CH傅里叶变换实用实用教案

1、一、 正交函数(hnsh)与正交函数(hnsh)集 设f1(t)和f2(t)是定义在(t1,t2)区间上的两个实变函数(hnsh)(信号)，若在(t1,t2)区间上有 则称 f1(t)和f2(t) 在(t1,t2)内正交。3.1 信号(xnho)的正交分解 第1页/共126页第一页，共127页。 若f1(t)，f2(t), fn(t)定义在(t1,t2)区间上，并且(bngqi)在(t1,t2) 内有 则f1(t)，f2(t), fn(t) 在(t1,t2)内称为正交函数集，其中i, r=1,2,n; Ki为一正数。 f1(t)，f2(t), fn(t)称为归一化正交函数集 。第2页/共126

2、页第二页，共127页。二、 完备的正交函数集 如果在正交函数集f1(t)，f2(t), fn(t) 之外，找不到另外一个非零函数fi(t)与该函数集中每一个函数都正交，则称该函数集为完备正交函数集。 定理1: 设f1(t)，f2(t), fn(t) 在(t1,t2)区间内是某一类信号(xnho)(函数)的完备正交函数集，则这一类信号(xnho)中的任何一个信号(xnho)f(t)都可以精确地表示为f1(t)，f2(t), fn(t) 的线性组合。 第3页/共126页第三页，共127页。式中，Ci为加权系数(xsh)，且有 常称正交展开式，有时也称为欧拉傅里叶公式或广义(gungy)傅里叶级数，

3、 Ci称为傅里叶级数系数。 第4页/共126页第四页，共127页。 式子可以理解为：f(t)的能量等于(dngy)各个分量的能量之和，即反映能量守恒。定理2也称为帕塞瓦尔定理。 定理2 2 在式 条件下，有第5页/共126页第五页，共127页。例例3.1.13.1.1 已知余弦函数已知余弦函数(hnsh)(hnsh)集集cost,cos2t,cosnt(ncost,cos2t,cosnt(n为整数为整数) )(1) (1) 证明该函数证明该函数(hnsh)(hnsh)集在区间集在区间(0,2)(0,2)内为正交函内为正交函数数(hnsh)(hnsh)集；集；(2) (2) 该函数该函数(hns

4、h)(hnsh)集在区间集在区间(0(0，2)2)内是完备正交内是完备正交函数函数(hnsh)(hnsh)集吗集吗? ?(3) (3) 该函数该函数(hnsh)(hnsh)集在区间集在区间(0(0，/2) /2) 内是正交函内是正交函数数(hnsh)(hnsh)集吗集吗? ? 第6页/共126页第六页，共127页。解:(1) 因为(yn wi)当ir时 可见该函数集在区间(q jin)(0，2)内满足正交函数集的定义式，故它在区间(q jin)(0，2)内是一个正交函数集。 2020)2sin(2121)cos()cos(ittdtrtit 当i=r时第7页/共126页第七页，共127页。(2

5、) 因为(yn wi)对于非零函数sint，有 即sint在区间(0，2)内与cosnt正交。故函数集cosnt在区间(0，2)内不是完备正交函数集。 第8页/共126页第八页，共127页。(3) 当ir时对于(duy)任意整数，此式并不恒等于零。因此，根据正交函数集的定义，该函数集cosnt在区间(0,/2)内不是正交函数集。 结论：一个函数集是否正交，与它所在区间有关，在某一区间可能正交，而在另一区间又可能不正交。 第9页/共126页第九页，共127页。三、 常见(chn jin)的完备正交函数集三角函数集cos nt，sin nt(n=0,1,2) 在区间（t0,t0+T）内，有 Ttt

6、mnTmnTmntdtmtn00)0()(2)(0coscosTttmnTmnmntdtmtn002)0,(0sinsinTtttdtmtn000cossin2T第10页/共126页第十页，共127页。 在（t0,t0+T）区间内，三角函数集对于周期为T的信号(xnho)组成正交函数集，而且是完备的正交函数集(其完备性在此不讨论)。而函数集cosnt,sin nt，也是正交函数集，但它们均不是完备的。 (2) 函数集 在（t0,t0+T）区间内，对于周期为T的一类周期信号来说，也是一个完备的正交函数集。), 2, 1, 0(n netj第11页/共126页第十一页，共127页。(3) 函数(h

