2022年数学分析教案(第一章)

1、学习必备欢迎下载第一章实数集与函数（ 12 学时）§实数教学目的 ：使同学把握实数的基本性质教学重点 ：（）懂得并娴熟运用实数的有序性、稠密性和封闭性；（）牢记并娴熟运用实数肯定值的有关性质以及几个常见的不等式（它们是分析论证的重要工具）教学难点 ：实数集的概念及其应用学时支配 : 2 学时教学方法 ：讲授（部分内容自学） 教学程序 ：引言上节课中，我们与大家共同探讨了分析这门旅程的争论对象、主要内容等话题从本节课开头， 我们就基本依据教材次序给大家介绍这门课程的主要内容第一， 从大家都较为熟识的实数和函数开头 问题 为什么从“实数”开头答：数学分析争论的基本对象是函数，但这里的“函

2、数”是定义在“实数集”上的（复变函数 争论的是定义在复数集上的函数）为此， 我们要先明白一下实数的有关性质一 实数及其性质有理数正分数,q 负分数,p p, q为整数且q 0 或有限小数和无限小数.、实数无理数: 用无限不循环小数表示 .rx | x为实数全体实数的集合 问题 有理数， 无理数的表示不统一， 这对统一争论实数是不利的为以下争论的需要，我们把“有限小数” （包括整数）也表示为“无限小数”为此作如下规定：对于正有限小数xa0a1an , 其中 0ai9,i1,2,n, an0,a0为非负整数 ，记xa0a1a1n9999；对于正整数xa0 ,就记 xa01.9999；对于负有限小数

3、（包括负整数） y ，就先将y 表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号0.0000例： 2.0012.000999932.99992.0012.00999932.9999利用上述规定， 任何实数都可用一个确定的无限小数来表示但新的问题 又显现了： 在此规定下，如何比较实数的大小？两实数大小的比较1） 定义给定两个非负实数xa0a1an， yb0b1bn.其中a0 , b0 为非负整数，ak , bk k1,2,为整数， 0ak9,0b k9 如有 akb k ,k1,2,，就称 x 与 y 相等，记为 xy ；如 a0b0 或存在非负整数 l ，使得 akbk , k1,2, l ，而al

4、1bl 1，就称 x 大于 y 或 y 小于 x ，分别记为 xy 或 yx 对于负实数 x 、 y ，如按上述规定分别有xy 或 xy ，就分别称为xy 与 xy （或 yx ）规定 ：任何非负实数大于任何负实数2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）定义 （ 不足近似与过剩近似 ）： xa0a1an为非负实数， 称有理数xa0a1an为 实 数 x 的 n 位 不 足 近 似 ；xnxn110n称 为 实 数 x 的 n 位 过 剩 近 似 ； 对 于 实 数xa aa1xa0a1an， 其 n 位 不 足 近 似n0 1n10n； n 位 过 剩 近 似xna0a1an.注：

5、实数 x 的不足近似xn 当 n增大时不减， 即有 x0x1x2x; 过剩近似xn 当 n增大时不增，即有x0x1xx 命题 ：记xa0a1an， yb0b1bn为两个实数，就 xy 的等价条件是：存在非负整数 n，使 xnyn （其中xn 为 x的 n 位不足近似，yn 为 y 的 n 位过剩近似） 命题应用 例例 设 x, y为实数， xy ，证明存在有理数r ，满意 xry 证由 xy ，知：存在非负整数n，使得 xn为有理数，且yn 令r1xynn2，就 rxxnryny 即 xry 实数常用性质（详见附录 ）封闭性 （实数集对, ,）四就运算是封闭的即任意两个实数的和、差、积、商（除

6、数不为）仍是实数有序性 ：任意两个实数a, b 必满意以下关系之一：ab, ab, ab 传递性 ； ab,bcac 阿基米德性 ：a,br, ba0nn 使得 nab 例设稠密性 ：两个不等的实数之间总有另一个实数 实数集与数轴上的点有着一一对应关系a,br ，证明：如对任何正数，有 ab，就 ab （提示：反证法利用“有序性”，取ab ）二 、肯定值与不等式（分析论证的基本工具） 肯定值的定义| a |a,a0实数 a 的肯定值的定义为aa0 几何意义：从数轴看，数a 的肯定值 | a | 就是点 a 到原点的距离熟识到这一点特别有用，与此相应， | xa | 表示就是数轴上点x 与 a

