2022年无穷级数整理

1、-.无穷级数整理一、数项级数一数项级数的根本性质1. 收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2. 收敛的充要条件柯西收敛原理：对任意给定的正数，总存在 n 使得对于任何两个n-.word.zl.大于的正整数m 和 n，总有smsn.即局部和数列收敛3. 收敛级数具有线性性即收敛级数进展线性运算得到的级数仍旧收敛，而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4. 对收敛级数的项任意加括号所成级数仍旧收敛，且其和不变.5. 在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性.二数项级数的性质及敛散性判定1. 正项级数的敛散性判定方法1正项级数根本定理：假如正项级数的局部和数列有上界，那么正项级数收

2、敛.2比拟判别法 放缩法：假设两个正项级数un 和n 1vn 之间自某项以后成立着关系：n 1存在常数 c0 ，使 uncvn n1,2, ，那么i当级数vn 收敛时，级数n 1un 亦收敛；n 1ii 当级数un 发散时，级数n 1vn 亦发散 .n 1推论：设两个正项级数un 和n 1nvn ，且自某项以后有1un 1unvn 1vn，那么i当级数vn 收敛时，级数n 1un 亦收敛；n 1ii 当级数un 发散时，级数n 1vn 亦发散 .n 1 3 比拟 判别法 的极限 形式 比阶法 ： 给定 两个正 项级数un 和n 1vn ，假设n 1lim unl0 ，那么这两个级数敛散性一样.

3、注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小nvn的内容另外，假设 l0 ，那么当级数vn 收敛时，级数n 1un 亦收敛；假设 l，那么当级数n 1un 发散时，级数n 1vn 亦发散 .n 1常用度量：等比级数：qn ，当 qn 01 时收敛，当q1 时发散；p-级数：1 ，当 pn 1 n p1 时收敛，当p1 时发散 p1时称调和级数 ；广义 p-级数：n 2 n1p，当 pln n1 时收敛，当p1 时发散 .交错 p-级数：n 11n 1 1，当 pn p1 时肯定收敛，当0p1时条件收敛 .4达朗贝尔判别法的极限形式商值法：对于正项级数un ，当n 1limnun 1r1 时un级数u

4、n n 1收敛；当limnun 1unr1 时级数un 发散；当 rn 11 或 r1 时需进一步判定 .5柯西判别法的极限形式根值法：对于正项级数un ，设 rlim n n 1nun ，那么 r1时此级数必为收敛，r1 时发散，而当 r1 时需进一步判定 .6柯西积分判别法：设un 为正项级数，非负的连续函数n 1f x 在区间 a, 上单调下降，且自某项以后成立着关系：f un un ，那么级数un 与积分n 10f xdx 同敛散 .2. 任意项级数的理论与性质1肯定收敛与条件收敛：肯定收敛级数必为收敛级数，反之不然；对于级数un ，将它的全部正项储存而将负项换为0，组成一个正项级数n

5、 1vn ，其中n 1unu nvn2；将它的全部负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数wn ，其中n 1ununwn2，那么假设级数un 肯定收敛，那么级数n 1vn 和wn n 1n 1都收敛；假设级数un n 1条件收敛，那么级数vn 和n 1wn 都发散 .n 1肯定收敛级数的更序级数将其项重新排列后得到的级数仍肯定收敛，且其和一样.假设级数un 和n 1vn 都肯定收敛， 它们的和分别为 u 和v ，那么它们各项之积根据任n 1何方式排列所构成的级数也肯定收敛，且和为uv .特殊地，在上述条件下，它们的柯西乘积unvn也肯定收敛，且和也为uv .n 1n 1注：cn n 1unv

6、nn 1n 1，这里 cnu1vnu2 vn 1un 1v2unv1 . 2 交 织级数 的敛 散性 判定 莱布 尼兹 判别法 :假 设交 织级数 1nn 11un 满 足lim un n0 ，且un单调削减 即 unun 1，那么n 11 n1u收敛， 其和不超过第一项，n且余和的符号与第一项符号一样，余和的值不超过余和第一项的肯定值.二、函数项级数一幂级数n1. 幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域1柯西 -阿达马定理： 幂级数an xn 0x0 在 xx0r 内肯定收敛， 在 xx0r 内0发散，其中 r 为幂级数的收敛半径 . 2 阿 贝 尔 第 一 定 理 ： 假 设 幂 级 数an