7、nsh)集 在区间(-，)内，对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交函数(hnsh)集。这里 称为抽样函数(hnsh)。 第12页/共126页第十二页，共127页。3.2 3.2 周期周期(zhuq)(zhuq)信号的傅里叶级数信号的傅里叶级数一、傅里叶级数的三角函数(snjihnsh)形式： 从数学上讲，当周期(zhuq)信号满足狄里赫利条件时才可展开为傅里叶级数。 （1）在一个周期(zhuq)内，如果有间断点存在，则间断点的个数应是有限的；（2）在一个周期(zhuq)内，极大值和极小值的个数是有限的；（3）在一个周期(zhuq)内，信号时绝对可积的。 但在电子、通信、控制等工程技术中的周期

8、(zhuq)信号一般都能满足这个条件，故以后一般不再特别注明此条件。 第13页/共126页第十三页，共127页。第14页/共126页第十四页，共127页。第15页/共126页第十五页，共127页。 任何周期信号，只要满足狄里赫利条件，都可以分解为许多频率(pnl)成整数倍关系的正(余)弦信号的线性组合。 在三角型傅里叶级数展开式中，a0是直流成分；a1cost, b1sint称为基波分量， w=2/T为基波频率(pnl)； ancosnt, bnsinnt称n次谐波分量。 直流分量的大小，基波分量和各次谐波的振幅、相位取决于周期信号的波形。有：an是n的偶函数，bn是n奇函数， 第16页/共1

9、26页第十六页，共127页。例例3.2.13.2.1 如图所示锯齿如图所示锯齿(jch)(jch)波，求其三角型傅波，求其三角型傅里叶级数展开式。里叶级数展开式。 第17页/共126页第十七页，共127页。解解 : : 由图可知由图可知(k zh)(k zh)，该信号，该信号f(t)f(t)在一个周期区间在一个周期区间(-,)(-,)内，有内，有由三角型傅里叶级数展开式，得由三角型傅里叶级数展开式，得故该信号故该信号f(t)f(t)的三角型傅里叶级数展开式为的三角型傅里叶级数展开式为nnntdtntbnn2) 1(cos2sin1112T)3sin312sin21(sin2)( ttttf第1

10、8页/共126页第十八页，共127页。二、指数(zhsh)形式与三角型傅里叶级数系数关系 0000dcaF)(21nnnjbaF)(21nnnjbaF第19页/共126页第十九页，共127页。三、周期信号的对称性与傅里叶系数(xsh)的关系1、偶函数 若周期信号f(t)波形相对于纵轴是对称的，即满足f(t)=f(-t) 其傅里叶级数展开式中只含直流分量和余弦分量，即), 2 , 1 , 0( cos)(402/0 ntdtntfTabTnn第20页/共126页第二十页，共127页。2、奇函数 若周期信号f(t)波形相对(xingdu)于纵坐标是反对称的，即满足 f(t)=-f(-t) 其傅里叶

11、级数展开式中只含有正弦项，即 ), 2 , 1 , 0( sin)(402/0 ntdtntfTbaTnn第21页/共126页第二十一页，共127页。3、奇谐函数 若周期信号f(t)波形沿时间轴平移半个周期后与原波形相对于时间轴像对称，即满足 则称为奇谐函数或半波(bn b)对称函数。 其傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦项的奇次谐波分量。 第22页/共126页第二十二页，共127页。)(tft21T1T21T)2(1Ttft21T1T21T第23页/共126页第二十三页，共127页。4、偶谐函数 若周期信号f(t)波形沿时间轴平移半个周期后与原波形完全重叠，即满足(mnz)则为偶谐函数或半周

