2022年无穷级数知识点介绍整理人王浩

1、学习必备欢迎下载专转本专题知识点- 无穷级数数项级数定义 1 设给定一个数列,.,.,321nuuuu则和式.321nuuuu（11.1）称为数项级数，简称为级数，简记为1nnu,即1nnu=.321nuuuu其中，第n项nu称为级数的一般项或者通项。式（11.1）的前n项和nkknnuuuuus1321.称为式（ 11.1）的前n项部分和。当n依次取 1，2， 3，.时，部分和.,.,321nssss构成一个新的数列ns，数列ns也称为部分和数列定义 2 若级数1nnu的部分和数列ns有极限 s ssnnlim，则称级数1nnu收敛，称s 是级数1nnu的和，即.3211nnnuuuuus如

2、果部分和数列ns没有极限，则称为级数1nnu发散数项级数的性质（1）若级数1nnu和级数1nnv都收敛， 它们的和分别为s和，则级数1)(nnnvu也收敛，且其和为s精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（2）若级数1nnu收敛，且其和为s，则它的每一项都乘以一个不为零的常数k,所得到的级数1nnku也收敛，且其和为ks （3）在一个级数前面加上（或去掉）有限项，级数的敛散性不变（4）若 级 数1nnu收 敛 ， 则 将 这 个 级 数 的 项 任 意 加 括 号 后 ，

3、 所 成 的 级 数.).(.).().(1211121kknnnnnuuuuuuu也收敛，且与原级数有相同的和（5）（级数收敛的必要条件）若级数1nnu收敛，则0limnnu综上所述，几何级数11nnaq的敛散性，发散。收敛，其和为1q-1a, 1qq调和级数11nn的敛散性发散数项级数的敛散性研究对象：正项级数、交错级数、任意项级数一正项级数正项级数：若级数1nnu=.321nuuuu满足条件,.)3,2, 1(0 nun，则称此级数为正项级数定理 1 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列ns有界定理 2 （ 比较判别法） 若级数1nnu和级数1nnv为两个正项级数， 且,.)3,2, 1

4、(nvunn，那么：（1）若级数1nnv收敛时，级数1nnu也收敛（2）若级数1nnu发散时，级数1nnv也发散精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载那么1npn1级数p的敛散性是，收敛发散1, 1pp定理 3（达朗贝尔比值判别法）若正项级数1nnu（,.3 ,2 ,1,0 nun）满足条件luunnn1lim则（1）当1l时，级数收敛（2）当1l时，级数发撒（3）当1l时，无法判断此级数的敛散性二交错级数级数1) 1(nnnu（,.3 ,2, 1,0 nun）称为交错级

5、数定理 4（莱布尼兹判别法）若交错级数1) 1(nnnu（,.3 ,2 ,1,0 nun）满足下列条件（1）1nnuu（2）0limnnu则交错级数1)1(nnnu收敛，其和,1us其余项的绝对值1nnur三绝对收敛和条件收敛若级数1)1(nnnu的各项为任意实数，则称级数1nnu为任意项级数定义如果任意项级数1nnu的各项绝对值组成的级数1nnu收敛，则称级数1nnu绝对收敛；如果1nnu发散，而1nnu收敛，则称级数1nnu条件收敛定理 5 如果级数1nnu绝对收敛，则级数1nnu必收敛精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共

6、6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载定理 6 如果任意项级数1nnu满足条件luunnn1lim（1）当1l时，级数绝对收敛（2）当1l时，级数发撒幂级数定义 1如果,.)3 ,2, 1)(nxu是定义在某个区间i 上的函数，则称函数.)(.)()()(211xuxuxuxunnn（11.4 ）为区间 i 上的函数项级数定义 2形如.)(.)()()(020201010nnnnnxxaxxaxxaaxxa（11.5 ）的级数称为)(0 xx的幂级数，其中,.,.,210naaaa均为常数，称为幂级数的系数。当00 x时，级数12210.nnnnnxaxaxaaxa（11.

7、6 ）称为 x 的幂级数定义 3对于形如式（ 11.6 ）的幂级数若设laannn1lim，则xlxaaxaxauunnnnnnnnnnn1111limlimlim根据任意项级数判别法可知：（1）当0l时，若1xl，即rlx1，式（ 11.6 ）绝对收敛若1xl，即rlx1，式（ 11.6 ）发散若1xl，即rlx1，则比值判别法失效，式（11.6 ）可能收敛也可能发散（2）当0l，由于10 xl，式（ 11.6 ）对任何x 都收敛称lr1为幂级数式（11.6 ）的收敛半径定理 1如果幂级数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共

8、6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载12210.nnnnnxaxaxaaxa的系数满足条件laannn1lim，则（1）当l0时，lr1（2）当0l时，r（3）当l时，0r幂级数的性质设幂级数0nnnxa与0nnnxb的收敛半径分别是1r与2r（1r与2r均不为 0） ，它们的和函数分别为)(1xs与)(2xs1. （加法与减法运算）)()()(21000 xsxsxbaxbxannnnnnnnnn所得的幂级数0)(nnnnxba仍收敛，且收敛半径是1r与2r中较小的一个2.（乘法运算）)()(.).(.)()()()(210110202112001100000 xsxs

9、xbababaxbababaxbababaxbxannnnnnnnnn两幂级数相乘所得的幂级数仍收敛，且收敛半径是1r与2r中较小的一个3.（微分运算）若幂级数0nnnxa的收敛半径r，则在（ -r,r）内和函数s(x)可导，且有0100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxs且求导后所得的幂级数的收敛半径仍为r 4.（积分运算）若幂级数0nnnxa的收敛半径r，则和函数s(x)在该区间内可积，且有精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载00010001)()(nxnnnnnxxnnnxnadxxadxxadxxs且求导后所得的幂级数仍收敛，且收敛半径仍为r 函数展成幂级数1. 泰勒级数设)(xf在0 xx处任意阶可导，则幂级数nnnxxnxf)(!)(010)(称为)(xf在0 xx处的泰勒级数2. 麦克劳林公式当00 x时，级数nnnxnf0)(!)0(称为)(xf的麦克劳林级数3. 几个常见的麦克劳林展开式)1 , 1(,110 xxxnn)1 , 1(,)1(110 xxxnnn),(,!0 xnxennx),(,)!12()1(sin012