7、之间的距离 性质） | a | |a |0;| a |0a0 （非负性）；）| a |a| a |；） | a |hhah ， | a |hhah. h0 ；）对任何a,br 有 | a | b | | ab | | a | b |（三角不等式） ；a） | ab | | a | |b | ；） b练习 | a | b | （ b0 ）课堂小结 ：实数：一 实数及其性质二 肯定值与不等式 .§数集和确界原理教学目的 ：使同学把握确界原理，建立起实数确界的清楚概念；教学要求：（）把握邻域的概念；（ 2）懂得实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用；教学重点 ：确界的

8、概念及其有关性质（确界原理）；教学难点 ：确界的定义及其应用；学时支配 : 4 学时教学方法 ：讲授为主教学程序 ：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习成效，此后导入新课；引言上节课中我们对数学分析争论的关键问题作了简要争论；此后又让大家自学了第一章§ 实数的相关内容；下面，我们先来检验一下自学的成效如何！证明： 对任何 xr 有（）| x1| x2 |1 ；（）| x1| x2 | x3|2 .证明： | x |y | xy | .设a,br ，证明：如对任何正数有 ab，就 ab .设x, yr, xy ，证明：存在有理数r 满意 yrx .引申 ：由题可联想到什么样的结论

9、呢？这样摸索是做科研时的常常的思路之一；而不要做完就完了！ 而要多想想， 能否详细问题引出一般的结论：一般的方法？由上述几个小题可以体会出“高校数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象； 课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深懂得， 语言应用； 提请留意这种差别，尽快把握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）；本节主要内容 ： 先定义实数集中的两类主要的数集区间邻域；争论有界集与无界集；由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）；一 区间与邻域区间（用来表示变量的变化范畴）设 a, br 且 ab ；开区间:xr| axba, b有限区间闭区间:x

10、r | axb a, b.半开半闭区间闭开区间: xr | axba,b开闭区间:区间xr| axba,bxr| xa a,.xr| xa, a.无限区间xxr| xr| xaaa,., a.邻域xr|xr.联想：“邻居”；字面意思： “邻近的区域” ；（看左图）；与 a 邻近的“区域”许多， 究竟哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于 a 的对称区间” ；如何用数学语言来表达呢？（） a 的邻域 ：设ar,0 ，满意不等式 | xa |的全体实数 x 的集合称为点 a 的邻域，记作u a;，或简记为u a ，即u a;（） 点 a 的空心邻域x | xa |a, a .u o a;x 0

11、| xa |a, a a, au o a.（） a 的右邻域和点 a 的空心右邻域u a; a, au ax axa;u 0 a;a, au 0 ax axa.（） 点 a 的左邻域和点 a 的空心左邻域ua; a, au ax axa ;u 0 a;a, au 0 ax axa .（）邻域，邻域，邻域u x | x |m,（ 其 中 为充 分 大 的 正 数 ） ；u x xm, u x xm二 有界集与无界集什么是“界”？定义 （ 上、下界 ）： 设 s 为 r 中的一个数集； 如存在数m l ，使得一切 xs都有 xm xl ，就称为 有上（下）界的数集 ；数m l称为的 上界（下界）

12、；如数集既有上界，又有下界，就称为有界集 ；如数集不是有界集，就称为无界集；注：）上（下）界如存在，不唯独；）上（下）界与的关系如何？看下例：例 1争论数集nn | n为正整数 的有界性；分析：有界或无界上界、下界？下界明显有，如取要证明；l1 ；上界好像无，但需解：任取 n0n ，明显有n01 ，所以 n 有下界；但 n 无上界；证明如下：假设 n 有上界 m,就 m>0，按定义，对任意 n0n ，都有 n0m ，这是不行能的，如取 n0 m 1,就 n0n ，且 n0m .综上所述知：n 是有下界无上界的数集，因而是无界集；例 2证明：（）任何有限区间都是有界集；（）无限区间都是无界

13、集； （） 由有限个数组成的数集是有界集； 问题 ：如数集有上界，上界是唯独的吗？对下界呢？ 答：不唯独，有无穷多个 ；三 确界与确界原理、定义定义 （上确界 ） 设是中的一个数集，如数满意： 1 对一切xs, 有 x（即 是的上界） ; 2对任何，存在 x0s ，使得 x0（即是的上界中最小的一个），就称数为数集的 上确界 ，记作sup s.定义（下确界 ）设是中的一个数集，如数满意：（）对一切xs, 有 x（即 是的下界） ；（）对任何，存在 x0s ，使得 x0（即是的下界中最大的一个），就称数为数集的 下确界 ，记作inf s .上确界与下确界统称为确界；教学目的 ：使同学深刻懂得函数

