2022年数学经典例题深度解析

1、学习必备欢迎下载数学经典例题深度解析例 1：设2,sx xmnm nz(1).,azas设则 是否是集合中的元素(2).对s中任意两个元素12,x x，判断1212,xxx x是否属于s. 解： (1)a 一定不是集合s中的元素(2). 121112221212121212121221,2,2,()() 2(2)()2xs xsxmnxmnxxmmnnsx xmmn nm nm ns令则例 2：求证：函数221( )f xxx在区间(0,)上的最小值为2 解：任取1212,0,1 ,x xxx则221212221222122221212221211221221210,01.1110()()11

2、()(1)1()(1)0 xxx xx xx xf xf xyxxxxxxxx xxxx x( )f x在0,1上是减函数同理可证( )f x在1,上是增函数故( )f x在0,上的最小值为(1)2f例 3: 已知集合m是同时满足下列两个性质的函数( )fx的全体 : ( )f x在其定义域上是单调函数；在( )f x的定义域内存在闭区间 , a b，使得( )f x在 , a b上的最小值是2a，且最大值是2b. 请解答以下问题：判断函数3( )g xx是否属于集合m？并说明理由. 若是，请找出满足的闭区间 , ab；若函数( )1h xxtm，求实数t的取值范围解: （1）设则,21xx0

3、 x43x21xx-xxxxxx-xxxxgxg212121221212212323121）（）（）（）（）（）（）（21xgxg, 故 g（x)是 r 上的减函数假设函数g（x)m，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载则2233abba2222ba或2222ba又 a1,故:2320ttk.上式对一切tr均成立 , 从而判别式14120.3kk例 6:已知函数)(xf对任意的abr、满足：()( )( )6,f a bf af b0,( )6af a当时；( 2)12

4、f。（1）求：(2)f的值；（2）求证：( )fx是r上的减函数；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（3）若(2)(2 )3f kfk，求实数k的取值范围。解: （1）()( )( )6,f abf af b令0ab，得(0)6f令2,2ab，得(2)0f（2）证明：设12,xx是r上的任意两个实数，且12xx，即210 xx，从而有21()6f xx，则212111()()()()f xf xfxxxf x2111()()6()f xxf xf x21()60f x

5、x21()()f xf x即( )f x是r上的减函数（3）()( )( )6,f abf af b令1,1ab，得(1)3f(2)(2 )3f kfk(2)3(2 )f kfk，又(1)3f，(2)0f即有(2)(1)(2 )(2)f kffkf(2)(1)6(2 )(2)6f kffkf(2)1(2 )2fkfk又( )f x是r上的减函数(2)1(2 )2kk即3k实数k的取值范围是3k例 7: 已知定义域为0,1的函数( )f x同时满足以下三个条件： . 对任意的0,1x，总有( )0fx； . (1)1f； . 若10 x，20 x，且121xx，则有1212()()()f xxf

6、 xf x成立 . 则称( )f x为“ 友谊函数 ” ，请解答下列各题：(1) 若已知( )f x为“ 友谊函数 ” ，求(0)f的值；(2) 函数( )21xg x在区间0,1上是否为 “ 友谊函数 ” ？并给出理由解: （1）取120 xx得(0)(0)(0)(0)0ffff又由(0)0f，得(0)0f（2）显然( )21xg x在0,1上满足 1 ( )0g x；2 (1)1g. 若10 x，20 x，且121xx，则有1212()()()g xxg xg x12122121 (21)(21)(21)(21)0 xxxxxx故( )21xg x满足条件 1、2、3 ，所以( )21xg

7、 x为友谊函数例 8: 已知向量(sin,cos),( 3,1)maan且1m n，且a为锐角 . （1）求角a的大小；（2）求函数( )cos24cossin()fxxax xr的值域解：由题意得3 sincos1,m naa12sin()1,sin().662aa由 a 为锐角得,663aa（2） 由（ 1）知1cos,2a所以2213( )cos22sin12sin2sin2(sin).22f xxxxsx因为 xr，所以sin1,1x，因此，当1sin2x时， f(x)有最大值32. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共

8、 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载当sin1x时，( )f x有最小值3, 所以所求函数( )f x的值域是332，例 9: 已知函数22( )sin3sincos2cos,.f xxxxx xr（1）求函数( )fx的最小正周期和单调增区间；（2）函数( )f x的图象可以由函数sin 2 ()yx xr的图象经过怎样的变换得到？解： （1）1cos23( )sin 2(1cos2 )22xf xxx313sin 2cos2222xx3sin(2).62x( )f x的最小正周期2.2t由题意得222,262kxkkz即,.36kxkkz( )fx的单调增区间为,.

9、36kkkz（2）先把sin 2yx图象上所有点向左平移12个单位长度，得到sin(2)6yx的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3sin(2)62yx的图象例 10：已知函数( )sin()3f xxxr，且1.6f(1)求的最小正值及此时函数( )yf x 的表达式；(2)将(1)中所得函数( )yf x 的图象结果怎样的变换可得11sin22yx 的图象；(3)在(1)的前提下，设 2534,(),()636355ff，求tan的值；求 cos2()1的值解： (1) 因为16f，所以sin163，于是 +2 ()632kkz ，即112 ()k kz ，故当 k

10、=0时，取得最小正值1. 此时( )sin3f xx. (2)(方法一 )先将sin3yx的图象向右平移3个单位得y=sinx 的图象；再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变 )得1sin2yx 的图象；最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的12倍(横坐标不变 )得11sin22yx 的图象 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(方法二 )先将sin3yx的图象各点的横坐标伸长到原来的2 倍 (纵坐标不变 )得1sin23yx的图象；再将所得图象向右平移23个单位得1sin2yx 的图象 ; 最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的12倍(横坐标不变 )得11sin22yx 的图象 . (3)因为34(),()55ff，所以34sin, sin3535. 因为 25,6363所以, , 03232. 于是43cos, cos.3535因为sin33tan34cos3，所以tantan33tantan331tantan