匚E。导体中：/ - Hi ；：；： E -E（2分）如果将导体中的

38、方程写成：*，： H - - i -：；E这只需令.匚，£ '称为复电容率（1 分）二i 将£用£ '代替后，导体内的麦克斯韦方程组与绝缘介质中的麦克斯韦方程 组形式相同，得到的亥姆霍兹方程也相同。即导体内部满足： 2E k 2E = 0k八；0（2 分）2导出真空中自由空间的波动方程。在没有电荷电流分布的自由空间（或均匀介质）中麦克斯韦方程组gE =<V<H = ctV D = 0B= 0真空中的波动方程：D= 0E, B=%H，取式的旋度，得'' EB =-心弓actE =、'、C -E ）-'- 2 Ei E =02呂E、E 一 ；0 十0 盘同理可得 2E - "0 ;0 B = 0 ct令 C =1 / .丐。则E和B的方程可以写为'2 B - $ 书=0c 盘3. 证明：两平行无限大导体平面之