12、期重叠函数。其傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦波的偶次谐波分量。 第24页/共126页第二十四页，共127页。21T21Tt1T)(tf第25页/共126页第二十五页，共127页。一、信号(xnho)频谱的概念 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化(binhu)的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 描述各次谐波振幅与频率关系的图形称为振幅频谱 描述各次谐波相位与频率关系的图形称为相位频谱 3.3 3.3 典型典型(dinxng)(dinxng)周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数 第26页/共126页第二十六页，共127页。nAn则对应的振幅频谱和相位频谱 称为单

13、边频谱。 2、双边频谱若周期信号(xnho)f(t)的傅里叶级数展开式为n则对应的振幅频谱Fn 和相位频谱 称为双边频谱。 1、单边频谱若周期信号(xnho)f(t)的傅里叶级数展开式为第27页/共126页第二十七页，共127页。1、 周期周期(zhuq)矩形脉冲信号矩形脉冲信号(1) 傅里叶级数傅里叶级数(j sh)t)(tf2221T21T1T1TE120120102)(21TEEdtTdttfTaT442二、常用(chn yn)信号的频谱第28页/共126页第二十八页，共127页。 周期(zhuq)矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为 f(t)的指数(zhsh)形式的傅里叶级数为第29页/

14、共126页第二十九页，共127页。nc1TE12TE11224nc1TE12TE1122424n（2）频谱图）频谱图第30页/共126页第三十页，共127页。nF1TE11224nF1TE1122424n24第31页/共126页第三十一页，共127页。nc1TE12TE11224nF1TE11224nc1TE12TE11224nF1TE1122424n24n24单边频谱图单边频谱图双边(shungbin)频谱图第32页/共126页第三十二页，共127页。3、 周期信号(xnho)频谱的特点离散性 - 频谱是离散的而不是连续(linx)的，这种频谱称为离散频谱。谐波(xi b)性 - 谱线出现在

15、基波频率= 2/T 的整数倍上。收敛性 - 幅度谱的谱线幅度随着n 而逐渐衰减到零。第33页/共126页第三十三页，共127页。频谱图的特点（以矩形波的频谱为例）（a）单边振幅频谱与双边振幅频谱 将双边振幅频谱负n一边对折(duzh)到n一边，并将振幅相加，便得到单边振幅(b) 频谱是离散(lsn)的，两谱线间隔为=2/T(c)直流分量、基波及各次谐波分量的大小(dxio)正比于脉幅E和脉宽，反比于周期T，其变化受包络线sinx/x的牵制。 第34页/共126页第三十四页，共127页。(d) 当 时，谱线的包络线过零点。因此 称为零分量频率。 )2, 1( 2mm 2m(e) 周期矩形脉冲信号

16、包含无限(wxin)多条谱线，可分解为无限(wxin)多个频率分量，但其主要能量集中在第一个零分量频率之内。 20 通常把 这段频率范围称为矩形信号的有效频谱宽度或信号的占有频带，记作第35页/共126页第三十五页，共127页。频谱结构与波形参数的关系频谱结构与波形参数的关系（T1, ） 若不变，T1扩大(kud)一倍，即T1=41T2=81 t)(tf12TE1Tnc4E2E124t)(tfE1Tnc4E8E124第36页/共126页第三十六页，共127页。(1) 离散谱线的间隔(jin g)=2/T 将变小，即谱线变密。 (2) 各谱线的幅度将变小，包络线变化缓慢，即振幅收敛(shulin

17、)速度变慢。(3) 由于(yuy)不变，故零分量频率位置不变，信号有效频谱宽度亦不变。 当周期无限增大时，f(t)变为非周期信号，从而周期信号的离散频谱过渡到非周期信号的连续频谱.第37页/共126页第三十七页，共127页。t)(tf12TE1Tnc4E2E124t)(tf12TE1Tnc4E8E12 若T1不变，减小一倍，即T1=41T1=82 第38页/共126页第三十八页，共127页。 如果保持矩形信号(xnho)的周期 T 不变，而改变脉冲宽度，此时谱线间隔不变。 若减小 频谱中的第一个零分量频率 =2/ 增大， 同时出现零分量频率的次数减小，相邻两个零分量频率间所含的谐波分量增大。

