数学复习全书(理工类)一(共26页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章 行列式一、本章知识串讲行列式的重点是计算，应当在理解阶行列式的概念、掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶行列式，也要会计算简单的阶行列式的值.计算行列式的基本方法是：按行（列）展开公式，通过降阶来实现，但在展开之前往往先通过对行列式的恒等变形，以期新的行列式中能构造出较多的零或有公因式，从而可简化计算.行列式计算的常用技巧有：三角化法，递推法，数学归纳法，公式法等.行列式在线性代数中有较多的应用.例如：（1）当=0时，齐次方程组有非零解，而非齐次方程组不是唯一解（可能无解，亦可能有无穷多解）.而当时，由克莱姆法则，可求出的唯一解. （2）可证明矩阵

2、可逆，并由伴随矩阵求出. （3）对个维向量可通过计算行列式是否为零来判断它们是线性相关或线性无关. （4）矩阵的秩是用中非零子式的最高阶数来定义的. （5）求矩阵的特征值，即计算 （6）判断二次型的正定性，可用顺序主子式全大于零. 【评注】这些应用，要求考生在概念上应清晰，运用时要灵活，对知识的衔接与内在联系要把握得较好（在微积分中，行列式也多次出现，帮助我们记忆与运算，例如，向量积，混合积，平面方程的建立，重积分的变量代换公式，曲面积分中的斯托克斯定理，场论中的旋度等）. 二、大纲考查要点诠释 1行列式的概念 阶行列式 （1.1）是否有取自不同行不同列的个元素乘积的代数和，它由项组成，其中带

3、正号与带负号的项各占一半，表示排列的逆序数. 2行列式按行（列）展开公式 （1.2）其中 （1.3）是中去掉第行及第列元素后的阶行列式，并带有符号，称为的代数余予式. 特别地，考生应熟悉： （1）上（下）三角行列式等于其主对角线上元素的乘积，即 （1.4） （2）关于副对角线，其计算公式为（1.5） （3）两种特殊的拉普拉斯（Laplace）展开式： 设是阶矩阵，是阶矩阵，则 （1.6）【注】代数余子式的性质除用于按行（列）展开公式计算列式外，还有两条重要性质： （1）只改变所在行和列中元素的值并不影响其代数余子式特别地，与的取值没有关系.例如，两个行列式的并不相同，但第一行元素的代数余子式是

4、完全一样的. （2）行列式一行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和必为零.即 （1.7）【例1.3】已知求（1） 3行列式的性质 （1）经转置的行列式的值不变，即这表明在行列式中行与列的地位是对等的，因此，行列式的行所具有的性质，对于列亦具有. 为简捷，下面仅叙述行的性质. （2）行列式中某一行积各元素如有公因数则可以提到行列式符号外，特别地，若行列式中某行元素全是零，则行列式的值为零. （3）如果行列式中某行的每个元素都是两个数的和，则这个行列式可以拆成两个行列式的和.4几个重要公式 （1）若是阶矩阵，则 (1.8) （2）若都是阶矩阵，则 (1.9) （3）若是阶矩阵，则

5、(1.10) 若是阶可逆矩阵，则 (1.11)则 （1.12） （5）若是阶矩阵，是的特征值，则 （1.13） 【例1.7】设均为阶矩阵，则 （1） (2) 【评注】往届考生在应用公式上出错较多，对的公式也不熟悉.在（1）中是矩阵相乘，用行列式乘法公式（1.9）进行计算；（2）中是行列式是数，用公式（1.8）进行计算，两者不要混淆. 三、典型题型分析及解题方法与技巧 题型（一） 有关行列式的概念与性质的命题 【例1.8】方程的根的个数为（ ）. （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【分析】问方程有几个根，也就是问是的几次多项式，为此应先对作恒等变形，将第1列的-1倍分别加至第2、3、4列得

6、再将第2列加至第4列，行列式的右上角为.可用拉普拉斯展开式（1.6），从而知应选（B）. 【例1.9】齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在阶非零矩阵使得，则（ ） 【分析】对于，如则可逆.于是但可见必有因此排除（B）、（D）. 另一方面，对于知B的每一列都是齐次方程组的解，现在，故有非零解，从而显然时，故应选（C）. 【评注】作为选择题，不要通过计算来求，只需把已知条件中之一代入验证是否为零即可. 【例1.10】设是阶矩阵，且则（ ） （A）中必有两行元素对应成比例 （B）中任一行向量是其余各行向量的线性组合 （C）中必有一列向量可由其余的列向量线性表出 （D）方程组必有无穷多解 【分析】（A