14、概念；§ 函数概念教学要求 ：（）深刻懂得函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟识函数 的各种表示方法； （）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象；会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系；教学重点 ：函数的概念；教学难点 ：初等函数复合关系的分析；学时支配 : 2 学时教学方法 ：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学；教学程序 ：引言：关于函数概念，在中学数学中已有了初步的明白；为便于今后的学习，本节将对此作进一步争论；一 函数的定义 定义设d, mr ，假如存在对应法就f ，使对xd ，存在唯独的一个数ym 与之对应，就称f 是定义在数集上的函数，记作f :

15、 dm x |y .函数 f 在点 x的函数值，记为f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域 ，记作f d ；即 几点说明f dy | yfx, xd ；（ 1）函数定义的记号中 “f : dm ”表示按法就 f 建立到的函数关系，x |y表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作量；x |f x ；习惯上称 x 自变量， y 为因变（ 2） 函数有三个要素，即定义域、对应法就和值域；当对应法就和定义域确定后，值域便自然确定下来； 因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法就；所以函数也常表示为： yf(x) , xd . 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法就；例如：

16、 1） 同）f x1, xr,g x1, xr0 . （不相同，对应法就相同，定义域不2） x| x |, xr,xx2 , xr.（相同，对应法就的表达形式不同）；（ 3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）；此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法就f 来表示一个函数；即“函数yf x ”或“函数 f ”；（ 4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于ad ，f a 称为映射 f 下 a的象； a称为f a 的原象；（ 5）函数定义中， x d ，只能有唯独的一个 y 值与它对应，这样定义的函数称为“

17、单值函数” ，如对同一个 x 值，可以对应多于一个 y 值，就称这种函数为多值函数；本书中只争论单值函数（简称函数） ；（）定义中的定义是 cauchy 于 1834 年给出；不是完善的、现代意义上的函数定义；事实上，函数定义的产生也经受了一个从无到有，从详细到抽象；从特殊到一般，从不完善到逐步完善的过程；这个进程中布满了斗争；历史上，原始的“函数观念”相伴着数学的显现而产生，经过近两个世纪，明确提出“函数”一词，并将其作为数学概念争论，就在世纪以后，现代函数定义是在年，就库拉托夫斯基给出；定义如下：设 f 是一个序偶集合，如当x, yf 时， yz，就 f 称为一个函数 ；（朱家麟 浅谈函数

18、概念的历史演讲 ，河北师范高校学报 ，1990 年第期）二 函数的表示方法1 主要方法 ：解析法（分式法） 、列表法和图象法；2 可用“特殊方法”来表示的函数；（）分段函数 ：在定义域的不同部分用不同的公式来表示；例如s g xn1 x, 0x0 ,01 ,x，0（符号函数）（借助于 sgnx 可表示f x| x |, 即f x| x |x sgn x ）；（） 用语言表达的函数 ；（留意；以下函数不是分段函数）例） y x （取整函数）1,当x为有理数,d x）0,当x为无理数,（ irichlet ）1 ,当xp p, qn, p 为假分数 ,r xqqq）三 函数的四就运算0,当x0,1

19、和0,1内的无理数.（ riemman 函数）给定两个函数f , xd1, g, xd2 ，记dd1d2 ，并设 d，定义 f 与 g 在上的和、差、积运算如下：f xf xg x, xd ； g xf xg x, xd ；h xf x gx, xd .如在中除去使g x0 的值， 即令ddx g x0, xd2，可在 d 上定l xf x , xd义 f 与 g 的商运算如下；g x.注：）如d d1d2，就 f 与 g 不能进行四就运算；）为表达便利，函数ff 与 g 的和、差、积、商常分别写为：四 复合运算引言fg,fg,fg,g .在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才

20、建立起它们之间的对应关系；例：质量为 m 的物体自由下落，速度为v，就功率为e1 mv22vgte1 mg2t22.抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数即得f v1 mv2 , vgt2 ，把vt 代入 f ，f vt 1 mg2t 22.这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”；问题 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；yf uarcsinu, ud1,1,ug x2x2 , xer.就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义） ；2 定 义 （ 复 合 函 数 ）设 有 两 个 函 数yf u , u