18、并且各次谐波的振幅减小，即振幅收敛(shulin)速度变慢。 若增大，则反之。 第39页/共126页第三十九页，共127页。 谱线间隔(jin g) =2/T1 只与周期 T1有关，且与T1 成反比； 零值点频率=2m/只与有关，且与成反比； 谱线幅度与 T1和 都有关系，且与T1 成反比与成正比。第40页/共126页第四十页，共127页。2 2、周期矩形、周期矩形(jxng)(jxng)信号信号 一个周期内 的表达式为：)(tf11122202)(TtTETtEtf2E2E21T21T0)(tft1T(1)三角形式(xngsh)傅里叶级数：第41页/共126页第四十一页，共127页。因此)5

19、sin513sin31(sin2sin12)(1115 , 3 , 11ttEtnnEtfn得11,3,521( )cos()2nEf tntnnncb6 , 4 , 205 , 3 , 12nnnE第42页/共126页第四十二页，共127页。（2）指数形式(xngsh)傅里叶级数第43页/共126页第四十三页，共127页。nc113150E232E52En0113152第44页/共126页第四十四页，共127页。22n1513111315nFE3E5E1131511315第45页/共126页第四十五页，共127页。)(tf2/E2/Et1T1T41T41T3、对称、对称(duchn)矩形脉冲

20、信号的傅里矩形脉冲信号的傅里叶级数叶级数0nb第46页/共126页第四十六页，共127页。ncE1131517nc11315E171131517n第47页/共126页第四十七页，共127页。4、 周期锯齿(jch)脉冲信号E/2tf(t)-E/2T1/2-T1/2 周期锯齿脉冲信号的频谱只包含(bohn)正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。第48页/共126页第四十八页，共127页。5、 周期三角(snjio)脉冲信号 周期三角脉冲的频谱只包含直流、奇次谐波的余弦分量，谐波的幅度以 的规律收敛。2/1 nEf(t)t-T1-T1/2T1/2T1第49页/共126页第四十九页，共127页。三

21、、 周期信号的功率谱 f(t)的平均功率定义为在1电阻(dinz)上消耗的平均功率，即 该式称为帕塞瓦尔(Parseval)定理。它表明周期信号的平均功率(gngl)完全可以在频域Fn用加以确定。 实际上它反映周期信号在时域的平均功率(gngl)等于频域中的直流功率(gngl)分量和各次谐波平均功率(gngl)分量之和。 若f(t)的指数(zhsh)型傅里叶级数展开式代入第50页/共126页第五十页，共127页。 与n1的关系(gun x)称为周期信号的功率频谱，简称为功率谱。显然，周期信号的功率谱也是离散谱。 例3.3.13.3.1试求图所示周期矩形脉冲信号f(t)在有效频谱宽度内，谐波分量

22、所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。设E=1，T1=1/4， 201,41, 1TE第51页/共126页第五十一页，共127页。解：解： 因为因为(yn wi) (yn wi) 周期(zhuq)信号的平均功率为 在有效(yuxio)频谱宽度内信号的平均功率为 故 在所给出的周期矩形脉冲情况下，包含在有效频谱宽度内的信号平均功率约占整个信号平均功率的90%。 5/)5/sin(51)2(nnnSTEFan第52页/共126页第五十二页，共127页。3 34 4 傅里叶变换傅里叶变换(binhun)(binhun) 根据完备正交函数中的定理二可知，信号的能量是不会变的，在各个域中能量应该守