7、）是充分条件，（D）方程组可能无解，故（A），（D）均错误.由知的行（列）向量组线性相关，但线性相关向量组中，只是有向量可由其余向量线性表出，并不是每一个向量都可由其余向量线性表出，参看【定理2.2】及【定理2.4】.故应选（C）. 【例1.11】已知都是行列式值为2的3阶矩阵，则【分析】由公式（1.6），（1.8）,（1.11）等，有 【评注】对于拉普拉斯展开式（1.6）要正确应用，不能错误地按2阶行列式来计算.例如是不是正确的，应当是其中分别是的阶数. 【例1.12】已知阶行列式 则的第行代数余子式的和 【评注】请回顾考点诠释中有关代数余子式的【例1.3】.并用【例1.3】（2）的方法通过

8、算阶行列式的值来解本题. 【例1.13】已知都是4维列向量，且，则. 【分析】中第1列是两个数的和，用性质（3）可将其拆成两个行列式的和，再利用对换，提公因式等行列式性质作恒等变形，就有于是 题型（二）行列式的计算 【解题思路】计算行列式值的最基本方法是：按行（列）展开公式，另外，常用的方法还有： .三角公法 【例1.14】计算行列式 之值. 【解】从第1行开始，依次把每行加至下一行，得 【例1.17】计算行列式之值. 【解】把每列均加至第1列，提取公因式，再把第1列加至2列，4列得（公式（1.5）. 【评法】三角化时常用的方法是逐行相加，把某行的适当倍加至其它各行，把其它各行的适当倍数加至某

9、行等. .递推法 【例1.19】计算行列式继续使用这个递推公式，有而初始值所以 【评注】对于规律性强且零元素多的行列式，可以考虑用按行展开公式建立递推关系式来求行列式的值. .公式法【例1.21】计算行列式之值.【解】先互换2，3两行，再对调2，3两列，就可用拉普拉斯展开式（1.6），即【例1.22】计算行列式之值. 【解】由于，故用行列式乘法公式（1.9），得因中，系数是，所以 题型（三）含参数行列式的计算 【例1.24】已知求 【解】将第3行的-1倍加至第1行，有 所以 【评注】对这一类行列式，通常是将某行的倍加至另一行，以期出现的一次因式，提出的这个一次因式（也就求出了的一个根），再处理

10、剩下的3阶行列式可求出的另外两个根. 本题亦可以将第2、3行加至第1行，这时有的公因式，请读者完成. 题型（四）关于的证明 【解题思路】证明行列式常用的思路有： （1）设法证或 （2）反证法，如，从可逆找矛盾；、 （3）构造齐次方程组，设法证明它有非零解； （4）设法证矩阵的秩 （5）证明0是矩阵的一个特征值. 【例1.27】设是阶反对称矩阵，如可逆，则必是偶数. 【证明】因为是反对称矩阵，即那么 即 如果是奇数，必有即与可逆相矛盾，所以必是偶数. 【例1.28】设（单位矩阵），证明. 【证法一】如，则可逆，那么与已知条件矛盾. 【证法二】由，有，从而的每一列都是齐次方程组的解.又因故有非零解

11、,从而. 【证法三】同上，由的每一列都是的解.所以又因故所以. 【证法四】同上，设是中非零列，则，则，0是的特征值，故. 【评注】这些证法有繁有易，也有雷同之外，关键是思路要开阔.对于我们应认识到的每一列都是齐次方程组的解，的列向量只是的解的一部分，另一方面矩阵的秩也是偶列向量组的秩.因此从，得到线性相关，则存在不全为0的数，使设中第一个不为0的数是，则用左乘上式，利用得，由于得，与已知矛盾. 【例2.16】是矩阵，是矩阵，其中若证明的列向量线性无关. 【证法一】对矩阵按列分块，记如用分块矩阵可写成用矩阵左乘上式，并代入得所以的列向量线性无关. 【证法二】对于，把与均安行分块，记作其中是的第行