21、d, ug x, xe ， 记e x fxde ，如 e，就对每一个 xe ，通过 g 对应内唯独一个值u ，而 u 又通过 f 对应唯独一个值y ，这就确定了一个定义在e 上的函数， 它以 x 为自变量， y因变量， 记作yf g x,xe 或 y fg x, xe ；简记为 fg ；称为函数 f 和 g的复合函数 ，并称 f 为外函数 ， g 为内函数 ， u 为中间变量 ；3. 例子例 1争论函数复合，求复合函数；4说明yf uu , u0, 与函数ugx1x2 , xr 能否进行）复合函数可由多个函数相继复合而成；每次复合， 都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什

22、么？例如： ysin u,uv,v1x2 ，复合成： ysin1x2 , x1,1.）不仅要会复合，更要会分解；把一个函数分解成如干个简洁函数，在分解时也要留意定义域的变化； ylog a1x2 , x0,1ylog a u,uz, z1x2 .22 yarcsinx1yarcsinu,ux1.sin 2 xu2 y2五、反函数y2 , uv , vsin x.引言 在函数yf x 中把 x叫做自变量， y 叫做因变量； 但需要指出的是， 自变量与因变量的位置并不是肯定的，而是相对的， 例如： 来讲是自变量，但对t 来讲， u 是因变量；f uu , ut 21, 那么 u 对于 f习惯上说函

23、数yf x 中 x 是自变量， y 是因变量， 是基于 y 随 x 的变化现时变化；但有时我们不公要争论y 随 x 的变化状况，也要争论x随 y 的变化的状况；对此，我们引入反函数的概念；反函数概念设函数yf x, xd ；满意：对于值域f d中的每一个值 y ，中有且只有一个值 x ，使得f xy ，就按此对应法就得到一个定义在f d 上的函数，称这个函数为 f 的反函数 ，记作注释f 1 :f dd, y |x 或 xf1 y, yf(d) .a) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f 有反函数，意味着f 是与 f d之间的一个一一映射，称f 1为映射 f 的逆映射，它把f d

24、 d ；b) 函数f与f 1互为反函数，并有: f1 f xx, xd,f f1 xy, yf d.c) 在反函数的表示xf 1 y, yf d 中，是以 y 为自变量， x 为因变量；如按f1习惯做法用 x 做为自变量的记号，y 作为因变量的记号，就函数f 的反函数可以改写为1yf x, xf d .应当留意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，由于其定义域和对应法就相同， 仅是所用变量的记号不同而已；但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别；六 初等函数1. 基本初等函数（类）常量函数yc （为常数） ；幂函数yx r ；指数函数yax a0, a1；对数函数yl oag xa0a, ；

25、三角函数ys i nx,yc ox s y ,t g x, y；t g x反三角函数ya r c s xi ny,a rx cyc o asr ,c t g x；ya r c c t g x注：幂函数yx r 和指数函数yax a0,a1都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义；下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质；定义 给定实数 a0, a1，设 x 为无理数，我们规定：supaxr xar | r为有理数,当a1时,infr<xar | r为有理数,当0a1时.问题 ：这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确

26、界是否存在呢？” 初等函数定义 由基本初等函数 经过在 有限次四就运算 与复合运算 所得到的函数， 统称为 初等函数y2sin xcos2x, y1sin, yl o ga xesin x 21 , y| x |.如：xx不是初等函数的函数，称为非初等函数 ；如 dirichlet 函数、 riemann 函数、取整函数等都是非初等函数；注：初等函数是本课程争论的主要对象；为此，除对基本初等函数的图象与性质应娴熟把握外，仍应常握确定初等函数的定义域；确定定义域时应留意两点；例 求以下函数的定义域；（）yxx1 ；（）yln |sinx |.§4 具有某些特性的函数教学目的与要求1.

