2022年数学同步练习题考试题试卷教案高三数学二面角及平面的垂直

1、94 二面角及平面的垂直一、明确复习目标1. 掌握两平面垂直的判定和性质，并用以解决有关问题2. 掌握二面角及其平面角的概念，能灵活作出二面角的平面角，并能求出大小3在研究垂直和求二面角的问题时，要能灵活运用三垂线定理及逆定理二建构知识网络1. 二面角、平面角的定义；范围：0,. 两个平面相交成900二面角时，叫两个平面垂直. 2判定两平面垂直的方法：利用“面面垂直的定义”，即证“两平面所成的二面角是直二面角；利用“面面垂直的判定定理”，即由“线面垂直面面垂直”.3二面角的平面角的作法：直接利用定义；利用三垂线定理及其逆定理; 作棱的垂面. 三、双基题目练练手1. 在三棱锥abcd 中， 若

2、adbc， bdad， bcd 是锐角三角形， 那么必有 ( ) a. 平面 abd平面 adcb. 平面 abd平面 abcc. 平面 adc平面 bcdd. 平面 abc平面 bcd2. 设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面. 考查下列命题，其中正确的命题是（）.,a mnmn./,/bmnmn.,/cmnmn.,dm nmn3. 设两个平面、 ，直线 l ，下列三个条件：l ; l; , 若以其中两个作为条件，另一个作为结论，可构成正确命题的个数是（）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - -

3、- - - - -a.3 b.2 c. 1 d. 0 4. p 为 abc 所在平面外的一点，则点p 在此三角形所在平面上的射影是abc 垂心的充分必要条件是a.pa=pb=pcb. pa bc，pbac( ) c. 点 p 到 abc 三边所在直线距离相等d.平面 p ab、平面 pbc、平面 p ac 与 abc 所在的平面所成的角相等5如图在四棱锥p- abcd 中， p a底面 abcd，底面各边都相等，m 是 pc 上的一动点，当点m 满足 _时，平面mbd平面 pcd. 6. 夹在互相垂直的两个平面之间长为2a 的线段和这两个平面所成的角分别为45和 30，过这条线段的两个端点分别

4、向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为_. 答案提示：1-4. cbbb； 5. md pc 或 mbpc ; 6. a四、典型例题做一做【例 1】 如下图，在三棱锥sabc 中， sa平面 abc，平面 sab平面 sbc. （1）求证： abbc；（2）若设二面角s bca 为 45， sa=bc，求二面角ascb 的大小 . 证明（ 1） ：作 ah sb于 h，平面 sab平面 sbc，ah平面 sbc. ahbc，又 sa平面 abc，sabc. sa sb=s，bc平面 sab. bcab. 解（ 2） ： sa平面 abc， sa bc. 平面 sabbc， sba为二面角

5、sbca 的平面角 . sba=45. 设 sa=ab=bc=a. 作 aesc 于 e，连结 eh. 由(1) 知 ah平面 sbc, ae 在面 sbc内的射影ehsc， aeh 为二面角abcseh精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -ascb 的平面角，ah=22a，ac=2a，sc=3a，ae=36a，sin aeh=23，二面角ascb 为 60.【例 2】 已知正三棱柱abca1b1c1，若过面对角线ab1且与另一面对角线bc1平行的平面交上底面a1b1c1的一边 a1c

6、1于点 d. （1）确定 d 的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面ab1d平面 aa1d；（3）若 abaa1=2 ，求平面ab1d 与平面 ab1a1所成角的大小. 分析：本题结论不定，是“开放性”的，点d 位置的确定如果仅凭已知条件推理难以得出 . 由于 ab1与 bc1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线，于是可考虑将bc1沿 ba 平行移动， bc1取 ae1位置，则平面ab1e1一定平行bc1，问题可以解决. （1）解：如下图，将正三棱柱abca1b1c1补成一直平行六面体abcea1b1c1e1，由 ae1bc1，ae1平面 ab1e1，知 bc1平面 ab1e1，故平面 a