12、，第个分量为1. 用分块矩阵乘法，易见即可由线性表出.同理，也均可由线性表出. 显然，坐标向量可表示任一个维向量于是与可互相线性表出，是等价向量组，有相同的秩.所以因为，矩阵的秩=行秩=列秩（【定理2.8】），从知，的列向量组线性无关. 【证法三】因为是矩阵，且，从矩阵秩的定义知：.又因所以，那么的列向量组的秩是，即其线性无关. 【例2.17】是阶矩阵，是维列向量，且证明线性无关. 【分析】对如何证明组合系数呢？要作恒等变形应仔细分析已知条件，的条件其实就是这启发我们应用左乘来作恒等变形. 【证明】若用左乘有即 亦即再用左乘，可得由故必有依次往上代入得及，所以线性无关. 【例2.18】维向量非

13、零且两两正交，证明线性无关. 【分析】对题中的条件是正交，因此应通过内积来作恒等变形. 【证明】知用作内积，有由于两两正交，故有因为非零，从而 类似地，用作内积可知所以，线性无关. 【例2.20】如果向量可以由线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是线性无关. 【证明】必要性（用反证法） 如线性相关，则存在不全为0的数使因已知可由线性表出，设为两式相加，可得到由于不全为0，故与是两组不同的数，即有两种不同的表示法，与已知矛盾. 充分性（用反证法）若有两种不同的表达式，设为两式相减，得由于不全为0（否则是一种表示法）得，线性相关，与已知矛盾. 【评注】线性相关、线性无关的证明，常用的思路是用定

14、义.设 （）然后对此式作恒等变形（要向已知伯伯靠拢！）. 虽由得不到，消去律是不成立的，但从可得到.因此恒等变形的一种重要技巧就是按已知条件的信息，对（）式乘上某个“A”（如【例2.15】，【例2.18】，以及【例2.16】的证法一，【例2.19】的证法二等），另一方法是展开整理（）式，直接用已知条件转化为齐次线性方程组（如【例2.14】的证法一），最后通过分析论证的取值，得出所需结论. 另外，反证法，行列式，初等变换，等价向是组，矩阵秩的定义及性质也都可用来判断证明（如【例2.14】、【例2.15】的证法二，【例2.16】的证法二、三，【例2.20】等）. 【例2.21】已知均可由线性表出，

15、证明线性相关. 【证明】据已知条件，可设用分块矩阵可写为如即对于齐次方程组由于“方程个数未知数个数”必有非零解，设其为即所以线性相关. 【例2.22】维列向量线性无关，且与非零向量都正交.证明线性相关，线性无关. 【证明】用构造矩阵因为与每个都正交，有进而，即是齐次方程组的非零解.同理也是的解. 又因齐次方程组的基础解系仅由个解向量构成，从而线性相关.若 （*）那么，用作内积，有因为及有得到将代入（*）式，有由于线性无关，得所以（*）中组合系数必全是零，即线性无关. 题型（三）求秩与极大线性无关组 【例2.24】（1）已知是3阶非零矩阵，且，则（ ）. （A）时， （B）时， （C）时， （D

16、）时， （2）设阶矩阵如则必为（ ）.（A）1 （B） （C）-1 （D） 【分析】（1）若是矩阵，是矩阵，且，则由的每列都是的解，可有从而 如，则，得因此应排除.如则，得因此不正解，而非零，故仅正确. （2）由于，知且有阶子式不为0. 如，显然的2阶子式全为0，故不入选.而时，由题没有必有故应先（B）. 【例2.25】求向量组 的一个极大线性无关组. 【解法二】把写成列向量，构成矩阵，再作初等行变换化为阶梯形，即那么阶梯形矩阵中每一行第一个非零元所在的列对应的列向量就是极大线性无关组. 【例2.26】已知向量组（）（）（）如果它们的秩分别为求 【分析】由于得线性无关，那么向量组的秩至少是3，

17、能否是4？关键就看能否用线性表出，或者看向量组是线性相关还是线性无关. 【解法一】由知线性无关，线性相关，故可由线性表出.设 如果能由线性表出，设则于是可由线性表出，即线性相关，与已知相矛盾.所以不能用线性表出，由秩的定义知 【解法二】如果把（理由同前，略）代入有由于，知线性无关，从而 下略. 【解法三】同前，设构造矩阵作初等列变换. 即.由于初等变换不改变秩，故 题型（四） 有关秩的证明【例2.27】设向量组的秩是，证明其中任意选取个向量所构成向量组的秩【证明】在中任取个向量，设其秩是且是其极大线性无关组. 由于，因此对可再扩充即 【例2.28】是阶矩阵，证明 【证明】若，则可逆，于是可逆，

