ch方向导数梯实用实用教案

1、1 的几何的几何(j h)意义意义: 当点当点 P 沿着由沿着由 所所确定确定(qudng)的射线的射线 L 趋于趋于 P0 点时点时 , 函数函数 z = f (x , y) 在点在点 ( x0 , y0) 处沿处沿 方向的变化率方向的变化率 l第1页/共18页第一页，共19页。2第2页/共18页第二页，共19页。3第3页/共18页第三页，共19页。4.注注第4页/共18页第四页，共19页。5第5页/共18页第五页，共19页。6第6页/共18页第六页，共19页。7梯度(t d) (t d) 方向导数方向导数(do sh)(do sh)公式公式这说明这说明(shumng)(shumng)方向：

2、方向：f 变化率最大的方向变化率最大的方向模模 : : f 的最大变化率之值的最大变化率之值令向量令向量,ffgxy 0cos( ,)gg l 0(1 )l 0fg ll 方向导数取最大值：方向导数取最大值：0l当当 与与 方向一致时，方向一致时，g 第7页/共18页第七页，共19页。8说明说明(shumng):(1) 梯度梯度 grad f (x , y) 是一个是一个(y )向向量量 (2) 对于对于 , 可类似定义可类似定义 n 元元12(,)nuf xxx 函数的梯度函数的梯度 1212(,),nnfffgradf xxxxxx 第8页/共18页第八页，共19页。9(3) 如果引进微分

3、算子如果引进微分算子 , ijxyxy ( 称为称为(chn wi)二维二维 Hamilton微分算子微分算子 )12 , , nxxx ( 称为称为 n 维维 Hamilton微分算子微分算子 )则梯度则梯度(t d)可表示为可表示为第9页/共18页第九页，共19页。10(4) 00( ,)( ,) ( ,) cos( ,),)f x yf x ylf x yf x yll (a) 当当 时时 , 即即 与与 同向同向 ( , ),)0f x yl l( , )f x y ( , ) f x yl 取得最大值取得最大值( , )f x y 结论结论(jiln):梯度方向是函数值增长最快的方向

4、梯度方向是函数值增长最快的方向 , 且方向且方向导数有最大值导数有最大值( , )f x y (b) 当当 时时 , 即即 为负梯度方向为负梯度方向( , ),)f x yl l( , ) f x yl 取得最小值取得最小值( , )f x y 第10页/共18页第十页，共19页。11(c) 当当 时时 , ( , ),)2f x yl 结论结论(jiln):与梯度方向垂直的方向是函数值变化最与梯度方向垂直的方向是函数值变化最 微小的方向微小的方向结论结论:负梯度方向是函数值减少最快的方向负梯度方向是函数值减少最快的方向 , 且且方向导数有最小值方向导数有最小值( , )f x y 梯度的基本

5、(jbn)(jbn)运算公式第11页/共18页第十一页，共19页。12第12页/共18页第十二页，共19页。13第13页/共18页第十三页，共19页。14内容(nirng)(nirng)小结1. 1. 偏导数的概念偏导数的概念(ginin)(ginin)及有关及有关结论结论 定义定义; ; 记号记号; ; 几何几何(j h)(j h)意义意义 函数在一点偏导数存在函数在一点偏导数存在函数在此点连续函数在此点连续2. 2. 偏导数的计算方法偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法求一点处偏导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义3. 3. 微分定义微分定义: :第14页/共18页

6、第十四页，共19页。154. 4. 重要重要(zhngyo)(zhngyo)关系关系: :函数可导函数可微偏导数连续函数连续5. 5. 微分(wi fn)(wi fn)应用 近似计算和误差近似计算和误差(wch)(wch)估计估计( , )( , )xyfx yxfx yy 第15页/共18页第十五页，共19页。166. 6. 方向方向(fngxing)(fngxing)导导数数 三元三元(sn (sn yun)yun)函数函数 在点在点的方向的方向(fngxing)(fngxing)导数导数为为 二元函数二元函数 在点在点的方向导数为的方向导数为沿方向沿方向 ( (方向角方向角l沿方向沿方向

7、 ( (方向角为方向角为l第16页/共18页第十六页，共19页。177. 7. 梯度梯度(t (t d)d) 三元三元(sn yun)(sn yun)函数函数 ),(zyxf在点在点),(zyxP处的梯度处的梯度(t d)(t d)为为 二元函数二元函数 ),(yxf在点在点),(yxP处的梯度为处的梯度为关系关系方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数存在 可微可微第17页/共18页第十七页，共19页。18感谢您的欣赏(xnshng)！第18页/共18页第十八页，共19页。NoImage内容(nirng)总结1。的几何意义(yy): 当点 P 沿着由 所。确定的射线 L 趋于 P0 点时 , 函数 z = f (x , y)。在点 ( x0 , y0) 处沿 方向的变化率。方向：f 变化率