2022年数学：新人教A版选修1-13.1变化率与导数

1、1 人教新课标版（ a）选修 1-1 3.1 变化率与导数同步练习题【基础演练】题型一：变化率问题与导数概念一般地，1212xxxfxfxf我们称为平均变化率，如果0 x时，xxfxxflimxflim000 x0 x存在，称此极限值为函数xfy在0 x处的导数，记作0 xf，请根据以上知识解决以下15 题。1. 一质点运动的方程为2t 35s，则在一段时间t1, 1内相应的平均速度为a. 6t3b. 6t3c. 6t3d. 6t32. 将半径为r 的球加热，若球的半径增加r，则球的体积增加y 约等于a. rr343b. rr42c. 2r4d. rr43. 已知函数1xy的图象上一点（1，2

2、）及邻近一点y2,x1，则xy等于a. 2 b. 2x c. 2+x d. 2+2x4. 自变量0 x变到1x时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数a. 在区间10 x,x上的平均变化率b. 在0 x处的变化率c. 在1x处的变化量d. 在区间10 x,x上的导数5.若函数xf在ax处的导数为a，求x2xafxaflim0 x。题型二：导数的物理意义在 物 体 的 运 动 规 律 中 ，如 果tss， 那 么 物体 的 瞬 时 速 度ttsttslimtslimv0t0t；如果tvv，那么物体的加速度ttvttvlimtvlima0t0t，请根据以上知识解决以下67 题。6. 若一物体运

3、动方程如下：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -2 3t3t3293t02t3s22求物体在1t或3t时的速度。7. 质点 m 按规律t43v做直线运动，则质点的加速度a=_。题型三：导数的几何意义导数的几何意义：函数xfy在0 x处的导数， 即曲线xfy在点 p （00 xf,x）处切线的斜率为0 xf，相应的切线方程是000 xxxfyy，请根据以上知识解决以下89 题。8. 下面说法正确的是a. 若0 xf不存在，则曲线xfy在点（0 x，xf）处没有切线b. 若曲线xfy在点（

4、00 xf,x）处有切线，则0 xf必存在c. 若0 xf不存 在，则曲线xfy在点（00 xf,x）处的切线斜率不存在d. 若曲线xfy在点（00 xf,x）处没有切线，则0 xf可能存在9. 已知曲线c：3xy。（1）求曲线c 上横坐标为1 的点处的切线方程（2）第（ 1）小题中的切线与曲线c 是否还有其他的公共点？【互运探究】学科内综合10. 设b, ax0，xfy在0 x处可导是0 xfy在（ a，b）内可导的a. 充分非必要条件b. 必要而非充分条件c. 充要条件d. 既非充分又非必要条件11. 如图 3-1-1 表示物体运动的路程随时间变化的函数2t2t4tf的图象，试根据图象，描

5、述、比较曲线tf在0t、1t、2t附近的变化情况，并求出2t时的切线的方程。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -3 学科间综合12. 两工厂经过治理，污水的排放量（w）与时间（ t）的关系如图所示，试指出哪一个厂治污效果较好？新题型13. 柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状，如果开始加热后第x 小时的沥青温度（单位：）为8x1244x2x49201x020 x80 xf22（1）求开始加热后15 分钟和 30分钟时沥青温度的瞬

6、时变化率；（2）求开始加热后第4 小时和第 6 小时沥青温度的瞬时变化率。【经典名题】14.过点（ -1，0）作抛物线1xxy2的切线，则其中一条切线为a. 02yx2b. 03yx3c. 01yxd. 01yx15.若曲线4xy的一条切线l 与直线08y4x垂直， 则l的方程为a. 03yx4b. 05y4xc. 03yx4d. 03y4x参考答案：1. d 提示：t6t3135t135s222，6t3tt6t3tsv2。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -4 2. b 提示：3r3

7、4rv，rvrrvy33r34rr3433223r34rrr3rr3r34322r34rr4rr4，r 是一个很小的量，2r和 （ r）3非常小，rr4y2。3. c 4. a 5. 解：axafxaflim0 x，axafxaflim0 x（令x替换x） ，x2xafxaflim0 xxxafaflim21xafxaflim210 x0 xxafxaflima210 x（当0 x时，0 x）aaa21。6. 解：当1t时，2t 3s2，232t13tsttss22t3t6，6t36limtt3t6limtslimv0t20t0t。当3t时，23t329s，222t3333293t3329ts

8、ttss，0t3limtt3limtslimv0t20t0t。物体在1t和3t时的瞬时速度分别是6 和 0。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -5 7. 4 提示：4tt43tt43limtvlima0t0t。4a。8. c 9. 解： （1）将1x代入曲线c 的方程，得1y，切点的坐标为（1， 1） 。xxxxlimy330 x2220 xx3x3xx3xlim，3|y1x，过点（ 1，1）的切线的方程为1x31y，即02yx3。（2）由3xy02yx3，得2x3x3整理得02xx1

9、x2，解得1x或2x。从而获得切线与曲线的公共点为（ 1， 1）和（ -2，-8） 。说明切线与曲线c 的公共点除去切点外，还有一个公共点（-2，-8）提示：本例回答了一个问题：直线与曲线相切是否一定只有一个公共点。10. b 11. 解：用曲线tf在0t、1t、2t处的切线刻画曲线tf在0t、1t、2t附近的变化情况。（1）当0tt时，曲线tf在0t处的切线0l平行于 x 轴，所以在0tt附近曲线比较平坦，几乎没有升降。（2）当1tt时，曲线tf在1t处的切线1l的斜率0tf1，所以在1tt附近曲线下降，即函数tf在1tt附近单调递减。（3）当2tt时，曲线tf在2t处的切线2l的斜率0tf

10、2，所以在2tt附近曲线下降，即函数tf在2tt附近也单调递减。 由图象可以看出， 直线1l的倾斜程度小于直线2l的倾斜程度，说明曲线tf在1t附近比在2t附近下降得缓慢。（4）当2t时，02f。在2t是的切线的斜率2fk精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - -6 t2ft2flim0tt88t22t24lim20ttt8t2t4lim20t44t2lim0t。所以切线的方程为2x4y。即08yx4。提示：导数的几何意义是曲线的切线斜率，反过来，在曲线上取定一点作曲线的切线时，能根据切线判

11、定斜率的符号即导数的符号，进而根据符号确定在该点附近曲线的升降情况（或函数的增减情况） ，同时可以根据几点处的切线倾斜程度的大小，判断曲线升降的快慢程度。12. 解：在0t处，虽然0201twtw， 但tttwtwtttwtw02020101，所以说，在单位时间里，企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一些。13. 解： （1）1x0时，20 x80 xf2，15 分钟 =0.25 小时，30 分钟 =0.5 小时，沥青温度在15 分钟和 30 分钟时的瞬时变化率就是函数xf在25. 0 x处和5.0 x处的导数25.0f和5.0f，x25.0fx25.0fxfx2025.08020 x25.08022x8040 xxx5.0802，40 x8040limxflim25.0f0 x0 x，同理可得xflim5. 0f0 x80 x8080lim0 x。（2）当8x1时，244x2x4920 xf2，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - -7 当4x时，x2444244920 x244x42x44920 xf22xxx649202x64920，4912064920 x64920limxflim4f0 x0 x，同理当6x时，x1049