23、恒，也是说之前(zhqin)用傅里叶级数推得频谱函数是行不通的，怎么解决？问题：非周期(zhuq)信号的频谱是怎样的？ 周期(zhuq)信号T时，周期(zhuq)信号就演变为非周期(zhuq)信号， 而，T，使得Fn0，那又何谈非周期信号的频谱问题。第53页/共126页第五十三页，共127页。t)(tf2221T21T1T1TE1Tt)(tf22E1T112T谱线间隔1T0211T0谱线间隔周期信号的离散谱非周期信号的连续谱一、傅里叶变换一、傅里叶变换1 1、频谱密度、频谱密度(md)(md)函数函数 第54页/共126页第五十四页，共127页。F（）称为频谱密度函数）称为频谱密度函数(hns

24、h)，简称频谱，简称频谱函数函数(hnsh) 推得：第55页/共126页第五十五页，共127页。2、傅里叶变换(binhun) 傅里叶正变换(binhun)式，记为: F f(t) =F() 或 f(t)F(). dtetfFtj)()(deFtftj)(21)( 傅里叶逆变换式，记为:)()()()(1tfFtfFF或第56页/共126页第五十六页，共127页。3、傅里叶变换的存在(cnzi)条件（充分条件）要使F()存在(cnzi)必须: 是变量(binling)t的函数，它可正可负。但如果取绝对值再进行积分，则必有证：dtetfjFtj)()(第57页/共126页第五十七页，共127页。

25、1tje又 故如果 dttf)(则 )()(jFdtetftj必然存在。 第58页/共126页第五十八页，共127页。二、典型信号(xnho)的傅里叶变换 1、单边指数、单边指数(zhsh)信号信号)(tf1t幅度频谱: 2211)(aF相位频谱 )arctan()(ajadteeFtjat1)(01第59页/共126页第五十九页，共127页。幅度频谱: 2211)(aF相位频谱 )arctan()(a第60页/共126页第六十页，共127页。2、偶双边指数(zhsh)信号幅度频谱2222)(aaF相位频谱0)(2222)(aadteeFtjta第61页/共126页第六十一页，共127页。3、

26、奇双边(shungbin)指数信号220032)(ajdteedteeFtjattjat第62页/共126页第六十二页，共127页。4、矩形脉冲信号(xnho) )2()2sin(2)(224SaEEdtEeFtj第63页/共126页第六十三页，共127页。5、符号函数(hnsh)信号 信号(xnho)不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换。对奇双边指数信号(xnho) :当a0时，有 第64页/共126页第六十四页，共127页。jajFFaa2)2()()(220305limlim第65页/共126页第六十五页，共127页。6、单位(dnwi)直流信号 该信号也不满足(mnz)绝对可积条件

27、，但可利用指数函数取极限 )(2)(6F第66页/共126页第六十六页，共127页。第67页/共126页第六十七页，共127页。7、单位(dnwi)阶跃信号u（t）可利用单边指数函数(zh sh hn sh)求其傅里叶变换，即 jF1)()(7第68页/共126页第六十八页，共127页。 单位(dnwi)冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或“白色频谱”。7、冲激函数的傅里叶变换、冲激函数的傅里叶变换(binhun)(1tf/12/2/t11()Sa()2Fj24240)(tt)1(011)(jF第69页/共126页第六十九页，共127页

28、。冲激冲激(chn j)(chn j)偶的傅里叶偶的傅里叶变换变换, 1)(tF上式两边(lingbin)对t 求导得：同理：nnjt)()()(FF( )tj第70页/共126页第七十页，共127页。三、三、 傅里叶变换的基本傅里叶变换的基本(jbn)(jbn)性质性质1 1、 线性线性例3.4.13.4.1 利用(lyng)(lyng)傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。 解：因为(yn wi)f（t）=u(t)=1/2+(1/2)sgn(t) 第71页/共126页第七十一页，共127页。2、 对称性对称性证明(zhngmng)： 因为(yn wi)将上式中变量(binling)

29、 和t互换第72页/共126页第七十二页，共127页。 傅里叶变换之间存在着对称关系(gun x)，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系(gun x)。 其幅度之比为常数2。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。 EG:第73页/共126页第七十三页，共127页。例例3.4.23.4.2若信号若信号(xnho)f(t)(xnho)f(t)的傅里叶变换为的傅里叶变换为 求求 f(t) f(t)解 :根据对称性得 Sa函数为偶函数)2()(SaAf将F()中的换成t，并考虑(kol)F()为的实函数 )2(2)(SaAtfF傅里叶变换由定义式可知为 第74页/共126页第七十四页，共1

