2022年数值计算答案-石瑞民

1、优秀资料欢迎下载！习题一1、取3.14,3.15， 22 ，7355 作为的近似值，求各自的肯定误差，相113对误差和有效数字的位数；解： x13.14x110 21101 3122所以， x1有三位有效数字肯定误差： e%0.14 ，相对误差： er3.14肯定误差限：11022 ，相对误差限：110 3 1r23110 26x23.153.150.008401740.8407410 20.510 10.5101 2所以， x2 有两位有效数字肯定误差： e%0.15 ，相对误差： er3.15肯定误差限：11021 ，相对误差限：110 1r622x27220.001264570.1264

2、510 20.510 20.5101 3所以，x3有三位有效数字22肯定误差： e22 ，相对误差： e7rr7肯定误差限：11022 ，相对误差限：110 261x3551133551130.000000320.3210 60.510 60.5101 7所以，x4 有七位有效数字355肯定误差： e355 ，相对误差： er113113肯定误差限：110 6 ，相对误差限：r2110 663、以下各数都是对精确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的肯定误差限和相对误差限，有效数字的位数；x10.0315, x20.3015, x331.50, x45000解： x10.0315m=-11

3、x*x110 42110 1 32所以， n=3， x1有三位有效数字肯定误差限：11024 ，相对误差：110 n 12a1 10 26rx20.3015m=02x*x110 421100 42所以， n=4， x1有四位有效数字肯定误差限：11024 ，相对误差：110 n 12a1 10 36rx331.50m=23x*x110 221102 42所以， n=4， x1有四位有效数字肯定误差限：11022 ，相对误差：110 n 12a1 10 36rx45000m=44x*x11002110 4 42所以， n=4， x1有四位有效数字肯定误差限：110020.5 ，相对误差：r110

4、 n 12a110 32510 24、运算10 的近似值，使其相对误差不超过0.1% ；解：设取 n 位有效数字，由定理1.1 知，r110 n 12 a由10100 .3162 ，所以， a13由题意，应使 16所以， n=4，10 n 10.1% ，即 1010 n610 3即10 的近似值取 4 位有效数字近似值 x3.1626 、 在 机 器 数 系 下f 10,8, l,u 中 取 三 个 数 x0.2337125810 4 ，y0.33678429102 ， z0.33677811102 ，试按 xy) z 和 x yz) 两种算法运算 xyz 的值，并将结果与精确结果比较； xy

5、z4 0.23371258100.336784292210 20.336778111022解： 0.000000233712580.3367845237 12581010 20.336784290.3367781110 10 20.33677811100.3367845210 20.3367781110 20.0000064110 20.64100000103x yz0.2337125810 40.336784291020.3367781110 2 0.2337125810 40.6180000000 010 30.0233712580.6413712580.6413712610 310 31

6、0 30.6180000000 010 3xyz0.2337125810 40.336784291020.336778111020.000000233712581020.336784291020.336778111020.000006413712581020.6413712610 3所以， x yz 比 xy) z 精确，且 x yz) 与 xyz 相同；因此，在做三个以上的数相加时，需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近；8、对于有效数x13.105 ， x20.001 ， x30.100 ，估量以下算式的相对误差限； y1x1x2x3 ， y1x1xx2，2 x3y3x3解： x13.10

7、5 ， m=1;*xx1所以110 31221 x1 210 1 4103同理 x2 110 32 x3 110 321e x 110 3e x e x1110 32或 x 110 3r12x13.1025r12313ex2 110 3er x1 e x2 102或r x2 110 02x20.00121133ex 10e x ex3 110 32或13 x 10r32x30.100r321er x1x2x3 e x1 x1x2x3x2x3e x13x1e x2x2e x3 x3所以，er y1er x1x2x30.4997510er y2 er x1 x2 x3 er x1x2 er x3

8、er x1 er x2 er x3 所以，er y2 0.50516er y3 e x2 rx3er x2 er x3 所以，er y3 0.505综合得：r y10.4997510 3 ，r y2 0.50516 ，r y30.5059、试转变以下表达式，使其结果比较精确（其中x1表示 x 充分接近 0， x1表示 x 充分大）；（ 1） lnx1ln x2 ，x1x2（ 2）（ 3）111x11xxx ， x1xx1 ， x1x（ 4） 1cos x ， xx0且 x1（ 5） 1xcot x ， x0且 x1答案：（1） lnx1 ；（3）2，x2x3xx3x（ 4） 法一：用 1cos