7、b1e1应为所求平面，此时平面 ab1e1交 a1c1于点 d，由平行四边形对角线互相平行性质知，d 为 a1c1的中点 . （2）证明：连结b1d，则 b1da1c1; 从直三棱柱定义知aa1底面 a1b1c1，aa1b1d, 又 a1daa1=a1，b1d平面 aa1d，又 b1d平面 ab1d，平面 ab1d平面 aa1d. （3） 解：因为平面 ab1d平面 aa1d=ad， 所以过 a1作 a1had 于点 h. 作 hf ab1于点 f，连结 a1f，从三垂线定理知a1fab1. 故 a1fh 是二面角a1ab1d 的平面角 . 设侧棱 aa1=1，侧棱 ab=2. c1 _b1

8、_a1 _b c a ae1b1c1bceda1精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - -于是 ab1=22)2(1= 3. 在 rtab1a1中， a1f=1111abbaaa=321=36，在 rtaa1d 中， aa1=1，a1d=21a1c1=22，ad=2121daaa= 26. a1h=addaaa11=33. 在 rta1fh 中， sina1fh =faha11=22， a1fh =45.因此知平面ab1d 与平面 ab1a1所成角为450或 1350. 【例 3】在四棱锥

9、p- abcd 中，已知 abcd 为矩形， pa 平面 abcd，设 p a=ab=1，bc=2，求二面角b- pc- d 的大小 . 解析 1. 定义法过 d 作 de pc 于 e，过 e 作 ef pc，交 bc 于 f，连接fd，则def是所求二面角b- pc- d的平面角 . 求解二面角b- pc- d 的大小，只需解def 即可 . 所求角为2arccos10解析 2. 垂面法易证面 pab面 pbc，过 a 作 am bp 于 m，显然 am 面 pbc，从而有 am pc，同法可得an pc，再由 am 与 an 相交与 a 得 pc 面 amn. 设面amn 交 pc 于

10、q，则mqn为二面角b-pc-d 的平面角；b d p c a e f 解析一精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - -man 为它的补角，在三角形amn 中可解 . 计算较繁 . 解析 3. 利用三垂线求解把四棱锥p- abcd 补成如图的直三棱柱p ab- edc，显然二面角 e- pc- d 与二面角d- pc- b 互补，转化为求二面角e- pc- d. 易证面 peda pdc ，过 e 作 ef pd于 f，显然 pf 面 pdc ，在面 pce 内，过 e 作 eg pc 于

11、 g，连接 gf，由三线得 gf pc 即egf 为二面角e- pc- d 的平面角，只需解efg 即可 . 解析 4. 射影面积法。由解析3 知， pfc 为 pec在面 pdc 上的射影，由射影面积公式得2cos10，所求角为2arccos10b d p c a 解析二b d p c a 解析四e f g b d p c a 解析三e f g 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -解析 5. 在面 pdc 内，分别过d、b 作 de pc 于 e， bf pc 于 f，连接 ef即

12、可 . 利用平面知识求bf、ef、de 的长度，再利用空间余弦定理求出q 即可 . 思悟提炼：想一想求二面角都用了哪些方法：【例 4】由一点 s引不共面的三条射线sa、sb、sc，设asb= ， bsc= ， asc= ，其中， ， 均为锐角，则平面asb 平面 bsc 的充要条件是coscos =cos 证明：必要性如图(1)过点 a 作 adsb 于 d. 平面 asb 平面 bscad平面 bsc过 d 作 desc 于 e，连 ae，则 ae sc在 rtads 中， cos =sasd；在 rtdes 中， cos =sdse；(1) esdabcb d p c a 解析五精品学习资

13、料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -在 rtaes 中， cos =sase，由此可得coscos =sasdsdse=sase=cos 必要性得证充分性如图2，过点 a 作 aa1sb于 a1，过点 a1作 a1c1sc 于 c1. 在 rtaa1s中， cos =sasa1；在 rta1c1s中， cos =11sasc; cos =coscos =sasa111sasc=sasc1, sc1=sa cos 过 a 作 ac1sc，垂足为c1，在 rtac1s中， sc1=sacos 由此