27、懂得函数的有界性、单调性、 奇偶性、 周期性 .并利用定义证明函数是否具有有界性、单调性、奇偶性、周期性.2. 把握有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的图形特点，并加以合理地应用 .教学重点 : 有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的概念 . 教学难点 : 有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的概念 . 学时支配 : 2 学时教学方法 ：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学；教学程序 ：一有界函数定义 1设 f 为定义在 d 上的函数如存在数ml ，使得对每一个 xd 有f xm f xl ，就称 f 为 d 上的 有上 下 界函数 ， ml 称为 f 在 d 上的一个

28、 上下界依据定义， f 在 d 上有上 下界，意味着值域 f d 是一个有上 下界的数集 又如 ml为 f 在 d 上的上 下界，就任何大于 小于 ml 的数也是f 在 d 上的上 下界定义 2设 f 为定义在 d 上的函数如存在正数m ，使得对每一个 xd 有就称 f 为 d 上的 有界函数 f xm ，1依据定义，f 在 d 上有界，意味着值域f d是一个有界集又按定义不难验证：f在 d 上有界的充要条件是f 在 d 上既有上界又有下界1式的几何意义是：如f 为 d 上的有界函数，就f 的图象完全落在直线ym 与 ym 之间例如，正弦函数sinx 和余弦函数cosx 为 r 上的有界函数，

29、由于对每一个xr 都有sin x1和 cosx1 .关于函数 f 在数集 d 上无上界、无下界或无界的定义，可按上述相应定义.的否定说法来表达例如，设f 为定义在 d 上的函数，如对任何m 无论 m 多大 ，都存在xd ，使得f x0 m ，就称 f 为 d 上的无上界函数 f x1例 1 证明x为 0,1 上的无上界函数.证 对任何正数 m ，取0,1 上一点x10m1 ，就有1f x0 m1x0m .故按上述定义，f 为 0,1 上的无上界函数前面已经指出， f 在其定义域 d 上有上界， 是指值域 f d 为有上界的数集 于是由确界原理，数集f dfsupf xf 在有上确界通常，我们把

30、d 的上确界记为 x d，并称之为d 上的上确界类似地，如f 在其定义域 d 上有下界，就 f 在 d 上的下确界记为inff xx d例 2设 f ， g 为 d 上的有界函数 .证明：inff xinf g xinf f xg x(i) x dx dx d；supf xg xsup f xsup g x(ii) x dx dx d证i 对任何 xd 有inff xf x, infg xg xinff xinf g xf xgxx dx dx dx d上式说明，数inff xinfg xf是函数g 在 d 上的一个下界，从而xdxdinff xinf g xinf f xg xx dx dx

31、 dii 可类似地证明 略注例 2 中的两个不等式，其严格的不等号有可能成立例如，设f xx, g xx, x1,1 ，inff xinfg x1, sup fxsupg x1,而就有 |x| 1|x| 1|x| 1|x| 1inf f xgxsupf xg x0.|x| 1|x| 1二单调函数定义 3设 f 为定义在 d 上的函数如对任何x1, x2d ,当x1x2 时，总 有（ i）f x1 f x2 , 就称 f 为 d 上的增函数 ，特殊当成立严格不等式f x1 f x2 时，称 f 为 d 上的严格增函数 ；iif x1 f x2，就称 f 为 d 上的 减函数 ，特殊当成立严格不等

32、式f x1f x2 时，称 f 为 d 上的严格减函数 ；3增函数和减函数统称为单调函数 ，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数 例3函数 yx 在 r 上是严格增的由于对任何，x1, x2r,当 x1x2 时总有3即 x13x2 .33xxx212x1 x2x1 223 x 2 014，例4函 数 y x在 r上 是 增 的 因 为 对 任 何x1x2r ，当x1x2 时,明显有 x1 1x2 但此函数在 rx1上不是严格增的， 如取0, x22 ，就有 x1 =x2 0，即定义中所要求的严格不等式不成立此函数的图象如图1 3 所示严格单调函数的图象与任一平行于x 轴的直线至多有一个交点

33、， 这一特性保证了它必定具有反f函数定理 12设 yf x, xd 为严格增 减 函数， 就 f 必有反函数1 ，且 f1 在其定义域f d上也是严格增 减 函数证设 f 在 d 上严格增对任一yf d ，有xd 使f xy 下面证明这样的 x 只能有一个事实上，对于d 内任一 x1x ，由 f 在 d 上的严格增性，当x1x2 时f x1y ，当 x1x 时有f x1 y ，总之f x1 y 这就说明，对每一个yf d ，都只存在唯独的一个11xd ，使得f xy ，从而函数 f 存在反函数 xf1 y ，yf d现证 f1也是严格增的 任取y1, y2f d ，y1y2 ·设 x1f y1, x2f y2 ，1就 y1f x1, y2f x2 由 y1y2 及 f的 严 格 增 性 ， 显 然 有x1x2 ， 即1f 1 y f y2 所以反函数12f是严格增的例 5函数 yx 在 ， 0 上是严格减的，有反函数 按习惯记法