9、 x1 x2 得出结果为： 1 x22法二： 1cos x1cos xsin x1cos xxxxsin x1cos xsin xsin xsin x x0sin x1cos x或1cosxsin x2sin 2 x2xxtan x22 sin cos 2212、试给出一种运算积分i ne 1 1 xn ex dx 近似值的稳固性递推算法0解：明显，in>0,n=1,2, 当 n=1 时，得， i11 xex 1dx10e当 n2时，由分部积分可得：1ni nx0x 1edx1ni n1 ，n=2,3, 另外，仍有： i n1nx 1x edx01n1x dx0n1由递推关系 in=1-

10、nin-1 ，可得运算积分序列 i n 的两种算法： i n i1ni n1i n1n=2,3 n2,3,.，n 1n下面比较两种算法的稳固性如已知 i n 1 的一个近似值 i n 1 ，就实际算得的i n 的近似值为i n1n i n 1所以， i ni nn i n 1i n 1 i ni nn i n 1i n 1由此可以看出步放大i n 1的误差放大n 倍传到了i n ，误差传播速度逐由 i n 运算 i n 1i n 11i nnnn , n1,1如已知i n 的一个近似值是i n ，就实际运算的i n 1 的近似值为1i ni n 1n1所以，i n 1i n 1i nn1i n

11、 i n 1i n 1i ni nn0由此可以看出步衰减；i n 的误差将缩小n 倍传到了i n ，误差传播速度逐综上可看出，运算积分i ne 11 x n ex dx 的一种稳固性算法为i n 11i nnnn , n1, n2,1.习题二1、利用二分法求方程x32 x24s70 3 ， 4 内的根，精确到10 3 ，1即误差不超过 210 3；解：令f xx32x 24 x7f 3100 ，f 4090 ，说明在 3， 4内有根，利用二分法运算步骤得出 x103.632324219 ，x113.6321835938b11a11x11x100.488218110 311023 满意精度要求x

12、x11所以，*3.6321 ，共用二分法迭代11 次；2、证明 1xsin x0 在0,1 内有一个根，使用二分法求误差不大于110 4 的根；2证明：令f x1xsin xf 010; f1sin10 ，所以，f 0f 10由零点定理知，f x在0,1 内有一根xx15依据运算得出：*0.98283 ，此时共迭代15 次；4、将一元非线性方程2 cos xex0 写成收敛的迭代公式，并求其在2x00.5 邻近的根，精确到 10；解：令f x2 cos xex令 f x =0，得到两种迭代格式ex1arccos22ln 2 cos x xe，不满意收敛定理；2xex2 12 x2sin x 2

13、cosxtan x2 x0 2 0.50.0087271 ，满意收敛定理由方程写出收敛的迭代公式为xk 1ln 2 cos xk 取初值为x00.5 ，得出近似根为：x*x0.693074175、为方程x3x 210 在 x01.5 邻近的一个根，设方程改写为以下等价形式，并建立相应的迭代公式：（ 1） x11 ，迭代公式x21x；xk 112k（2） ） x3x 21 ，迭代公式xk 12xk1 1/ 3（ 3） x21，迭代公式x1xk 1 xk111/ 2解：（ 1）利用局部收敛定理判定收敛性，判定初值x01.5 邻近的局部收敛（2） ）局部收敛（3） ）不满意局部收敛条件2但由于1 x

14、.2 x，所以1 x 比2 x 收敛的慢9取其次种迭代格式xk 1xk11 / 3取初值 x01.5 ，迭代 9 次得x*x1.4667、用牛顿法求解x33x10 在初始值 x02 接近的一个正根，要求xk 1xk10 3 ；2解：令f xx33x1由牛顿迭代法知：迭代结果为：xk 1xkf xk f xk 3xk1323 xk1k0123xk21.881.879458891.87939满意了精度要求，x*x1.8793938、用牛顿法解方程1cx0 ，导出运算c 的倒数而不用除法的一种简洁迭代公式， 用此公式求 0.324 的倒数， 设初始值 x0结果有 5 位有效数字；3 ，要求运算解：

15、f x10.325xf x1 ，由牛顿迭代公式xxf xk x 2迭代结果为：k 1kf xk k0123xk33.0843.0864183.086420满意精度要求3x*x3.0864所以， 0.324 的倒数为 3.086411、用快速弦截法求方程x33x10 在 x02 邻近的实根，（取x1=1.9，要求精度到 10 3 ）；解： f xx33x1 ，迭代结果：k01234xk21.91.8810941.879411601.87939满意精度要求4x*x1.87939x12、分别用以下方式求方程4 cos xe在x0邻近的根，要求有三位4有效数字（1） ）用牛顿法，取x04（2） ）用弦

