复合函数的偏导数课件

1、复合函数的偏导数PPT课件一、链式法则 定理定理如果函数如果函数)(tuf f= =及及)(tvy y= =t可导，函数可导，函数),(vufz = =在对应点在对应点),(vu具有连续偏具有连续偏导数，则复合函数导数，则复合函数)(),(ttfzy yf f= =在对应点在对应点t可可导，且其导数可用下列公式计算：导，且其导数可用下列公式计算： dzfdufddtu dtdt =uvtz复合函数的偏导数PPT课件I: 定理推广到定理推广到中间变量多于两个中间变量多于两个的情况的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz = =uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为d

2、tdz ( ), ( ), ( )zftttfy=)(tuf f= =)(tvy y= =( )wt=复合函数的偏导数PPT课件定理推广到定理推广到中间变量是多元函数中间变量是多元函数的情况：的情况：定理定理1(p290).,(),(yxyxfzy yf f= = 如果如果),(yxuf f= =及及),(yxvy y= =都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，且函数的偏导数，且函数),(vufz = =在对应在对应点点),(vu具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数),(),(yxyxfzy yf f= =在对应点在对应点),(yx的两个偏的两个偏导数存在，且可用

3、下列公式计算导数存在，且可用下列公式计算 ;zzuzvzzuzvxuxvxyuyvy = = = = II:复合函数的偏导数PPT课件uvxzy链式法则如图示链式法则如图示= = xz uzxu vz,xv = = yz uzyu vz.yv 复合函数的偏导数PPT课件证明证明 证第一个公式证第一个公式: ,uxx yx y = = ,vxx yx yy yy y = = 由于由于 Z = f ( u, v ) 在点在点 ( u, v ) 可微，有可微，有 =vvfuufZ xxvvfxuufxZ=22 ()():uvx 其其中中，上上式式两两边边同同除除以以00,00 xuv （ ）令令，则

4、则，从从而而,xxuv 给给以以改改变变量量相相应应得得到到和和 的的改改变变量量复合函数的偏导数PPT课件00( )( )lim |lim | |xxxx = = 由由于于2222000( )lim| lim ()( )0 lim ( )( )0 xxxuvuvxxxx = = = = = = 0 limxzzfufvxxuxvx = = = 因因 此此= = yz uzyu vz.yv 同理可证：同理可证：复合函数的偏导数PPT课件 、III: 再推广，设再推广，设),(yxuf f= =),(yxvy y= =),(yxww = =都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，复合

5、函数的偏导数，复合函数),(),(),(yxwyxyxfzy yf f= =在对应点在对应点),(yx的两个的两个偏导数存在，且可用下列公式计算偏导数存在，且可用下列公式计算 , zwvuyx;zzuzvzwxuxvxwx = = zzuzvzwyuyvywy= 复合函数的偏导数PPT课件IV:特殊地特殊地),(yxufz = =),(yxuf f= =即即,),(yxyxfzf f= =,xfxuufxz = = .yfyuufyz = = 令令,xv = =, yw = =其中其中, 1= = xv, 0= = xw, 0= = yv. 1= = yw把把),(yxufz = =中中的的u

6、及及y看看作作不不变变而而对对x求求偏偏导导数数 两者的区别两者的区别区别类似区别类似复合函数的偏导数PPT课件例例 1 1 设设vezusin= =，而，而xyu = =，yxv = =， 求求 xz 和和yz .解解= = xz uzxu vzxv 1cossin = =veyveuu),cossin(vvyeu = = = yz uzyu vzyv 1cossin = =vexveuu).cossin(vvxeu = =复合函数的偏导数PPT课件例例 2 2 设设tuvzsin = =，而，而teu = =，tvcos= =， 求全导数求全导数dtdz. 解解dzz duz dvz dw

7、dtu dtv dtw dt=ttuvetcossin = =ttetettcossincos = =.cos)sin(costttet = =sinwt=令 复合函数的偏导数PPT课件(, ),ufx y z= =例例3 3 设设解解：u),ln(),(22yxzxy = = = 而而, 可可微微 fdxdu求求xyzxyx= =dxduxfyf dxdy zf xz zf yz dxdy xf= = yfzf 222yxx zf 222yxy xf= = yfzf 22)(2yxyx 复合函数的偏导数PPT课件解解令令, zyxu = =;xyzv = =记记1,ffu=212,ffu v

8、 = 同理有同理有,2f ,11f .22f = = xwxvvfxuuf ;21fyzf = =复合函数的偏导数PPT课件= = zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf = = = zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf = = = zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf = =于是于是= = zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf = =(,)wf xyz xyz= 复合函数的偏导数PPT课件 设设函函数数),(vufz = =具具有有连连续续偏偏导导数数，则则有有全全微微分分dvvzd

9、uuzdz = =;当当),(yxuf f= =、),(yxvy y= =时时，有有dyyzdxxzdz = =.全微分形式不变形的实质全微分形式不变形的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、二、全微分形式不变性复合函数的偏导数PPT课件dxxvvzxuuz = =dyyzdxxzdz = =dyyvvzyuuz = =dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz = =.dvvz ( , ),( , ),( , )zf u v ux y vx yfy= 复合函数的偏导数PPT课件

10、解解1, 1= = xu,2cos21yzzeyyu = = ,yzyezu= = 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz = =2解解 ：直直接接求求微微分分(sin)()2yzydudxdd e= 1cos22yzyzydxdyzedyyedz 复合函数的偏导数PPT课件解解例例6 6()exyzxy= = 求求函函数数的的偏偏导导数数和和全全微微分分e)(ddxyyxz = =)(dede)(yxyxxyxy = =)d(de)dd(e)(yxyxxyyxxyxy = =,d)1(ed)1(e22yxyxxyxyxyxy = =所以所以, )1(e2 =

11、 = yxyxzxy.)1(e2 = = xyxyzxy复合函数的偏导数PPT课件解解例例7 72ln(2 ) zxxy= = 求求函函数数的的偏偏导导数数和和全全微微分分所以所以)2ln(dd2yxxz = =)2ln(dd)2ln(22yxxxyx = =yxyxxxyx2)2(dd)2ln(222 = =,d22d22)2ln(2222yyxxxyxxyx = =,22)2ln(222yxxyxxz = = .222yxxyz = = 复合函数的偏导数PPT课件例例8 8= =z设设、vucossin、xyu = =,xyv = =xz 求求yz 及及解解= =dzvduucoscosv

12、dvusinsin vucoscos= =ydx()xdy vusinsin dxxy2( )1dyx vuycoscos(= =)sinsin2vuxy dxvuxcoscos( )sinsin1vux dyxz vuycoscos= =vuxysinsin2 yz vuxcoscos= =vuxsinsin1 复合函数的偏导数PPT课件三、 高阶微分 2()zzzzd zd dzdxdy dxdxdy dyxxyyxy=22222222zzzzdxdydxdxdydyxy xx yy = = 2()dxdyfxy=dyyzdxxzdz = =( , ),( , ),( , )zf u v ux