30、27页。3、奇偶虚实(xsh)性(折叠性)无论f(t)是实函数(hnsh)还是复函数(hnsh)，都有： 第75页/共126页第七十五页，共127页。(1) 当f(t)为实函数(hnsh)时，则 当f(t)为实偶函数 f(t) = f(-t) ，则 第76页/共126页第七十六页，共127页。当f(t)为实奇函数 ，则 (2) 当f(t)为虚函数(hnsh) ，则 第77页/共126页第七十七页，共127页。四、尺度(chd)变换性 由上可见，信号在时域中压缩(y su)等效在频域中扩展； 反之，信号在时域中扩展等效在频域中压缩(y su)。特例：f(-t) F(-)第78页/共126页第七十

31、八页，共127页。例例3.4.33.4.3 已知已知 , ,求频谱函数求频谱函数(hnsh)F() (hnsh)F() 。 0)(Etf4/4/tt解: : 根据(gnj)尺度变换性 的频谱函数 )2()2()(4tutuEtf)4(2)2(21)(4SaEFF第79页/共126页第七十九页，共127页。第80页/共126页第八十页，共127页。五、时移特性五、时移特性(txng)例3.4.4：求下图所示的单边矩形脉冲信号(xnho)的频谱函数F() 。解：解：)(tfEt根据(gnj)时移特性第81页/共126页第八十一页，共127页。幅度谱保持不变，相位(xingwi)谱产生附加相移4(

32、) 2/E)(jF242第82页/共126页第八十二页，共127页。六、频移特性（调制六、频移特性（调制(tiozh)定理）定理）第83页/共126页第八十三页，共127页。例：求矩形调幅(dio f)信号的频谱函数，已知f(t)=G(t) cos0t，其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为E, 脉宽为。)(tfE2t2解：)(jF20002E()Sa()2G jE第84页/共126页第八十四页，共127页。七、时域微分七、时域微分(wi fn)特特性性EG:EG: )()()(ttfn的频谱函数F() 由时域微分性 njF)()(第85页/共126页第八十五页，共127页。例例3.4.53.4.5

33、如图所示信号如图所示信号(xnho)f(t)(xnho)f(t)为三角为三角形函数形函数 01)2()(tttftt01)2()(tttf解: : 将f(t)f(t)微分(wi fn)(wi fn)两次后，得 第86页/共126页第八十六页，共127页。八、频域微分(wi fn)特性第87页/共126页第八十七页，共127页。例例3.4.63.4.6 求求f(t)=tu(t)f(t)=tu(t)的频谱函数的频谱函数(hnsh)F()(hnsh)F()。解: 根据(gnj)频域微分性 第88页/共126页第八十八页，共127页。九、时域积分(jfn)性 例3.3.73.3.7 求图所示信号(xn

34、ho)f(t)(xnho)f(t)的频谱函数F() F() 。 第89页/共126页第八十九页，共127页。解解: : 对对f(t)f(t)求两次微分求两次微分(wi fn)(wi fn)后，得后，得由时域积分(jfn)性第90页/共126页第九十页，共127页。十、频域积分(jfn)性例3.4.83.4.8 已知 tttf)sin()(求F() 解: : =u(+1)- u(-1)第91页/共126页第九十一页，共127页。十一(ShY)、时域卷积定理 第92页/共126页第九十二页，共127页。解：解：因 例3.4.93.4.9如图所示的三角形函数(hnsh) (hnsh) 01)(ttf