16、截法，取x0x142（3） ）用快速弦截法，取x0x142解：求出的解分别为：x10.905x20.905 x30.905习题三1、用高斯消元法解以下方程组（ 1 ）11x12 x14 x1 x13x2x22 x22 x22 x33 x315x3473（ 2 ）23x111x2x30x12 x22 x31解：（1）等价的三角形方程组为4x12x25x34x192x20.5x31 ，回代求解为x2137 x2184x36（ 2）等价的三角形方程组为x4123x111x2x301193x5722347x3231，回代求解为106x2193x19335722357x22331932011111001

17、2、将矩阵 a作 lu 分解；解： l20001110200111100001112010 , u00515557910x1168109x21001100063、用 lu 紧凑格式分解法解方程组710857610006 / 51005797x315x411010003 / 5100解： l， u02 / 54 / 5311 / 57 / 511 / 202012517 / 201 /10y, x.1 / 253 / 103x 12 x 22 x 314、用列主元的三角分解法求解l 方程组3 x12 x 1x 23 x 24 x 372 x 30解： a1l2 / 31 / 3122131472

18、320003147210,u07 / 314 / 3,y14 / 3, x17 / 5000421 / 2追赶法000解三1角方程组axb，其中1000210, b0 .121001205、用2112a010010解： l111/ 212 / 35 / 613/ 4， u14 / 51213 / 214 / 315/ 416 / 51/ 2y1/ 3 ， x 1/ 41/ 52 / 31 / 21/ 31/ 64 x12 x24 x3106用改进的 cholesky分解法解方程组10042解： l1 / 210， u01611 / 21004812 x1 4 x1， y17 x210 x210

19、8110x339 x372，x117、用改进的 cholesky分解法解方程组4110x171310x281152x340024x4641011/4- 10- 3/407125/42解： u， y， x0050/11000278/25- 6/111156/2528、设 x1,n2,3t ,求x 1 ,x 2 和 x；解： x 1x6i 12nx 2x14i1xmax x31109、设 a22- 3,求a 1 ,a2 和 a541解：a18 ，a10 ，a2 at at 7.1417110110、设 a22- 3， x3，运算 x， a及ax，并比较ax5412和 xa的大小；解： x3 ， a

20、=10， ax=911、给定方程122x112111x20221x310（1） ）写出 jacobi和 gauss-seidel迭代格式；（2） ）证明 jacobi迭代法收敛而gauss-seidel迭代法发散；（ 3 ） 给 定x 0 0,0,0 t， 用迭 代 法 求 出 该方 程 的 解 ， 精 确 到x k 1x k110 3 ；2解：x1（ 1）jacobi 迭代公式x2x3x1 2 x12x22 x22 x312x310gauss-seidel迭代公式k 1x1k 1x2k2x2 k2x2k 3x312 kx312 k 1xn8x2 k6 x3k 38（ 3）用 jacobi迭代

21、得， x *x 412,46,58 t13、已知5x1 x1x1x2 10x2x2x3x4 x3x45x3x4412 ，考察 jacobi迭代格式和 gauss-seidel8x1x2x3 z10x434迭代格式的收敛性；14、方程组 axb ，其中a1a4a1a0a0， x, br31利用迭代收敛的充分必要条件确定使jacobi 迭代法和gauss-seidel迭代法均收敛的a 的取值范畴；解:jacobi迭代矩阵为 bj0aa4 a00a00当bj1 得，a55gauss-seidel迭代矩阵为： bj0aa2204 a4 a220aa当bs1 得， a55430x12415、设方程组34

22、1x230分别用gauss-seidel 迭代法和014x324w=1.25 的 sor 法求解此方程， 精确到 4 位有效数字（取解： gauss-seidel迭代法共迭代 17 次，此时近似解为x 01,1,1t ）x*x 173.000,4.000,5.000tsor 法 w=1.25 时，迭代 11 次，此时的近似解为x*x 113.000,4.000,5.000 t16、用 sor 方法解方程组 （分别取放松因子w=1.03，w=1， w=1.1）4 x1x1x24 x23x314精确解 x*1 / 2,1,1 / 2，要求当x*x k 510 6x24 x33时，终止迭代，并且对每

