含有绝对值不等式的解法-典型例题

1、含有绝对值不等式的解法-典型例题含绝对值不等式的解法例1  解绝对值不等式x+3>x-5解：由不等式x+3>x-5两边平方得x+32>x-52，即（x+3）2>（x-5）2,x>1  原不等式的解集为xx>1评析  对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据x2x2，可在两边平方脱去绝对值符号当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐例2  对任意实数x，若不等式x+1-x-2>k恒成立，则实数k的取值范围是（    ）ak<3   

2、60;       bk<-3              ck3              dk-3分析  要使x+1-x-2>k对任意实数x恒成立，只要x+1-x-2的最小值大于k因x+1的几何意义为数轴上点x到-1的距离，x-2的几何意义为点x到2的距离，x+1-x-2的几何意义为数

3、轴上点x到-1与2的距离的差，其最小值为-3，  k<-3,  选b评析  此例利用绝对值的几何意义使问题迅速得解，若采用其他方法则解答过程冗长例3  解不等式3x-1>x+3分析  解此类不等式，要分x+30和x+3<0两种情况讨论解：当x+30，即x-3时，原不等式又要分-3x< 和x 两种情况求解：当-3x< 时，-3x+1>x+3，即x<- ，此时不等式的解为-3x<- ;当x 时，3x-1>x+3，即x>2，此时不等式的解为x>2又当x+3<0，即x<-3时

4、，不等式是绝对不等式取、并集知不等式的解集为xx<- ，或x>2例4  解不等式  x-5-2x+3<1解：x5和x- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：于是，原不等式变为（）  或（） 或（） 解（）得  x<-7，解（）得 <x5，解（）得  x>5；（）（）（）的并集xx<-7或x> 即为原不等式的解集说明  解这类绝对值不等式（仅限绝对值符号里面是一次式）可分如下几个步骤：第一步令每个绝对值号里的一次因式等于零求出相应的根；第二步把这些根按从小到大的顺序排

5、号并把数轴分成相应的若干个区间；第三步根据所分区间去掉绝对值符号，组成若干个不等式组，最后分别解每个不等式组，取结果的并集就是原不等式的解例5  解不等式12x-1<5解法一：原不等式等价于 或 解得  1x<3;解得  -2<x0  原不等式的解集为x-2<x0或1x<3解法二：原不等式等价于12x-1<5，  或  -5<2x-1-1，即  22x<6，  或  -4<2x0，解得  1x<3，  或  -2&l

6、t;x0  原不等式的解集为x-2<x0，或1x<3评析  比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是axb axb，或-bx-a（a0）这一规律对我们今后解题很有作用，要在理解的基础上加以记忆本例亦可用图像法求解，不妨一试例6 解不等式x+3+x-3>8分析  这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论解法一：由代数式x+3、x-3知，-3和3把实数集分为三个区间：x<-3,-3x<3，x3当x<-3时，-x-3-x+3>8，即x<-4，此时

7、不等式的解为x<-4；当-3x<3时，x+3-x+3>8，此时无解；当x3时，x+3+x-3>8，即x>4，此时不等式的解为x>4取、的并集得原不等式的解集为xx<-4，或x>4点评  解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；（4）取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集模仿例1，我们还有解法二：不等式x+3+x-3>8表示数轴上与a（-3），b（3）两点距离之和大于8的点，而a，b两点距离为6因此线段ab上每一点到a、b的距离之和都等于6如下图，要找到a，b距离之和为8的点，只须由点b向右移1个单位（这时距离之和增加2个单位），即移到点b1（4），或由点a向左移1个单位，即移到点a1（-4）可以看出，数轴上点b1（4）向右的点或者点a1（-4）向左的点到a、b两点的距离之和均大于8  原不等式的解集为xx<-4，或x>4解法三：分别画出函数y1x+3+x-3和y28的图像，如下图y1 不难看出，要使y1>y2，只须x<-4，或x>4  原