14、得 sc1=sc1，即 c1与 c1重合，故sc ac1而 sc a1c1，且 ac1a1c1=c1，sc 平面 aa1c1， sc aa1又 sb aa1，sb sc=s，aa1平面 bsc，而 aa1平面 asb，平面 asb 平面 bsc充分性得证五提炼总结以为师1. 注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化和应用. 2求二面角的方法是：找（或作）平面角，用射影法: cos=侧底ss；用异面直线上两点间距离公式. 3作平面角的方法： （1）定义法（2）三垂线定理；（3）垂面法 . (2) c1c1 sa1 abc精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - -

15、 - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -同步练习9.4 二面角、面面垂直【选择题】1. p a 垂直于以ab 为直径的圆所在的平面，c 为圆上异于a、b 的任一点，则下列关系不正确的是 ( ) a pabcb acpbc pcbcd bc平面 pac2 在边长为a 的正三角形abc 中，adbc 于 d， 沿 ad 折成二面角badc 后，bc21a，且二面角bad c 的大小为（）a 30b.45 c 60 d 903在 1200的二面角l内，有一点 p 到面 、 的距离分别是6 和 9 ，则点p 到棱 l 的距离等于（）a3 7b. 21c. 221d.

16、12 【填空题】4. 设 a、b 是异面直线，、 是两个平面，且a，b，a，b，则当_（填上一种条件即可）时，有. 5(2005 浙江 ) 设 m、n 是直角梯形abcd 两腰的中点， deab 于 e( 如图 ) 现将ade 沿 de 折起，使二面角ade b 为 45 ，此时点a 在平面 bcde 内的射影恰为点 b，则 m、n 的连线与 ae 所成角的大小等于_6 一条直线与直二面角的两个面所成的角分别是 和 ， 则 的范围是 _答案提示： 1-3. bcb; 4.ab; 5. 90; 6.0，90 ；提示 :3. l平面 p ab 于 c, pc 是 pab 外接圆直径，用余、正弦定理

17、. 【解答题】7 在直三棱柱abc- a1b1c1中，底面三角形abc 为等腰直角三角形，且 abc=90，e 为 c1c 的中点，f是 bb1上是 bf=41bb1，ac=aa1=2a, 求平面 efa 与面 abc 所成角的大小答案：arctan218已知矩形abcd 中, ab=1, bc=a(a0), pa面 abcd, pa=1 （1）问 bc 边上是否存在一点q，使得 pqqd 并且说明理由（2）若 bc 边上有且只有一个点q 使得 pqqd，求这时二面角qpda 大小abcden精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共

18、 11 页 - - - - - - - - -解： （1） a=2时只有一点；a2 时有两点； a2 时没有点；（2）arctan59 （2004 天津）如图，在四棱锥pabcd 中，底面abcd 是正方形，侧棱pd底面 abcd，pd=dc，e 是 pc 的中点，作efpb 交 pb 于点 f. （）证明p a/ 平面 edb；（）证明pb平面 efd ；（）求二面角cpbd 的大小 . （1）证明：连结ac，ac 交 bd 于 o，连结 eo. 底面 abcd 是正方形，点 o 是 ac 的中点在pac中， eo 是中位线，p a / eo而eo平面 edb 且pa平面 edb，所以， p

19、a / 平面 edb（2）证明： pd 底面 abcd 且dc底面 abcd ，dcpd pd=dc，可知pdc是等腰直角三角形，而 de 是斜边 pc 的中线，pcde. 同样由 pd底面 abcd，得 pdbc. 底面 abcd 是正方形，有dcbc，bc平面 pdc . 而de平面 pdc，debc. 由和推得de平面 pbc. 而pb平面 pbc，pbdedbacp q精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - -又pbef且eefde，所以 pb平面 efd . （3）解：由（ 2）知，dfpb，故efd 是二面角cpbd 的平面角 . 由（ 2）知，dbpdefde,. 设正方形abcd 的边长为a，则abdadcpd2, abdpdpb322，adcpdpc222，apcde2221. 在pdbrt中，aaaapbbdpddf3632. 在efdrt中，233622sinaadfdeefd, 3efd，二面角cpbd 的大小为3. 10 （ 2005 福建 ) 如图，直二面角dabe 中，四边形abcd 是边长为2 的正方形， ae=eb，f 为 ce 上的点，且bf平面 ace. （）求证ae平面 bce；（）求二面角bace 的大小；