23、一个w 值确定迭代次数；解：当 w=1.03 时，迭代 5 次， x*5x0.5,1,t0.5当 w=1 时，迭代 6 次， x*6x0.5,1,t0.5当 w=1.1 时，迭代 6 次， x*x 60.5,1,0.5t习题四1、设 x0误差；0, x11 ，写出f xe x 的一次插值多项式l1 x ，并估量插值解： l1xy0y1y0 xx1x0x0 111 xe| r x |mxx xx ，其中 mmaxfx11| r1 x |21 x20x0 x11x1 8x0 x x12、给定函数表fxi-0.10.30.71.10.9950.9950.7650.454 xi 选用合适的三次插值多项

24、式来近似运算f 0.2和f0.8 ；解：、求f 0.2 ，选用插值节点为x0-0.1 ，x10.3 ，x20.7 ，用 lagrange插值多项式为：l2 x xx0x1 xx1 x0x2 y0x2 x x1x0 xx0 x1x2y1x2 x x2x0 xx0 x2x1y2x1 解得 f -0.1l 2 -0.10.979、求f 0.8 ，选用插值节点x00.3 ， x10.7 ， x21.1 ，l2 x xx0x1 xx1 x0x2 y0x2 x x1x0 xx0 x1x2y1x2 x x2x0 xx0 x2x1y2x1 解得：f 0.8l 2 0.80.69754、给定数据（f xx ）2

25、.02.12.22.41.142141.4491381.483201.54917xif xi （1） ）试用线性插值运算f 2.3的近似值，并估量误差；（2） ）试用二次 newton 插值多项式运算f 2.15 的近似值，并估量误差；解：（1）取 x02.2 ， x12.4l1 xy0y1y0 xx1x0x0 0.32995 x0.75731f 2.3l1 2.31.516195| r x |m xx xx ， mmaxfx0.07661| r1 2.3 |20.0766202.312.2 xx 02.4x x10.0003831（ 2）写出二次 newton 插值差商表xif xi 一阶差

26、商二阶差商2.01.142142.11.4491380.349242.21.483200.34062-0.0431n 2 xf 2.151.414214n 2 2.150.34924 x21.46630.0431 x2 x2.1r2 2.150.0000041435、给出函数值x01234y01646880试求各阶差商，并写出newton 插值多项式和差值余项；解：xiy一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商00116246388401630721-3-5/2-88-109/3-25/2-7/6n 4 x16x7 xx15 / 2 x x1 x27 / 6 x x1 x2 x4r4 xf x f 6

27、 n 4 xf x0 , x1, x2, x3 , x4 , xw5 xx0 x6.1 x2 x4 x56、给定数据表0.1250.250.3750.5000.6250.7500.796180.773340.743710.704130.656320.60228xf x试用三次牛顿差分插值公式运算解：f 0.158 和f 0.636 ；、求f 0.158 ，取x00.125 ， x10.25 ， x20.375, x30.500 ，h=0.125差分表为xif xi 一阶差分二阶差分三阶差分0.1250.796180.250.77334-0.022840.3750.74371-0.02963-0

28、.006790.50.70413-0.03958-0.00995-0.00316由公式f ikf x , x, x,xii 1i 2i kk. hk由牛顿插值公式有f 0.158n 3 0.1580.79061、求f 0.636 ，取 x00.375， x10.500 ，x20.625, x30.750 ，h=0.125xif xi 一阶差分二阶差分三阶差分0.3750.743710.50.704130.6250.656320.750.60228-0.03958-0.04781-0.00823-0.05404-0.006230.002求解得f 0.636n 3 0.6360.651799、给出

29、 sinx 在0,pi 的等距节点函数表， 用线性插值运算sinx 的近似值，使其截断误差为12要求？解：设插值节点为xi10 4 ，问该函数表的步长h 应取多少才能满意ih ，（ i=0,1 h）, h2n22由 rn xhf xhm 82fx=sinx， f xsinx，所以f x1，即 m21所以 h0.02步长 h 应取为 0.02 才能满意要求；14、已知试验数据如下xi1925313844yi19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如y解：设拟合多项式为yabx 2 的体会公式，并运算均方差；abx 2 ，就正规方程组为s0s1s1s2s2s3s2at0s30t1s

30、4bt251575327a271.4即：157532719233109776.153271923317277699b369321.5a0.968b0.05所以，体会公式为：y均方误差为 0.0030190.96820.05x15、观测物体的直线运动，得出以下数据时间 ts00.91.93.03.95.0距离sm010305080110求运动方程；解：设拟合多项式为yabxcx2 ，就正规方程组为s0s1s1s2s2s3s2at0s30t1s4bt2614.753.63a280即：14 .753.63218.907b107853.63218.90795103023c4533.2a=-0.5834，b=11.0814，c=2.2488所以拟合多项式为y0.583411.0814 x2.2488x 2 ；