35、tt可看做为两个(lin )如图所示门函数卷积。试利用时域卷积定理求其频谱函数F()。 tf(t)10t(t)G102/2/1(a) (b)图 3 - 24得：)2()(2SaF第93页/共126页第九十三页，共127页。例例3.4.103.4.10一个信号一个信号(xnho)f(t)(xnho)f(t)的希伯特变的希伯特变换换 是是f(t)f(t)和和 的卷积，即的卷积，即 求其傅里叶变换。求其傅里叶变换。 解： 因为 jt2)sgn(根据对称性 )sgn(2)sgn(22jt)sgn(1jt)()sgn(1)()(jFjttftf第94页/共126页第九十四页，共127页。十二(sh r)

36、、频域卷积定理例3.3.11利用(lyng)频域卷积定理求f(t)=tu(t)的傅里叶变换F()。解： 因为(yn wi) (yn wi) )1()()(1)()(1)()(221)(jjjjjF)1()()(2 jjF第95页/共126页第九十五页，共127页。十三、帕塞瓦尔定理(dngl)可推广(tugung) 第96页/共126页第九十六页，共127页。例例3.4.123.4.12 求 解： 因 dSaSadSa)(2)(22142)(2由帕塞瓦尔定理可得dttGtGdSa)()(2)(222第97页/共126页第九十七页，共127页。3.5 周期周期(zhuq)信号的傅里叶变换信号的傅

37、里叶变换周期信号周期信号傅里叶级数傅里叶级数非周期非周期(zhuq)信号信号1T？傅里叶变换傅里叶变换1T一、复指数信号(xnho)的傅里叶变换 第98页/共126页第九十八页，共127页。二、 正弦、余弦信号(xnho)的傅里叶变换)()(cos000tF)()(sin000 jtFttf01cos)(1t-1ttf02sin)(1t-1)(1jF 0 00)()()(Im2jF 0 0)()(0图 3 - 25 第99页/共126页第九十九页，共127页。三、单位冲激(chn j)序列的傅里叶级数与傅里叶变换。01T12T1T12Tt)(tT) 1 (第100页/共126页第一百页，共12

38、7页。01nF1211211T 可见，时域周期为T1的单位冲激序列，其傅里叶变换(binhun)也是周期冲激序列，而频域周期为1，冲激强度相等，均为1 。 0112112)(jF)(1第101页/共126页第一百零一页，共127页。四、一般周期信号(xnho)的傅里叶变换 对于一般周期(zhuq)为T的周期(zhuq)信号f(t)，其指数型傅里叶级数展开式为 对上式两边(lingbin)取傅里叶变换 第102页/共126页第一百零二页，共127页。 一般周期信号的傅里叶变换(频谱函数)是由无穷(wqing)多个冲激函数组成。 冲激函数位于信号的各谐波频率n1处，其强度为相应傅里叶级数系数Fn的

39、2倍。 周期信号的频谱是离散的。它不是有限值，而是冲激函数，这表明在无穷(wqing)小的频带范围(即谐频点)取得了无穷(wqing)大的频谱值。 第103页/共126页第一百零三页，共127页。解：已知矩形脉冲f (t)的傅里叶级数(j sh)为： 例3.5.1已知周期矩形脉冲信号f(t)的幅度(fd)为E，脉宽为，周期为T1。试求其频谱函数 t)(tf2/2/1T1TE)2(Sa)(111011nTEjFTFnn)2(Sa)(0 EjF第104页/共126页第一百零四页，共127页。nF1TE11224设：411T11224)(1E)(jF第105页/共126页第一百零五页，共127页。

40、利用抽样(chu yn)脉冲序列p(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列的离散样值。 p(t)称为“取样信号”。一、抽样(chu yn)信号 1、抽样(chu yn)3.6 抽样信号(xnho)与抽样定理第106页/共126页第一百零六页，共127页。（1）矩形脉冲抽样(chu yn)t)(tpsTE 2、抽样(chu yn)信号fs(t)的频谱第107页/共126页第一百零七页，共127页。根据频域卷积定理可得抽样信号(xnho)fs(t)的频谱函数为 f(t) F() ；p(t) P() (t)(t)=f(t) (t)(t-t0)= (t-t0)时域卷积定理： )()()()(2121F