18、故 若则中所有阶行列式全为0，于是即. 若，则但存在阶子式不为0，因此又因有即从而 【评注】伴随矩阵的秩只有3种取值，这一特点应当清楚.如的秩有几种取值？本题的证明要求考生对秩的概念很清晰，同时对秩的重要公式“如，则”要会灵活运用. 【例2.29】是矩阵，是矩阵，证明 【证法一】设是矩阵，对均按行分块，记为用分块矩阵乘法，得即向量组可由向量组线性表出，那么 【证法二】构造两个齐次线性方程组 ， ，其中. 由于方程组的解必是方程组的解，因此（的解向量）（的解向量）即从而 【评注】由于“矩阵的秩=行秩=列秩”，有关矩阵的问题常转化为向量组来讨论，如证法一；齐次方程组的基础解系由个线性无关的解向是所

19、构成，它与秩有关联，因而秩的论证有时也通过构造齐次方程组来实现，如证法二；初变换不改变矩阵的秩，因而化其为等价标准形，再进行分析论证，如证法三.这些常用方法大家应了解. 【例2.30】是阶矩阵，证明： 【证明】由得即故又所以 题型（五）关于的证明 【例2.31】是阶实对称矩阵，且证明 【证法二】由那么对任一个维列向量，有即即可见是零向量，即也就是任一个维向量都齐次方程组的解，因而有个线性无关的解，于是即又因所以即 【证法三】因为是实对称矩阵，必可对角化.设则由此可得由于故由此可得所以， 【注】但可见实对称的条件是重要的. 【例2.32】已知是矩阵，是矩阵，证明。 【证法一】由知的列向量中有个是

20、线性无关的，设为 令它是阶矩阵，其秩是因此可逆. 由知那么右乘得 【证法二】由知的每一列都是齐次方程组解，因为故至少有个线性无关的解，但最多有个线性无关的解, 于是按秩的定义又有所以即. 【证法三】对矩阵按行分块，有那么 因为知线性无关，于是组合系数同理，得即 【评法】与是两个完全不同的概念，在证明时处理的方法明显不同，一定不要混淆.请对照第一章中题型（四）搞清概念与方法. 证明的基本方法是：设法证明的每一个元素都是0（或反证）；或用秩，设法证 【例2.33】是矩阵，是阶矩阵，如证明 【分析】由即要证 【证明】对按列分块，记由知，线性无关，因此，齐方程组只有零解. 已知，即那么的每一列都是解，

21、从而得 题型（六）有关向量空间的判定、维数、基与坐标的命题 【例2.34】判断下列3维向量的集合是不是的子空间，如是子空间，则求其维数与一组基 （1） （2） （3） （4） （5） 【分析】要判断是不是子空间，就是要检查对于向量的加法及数乘这两个运算是否封闭.如是子空间，则中向量的极大线性无关组就是一组基，而向量组的秩就是子空间的维数. 【解】（1）不是子空间，因为对数乘向是不封闭.例如但时， （2）是子空间.因为而即对于运算封闭，是子空间.又线性无关且能表示中任一向量，因而是的一组基，那么 （3）是子空间.如即是齐次方程的解.由于仍是解，故对运算封闭，是子空间. 是基础解系，也就是的一组基

22、，那么 （4）不是子空间.因为非齐次方程组的解相加不再是此方程组的解，即对加法不封闭. （5）不是子空间，因为条件等同于理由同（4）. 【评注】维向量与维向量空间是两个不同的概念. 维向量是指每个向量有个分量，而维向量空间是指这个向量集合中，有个线性无关的向量，而任意个向量是线性相关.例如，是3维向量的集合，但其中存在两个向量线性无关，而任意3个向量必线性相关，所以作为空间是2维的. 题型（七）求过渡矩阵及坐标变换 【例2.38】已知的两组基 （1）求由基到基的过渡矩阵； （2）求在这两组基下的坐标； （3）求向量，使它在这两组基下有相同的坐标.可见在这两组基下的坐标分别是和 （3）设亦即所以

