2.3等差数列的前n项和性质推荐课件

1、2021/8/2212.3等差数列的前等差数列的前n项和（第二课时）项和（第二课时）四川省平武中学四川省平武中学2021/8/222等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式: :2)1nnaanS （dnnnaSn2)11 （形式形式1:1:形式形式2:2:2021/8/223 1. 1.将等差数列前将等差数列前n n项和公式项和公式 看作是一个关于看作是一个关于n n的函数，这个函数的函数，这个函数 有什么特点？有什么特点？2) 1(1dnnnaSn当当d00时时,S,Sn n是常数项为零的二次函数是常数项为零的二次函数21()22nddSnan 则则 Sn=An2+Bn令令1,22d

2、dABa 2021/8/224例例3 已知数列已知数列an中中求这个数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？求这个数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是吗，他的首项和公差分别是什么？如果是吗，他的首项和公差分别是什么？212nSnn123111231.;.nnnnnSaaaaaSaaaa分析： 有；11(1)San1(2);nnnSSa n得到得到111(2)(1)nnSSnnSana 2021/8/225例例3 已知数列已知数列an中中求这个数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？求这个数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是吗，他的首项和公差分别是什么？如果是吗，他的首项和公差分别是

3、什么？212nSnn解：解：22n-122n-111;=(n-1)(1)2211n2()(n-1)(1)22nnnSnnSnSSnnn当时，a122n21113n=1122S当时，a1322又2 1-也满足（1）式122nan所以首项所以首项为为1.5，公，公差为差为2(1)122n(1)122n(1)2021/8/226例例4 已知数列已知数列an：245 , 4, 3, . . . . . . .77的前n项和为 ，求使得 最大的序号n的值。nSnS等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题分析：分析：数列为等差数列，首项为数列为等差数列，首项为 ， 公差公差d0 ，显然，显然，数

4、列的前几项为正数，到某一项就开始为负，所以数数列的前几项为正数，到某一项就开始为负，所以数列的前列的前n项和最大，也就是所有的正数项相加。项和最大，也就是所有的正数项相加。 15a 15a 2021/8/227例例4 已知数列已知数列an：245 , 4, 3, . . . . . . .77的前n项和为 ，求使得 最大的序号n的值。nSnS等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题思路思路1：数列为等差数列，首项为数列为等差数列，首项为 ，15a 254577d 1(1)(1)55()227nn nn nSa ndn25751414nn 25151125()14256n 于是，当于是

5、，当n取与对称轴最接近的整数时即取取与对称轴最接近的整数时即取7或或8时，前时，前n项和最大项和最大2021/8/228例例4 已知数列已知数列an：245 , 4, 3, . . . . . . .77的前n项和为 ，求使得 最大的序号n的值。nSnS等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题思路思路2：数列为等差数列，首项为数列为等差数列，首项为 ，15a 254577d 15(1)5(1)()754 077naandnn =5400,=0877nnn令 a则， 解 之 的78n=78SS当或者 的时候，有最大2021/8/229练习练习:已知数列已知数列an的通项为的通项为an=

6、26-2n,要使此数列的前要使此数列的前n项和最大项和最大,则则n的值为的值为( )A.12 B.13 C.12或或13 D.14C2021/8/2210等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题练习练习.已知等差数列已知等差数列an中中,a10,d0时时,数列前面有若干项为正数列前面有若干项为正,此时所有正此时所有正项的和为项的和为Sn的最大值的最大值,其其n的值由的值由an0且且an+10求得求得. 当当a10时时,数列前面有若干项为负数列前面有若干项为负,此时所有负此时所有负项的和为项的和为Sn的最小值的最小值,其其n的值由的值由an 0且且an+1 0求得求得.2021/8/2

7、2122.等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差数列也在等差数列,公差为公差为在等差数列在等差数列an中中,其前其前n项的和为项的和为Sn,则有则有性质性质2:若若Sm=p,Sp=m(mp),则则Sm+p=性质性质3:若若Sm=Sp (mp),则则 Sp+m=性质性质4:(1)若项数为偶数若项数为偶数2n,则则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中为中间两项间两项),此时有此时有:S偶偶S奇奇= ,SS 奇奇偶偶n2d0nd1nnaa (m+p)2021/8/2213性质性质4:(1)若项数为奇数若

8、项数为奇数2n1,则则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项为中间项), 此时有此时有:S偶偶S奇奇= ,SS 奇奇偶偶两等差数列前两等差数列前n项和与通项的关系项和与通项的关系性质性质6:若数列若数列an与与bn都是等差数列都是等差数列,且且前前n项的和分别为项的和分别为Sn和和Tn,则则nnab 性质性质5: 为等差数列为等差数列.nSnan1nn 2121nnST 2021/8/2214例例1.设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,若若S3=9,S6=36,则则a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27例例2.在等差数列在等差数列an中中,已知公

9、差已知公差d=1/2,且且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( )A.85 B.145 C.110 D.90BA3.等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用2021/8/2215例例3.一个等差数列的前一个等差数列的前10项的和为项的和为100,前前100项的和为项的和为10,则它的前则它的前110项的和项的和为为 .110例例4.两等差数列两等差数列an 、bn的前的前n项和分项和分别是别是Sn和和Tn,且且71427nnSnTn 求求 和和 . 55abnnab521952n 196463naSSbTT 146823nnanbn 等差数列等差数列

10、an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用2021/8/2216例例5.一个等差数列的前一个等差数列的前12项的和为项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为的项的和之比为32:27,则公差为则公差为 .5等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用2021/8/2217例例6.设等差数列的前设等差数列的前n项和为项和为Sn,已知已知a3=12,S120,S13013a1+136d02437d 等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质2021/8/2218(2) 11(1)2nSnan nd1(122 )(1)2ndn nd25(12)22ddnnSn图象的对称轴为图象的对称轴为5122nd由由(1)知知2437d 由上得由上得51213622d1362n即即由于由