41、Ftftf频域卷积定理：)()(21)()(2121FFtftf第108页/共126页第一百零八页，共127页。f s(t)中含有f(t)的全部(qunb)信息，可从fs(t)恢复原信号f(t) 。第109页/共126页第一百零九页，共127页。（2）冲激(chn j)抽样(t)的抽样(chu yn)性质： (t) (t)=f(0) (t) (t) (t-t0)= (t0) (t-t0)f(t) F() ；p(t) P() 第110页/共126页第一百一十页，共127页。均匀冲激抽样(chu yn)，称为“理想抽样(chu yn)”；矩形脉冲抽样(chu yn)，也称为“自然取样”。 第111

42、页/共126页第一百一十一页，共127页。当s 2m时， Fs()是由原信号的频谱F()的无限个频移组成(z chn)。当s 2m时，则各频移的频谱将相互有重叠部分，无法将它们分开，因而不能再恢复原信号。 频谱重叠的这种现象可称为混叠现象。3、频谱混叠结论：p(t)的频率fs足够高，抽样(chu yn)信号的频谱就不会混叠； 反之，频谱就会混叠，无法恢复原信号。s变大s变小(bin xio)第112页/共126页第一百一十二页，共127页。二、时域抽样定理 一个频谱受限的信号f(t)，若频谱分布在（-m，m） ，则信号f(t)可以用等间隔(jin g)的抽样值fs(t) 惟一表示，要求抽样信号

43、p(t)的最低频率为2fm. 奈奎斯特间隔： Ts Ts1/(2fm)1/(2fm)。连续(linx)(linx)信号离散化时允许的最大抽样间隔。 奈奎斯特频率(pnl)(pnl)：fsfs2fm2fm。允许的最低抽样频率(pnl)(pnl)。 第113页/共126页第一百一十三页，共127页。2、原信号f(t)的恢复 若使均匀冲激抽样(chu yn)信号fs(t)通过一个系统函数为 的理想低通滤波器，则可恢复出原信号。 第114页/共126页第一百一十四页，共127页。证明(zhngmng)： 由频域分析可知：由频域分析可知：Y()=Fs()H()Y()=Fs()H()从图中的从图中的Fs(

44、)Fs()和图和图 (b) (b)可以可以(ky)(ky)看出：看出：Y()=F()Y()=F()所以所以 ：y(t)=f(t) y(t)=f(t) 第115页/共126页第一百一十五页，共127页。 即在满足抽样定理的条件下，均匀冲激抽样信号(xnho)fs(t)通过上述的理想低通滤波器后可完全恢复信号(xnho)。 故 nSSSsnTtTSanTftfthtfty)()()()()()(证毕 第116页/共126页第一百一十六页，共127页。例4.6.1 黑白电视每秒发送30幅图像，每幅图像又分为525条水平扫描线，每条水平线又在650个点上采样。求采样频率(pnl)fs。若此频率(pnl

45、)为奈奎斯特频率(pnl)，求黑白电视信号的最高频率(pnl)fm。 解：采样频率(pnl)，即每秒传送的采样点数为： msff2因 故 MHZ52smff第117页/共126页第一百一十七页，共127页。例例4.6.24.6.2 图图(a)(a)所示系统所示系统(xtng)(xtng)。已。已知知 ，系统，系统(xtng)H1()(xtng)H1()的频率特的频率特性如图性如图(b)(b)所示所示, H2(), H2()为一个理想低通滤波器。为一个理想低通滤波器。(1) (1) 画出画出f(t)f(t)的频谱图；的频谱图；(2) (2) 若使若使fs(t)fs(t)包含包含f(t)f(t)的全部信的全部信息，最大间隔息，最大间隔TsTs应为多少？应为多少？(3) (3) 分别画出在奈奎斯特频分别画出在奈奎斯特频率及率及s=4ms=4m时的抽样信号的频谱图时的抽样信号的频谱图Fs() Fs() ；第118页/共126页第一百一十八页，共127页。解： (1) 由给出的f0（t）可知(k zh)其频谱F0()为 所以(suy)可画出F0() ，如图