7、xn 0x n在 x处 收 敛 ， 那 么 它 必 在xx0x0 内 绝 对 收 敛 ； 又 假 设nan x0x n在 x处 发 散 ， 那 么 它 必 在0xx0x0也发散 .推论 1：假设幂级数a xn 在 xnn 00 处收敛，那么它必在x内肯定收敛；又假设幂级数a x n 在 xnn 00 处发散，那么它必在x时发散 .推论 2：假设幂级数an xn 0x n在 x处条件收敛，那么其收敛半径rx0 ，假0设又有an0 ，那么可以确定此幂级数的收敛域.3收敛域的求法：令liman 1 x1解出收敛区间再单独争论端点处的敛散性，取并集.nan x2. 幂级数的运算性质1幂级数进展加减运算

8、时，收敛域取交集，满意各项相加；进展乘法运算时，有：na xnn 0b xnnn 0nn 0i 0ai bn ixn ，收敛域仍取交集. 2 幂 级数 的 和 函 数s x在 收 敛 域 内 处 处 连 续， 且 假 设 幂级 数an xn 0x n 在0xx0r处收敛，那么s x 在 x0r, x0r 内连续；又假设幂级数an xn 0x n 在0xx0r 处收敛，那么s x 在 x0r, x0r 内连续 .3幂级数的和函数s x 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变.3. 函数的幂级数绽开以及幂级数的求和1常用的幂级数绽开：x11xn e1xx2x n2.n.n 0 n.， x,

9、 +.12nn= 1+ x+x +···+x +··· =x， x 1, 1.1xn 0从而，11xx n ，12n 01x 1n x 2n .n 0 sinxx1 x33.1 x55. 1 nx 2 n2n11. 1 nn 0x 2n2n11.， x, +. cosx11 x 22.1 x 44. 1nx2n2n. 1nnn 0x2 n2n.， x, +. ln1xx1 x221 x 33 1 n1xn 1n1 1 n 1n 1x， x 1, 1. n 1x1x1 x22.1n.n1 xn， x 1, 1.1 x 32n1.x 2

10、n 1 2n.2 n 1 arcsin xx2 32n.2n1xn 0 4n n. 2 2n1， x 1, 1. arctan xx1 x33 1n12nx 2n 11 1 n1n 02nx2 n11 ， x 1, 1.2常用的求和经受规律：级数符号里的局部x 可以提到级数外；系数中常数的幂中假设含有n ，可以与 x 的幂合并，如将c n 和xn 合并为cxn ；n对an xn 0求导可消去an 分母因式里的n ,对nnan x0积分可消去an 分子因式里的n1 ；系数分母含n. 可考虑ex 的绽开，含2n. 或 2n1. 等可考虑正余弦函数的绽开；有些和函数满意特定的微分方程，可以考虑通过求

11、导发觉这个微分方程并求解.二傅里叶级数1. 狄利克雷收敛定理本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必定成立假设 f x 以 2l 为周期，且在 l, l上满意：连续或只有有限个第一类连续点；只有有限个极值点；那么 f x 诱导出的傅里叶级数在 l, l上到处收敛 .2. 傅里叶级数s x 与f x 的关系：s xf x f x0f x02， x为连续点；，x为间断点；f l0f l02，x为边界点.3. 以 2l为周期的函数的傅里叶绽开绽开：f x s xa02a cosn xnn 1lb sin n xnla 01在 l, l上绽开：an1 lfll1 lfll x dx x cos

12、n xldx ；b1 lnllf x sinn x dx l2正弦级数与余弦级数：奇函数或在非对称区间上作奇延拓绽开成正弦级数：a00an0b2nla20llf x sin0lf xdx0；n x dx l偶函数或在非对称区间上作偶延拓绽开成余弦级数：2anlbn0lnf x cos0lxdx ；4. 一些在绽开经常用的积分：1sin nxdx0 1n 1n1 ;cos nxdx0;022 sin nxdx01 ;2 cos nxdxn01 sin n；n23xsin nxdx0 1 n 1n;x cos nxdx01 nn 21； x20cos nxdx21 n；n 24e axsin nxdxa 21n 2eax asin nxncos nxc ；eaxcos nxdxa 21n 2e ax n sin nxa