23、，仅零向量在这两组基下有相同的坐标. 【注】请读者先求在基下的坐标，再用过渡矩阵求在下的坐标. 题型（八）求标准正交基 【例2.39】设是秉为2的5×4矩阵，是齐次线性方程组的解向量，求的解空间的一个标准正交基. 【解】因为秩，所以解空间的维数是又因线性无关，故是解空间的一组基.令 再单位化，得，即是解空间的一个标准正交基. 【评注】从，知解空间的维数是那么，3个解向是一定线性相关，应当先从中筛选出基（不唯一），再Schmidt 正交化这是不妥的.本题解答不唯一. 与虽不同，但单位化后是一样的，即因此，对单位化时，为了简捷少出错，只需要单位化即可. 题型（九） 有关秩与直线平面的综合

24、题 【例2.41】设矩阵是满秩的，则直线与直线的位置是（ ）. （A）相交于一点 （B）重合 （C）平行但不重合 （D）异面 【分析】初等变换不改变矩阵的秩，由可知，后者的秩仍应是3，所以直线的方向向量 线性无关，因此排除（B），（C）. 究竟是相交还是异面呢？在这两条直线上各取一点与，可构造向量如果共面，则两址线相交，如不共面，则两直线异面.而三个向量的共面问题可用向量的混合积或线性相关性来判断.例如或，所以，应选（A）. 【例2.42】设，则平面上三条直线交于一点的充分必要条件是（ ）. （A） （B） （C） （C）线性无关，但线性相关 【分析】三条直线交于一点的充要条件是方程组有唯一解

25、，即可由线性表出且表示法唯一.故（D）正确. （B）肯定错，它表示线性无关，于是方程组无解.而（A），（C）均是交于一点的必在条件，仅行列式为0不能排除其中有平行直线，对于（C），因为秩可能是1，也就可能有平行直线.作为充要条件（A），（C）是不正解的. 【例2.43】空间中有三个平面 如记是平面的法向量，是方程组的系数矩阵，是增广矩阵，是的延伸向量. （1）平面两两不平行，有且仅有一个公共点的充要条件是. 这可从方程组有唯一解来推导，亦可从法向量来看，这时的三个法向量不共面，因而线性无关，即，延伸后仍线性无关.故. （2）三个平面两两相交，围成一个三棱柱的充要条件是线性相关，但任两个线性无关

26、，且， 法向量在与三棱垂直的平面上，因而共面，但不共线，因此线性相关，但任两个线性无关，从而，此时方程组无解，. （3）三个平面两两不平行，并有一条公共直线的充要条件是线性相关，但任两个线性无关，且 【注】（2）与（3）法向量情况一样，区别仅在方程组有解或无解，从而或 （4）有两个平面平行（不重合），第三个平面与它们相交的充要条件是线性相关，但不能用线性表出，且. （5）有两个平面重合，第三个平面与它们相交的充要条件是线性相关，但不能用线性表出，且第三章 矩阵及其运算一、本章知识串讲 矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，它是线性代数的核心，矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终，对

27、矩阵的理解与掌握要扎实深入，融会贯通.矩阵是考核检查的重点内容之一. 矩阵是一个表格，作为表格的运算与数的运算既有联系又有差别.对各种特殊矩阵应掌握其定义、性质，会用定义来判断证明是哪一类矩阵.读者应记住：无论是否可逆，总成立，要会灵活运用这一公式.分块矩阵在矩阵乘法及求逆、齐次方程组的解，向量的线性表出、线性相关及秩等方面，往往大有可为. 二、大纲考查要点诠释 1矩阵的概念 个数排成的行列的表格称为矩阵.简记为，或若，则称是阶矩阵或阶方阵. 如果矩阵中所有元素都是则称其为零矩阵，记作. 同型矩阵 对于阶矩阵，其元素可构造阶行列式称为方阵的行列式，记作 【注意】矩阵是由数构成的一种表格，而行列式是按一定运算法则所确定的一个数，表格与数是两个不同的概念.要理解矩阵的概念，注意矩阵与行列式的联系与区别，两者不要混淆.当时，与可能相等亦可能不等 ，从得不到 【例3.1】是阶矩阵，证明： 【错证一】由行列式乘法公式（1.9），得即因，故从而 【错证二】由，按（1.9）得因故，从而 【评注】这两种错