2022年平面解析几何初步典型例题整理后

1、学习必备欢迎下载平面解析几何初步 7.1 直线和圆的方程经典例题导讲例 1 直线 l 经过 p（2,3 ）, 且在 x,y 轴上的截距相等, 试求该直线方程. 解：在原解的基础上,再补充这样的过程: 当直线过 (0,0) 时 ,此时斜率为 :230203k, 直线方程为y=23x 综上可得 : 所求直线方程为x+y-5=0 或 y=23x . 例 2 已知动点p到 y 轴的距离的3 倍等于它到点a(1,3) 的距离的平方, 求动点 p的轨迹方程 . 解：接前面的过程 , 方程化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 , 方程化为 (x+12 )2+(y-3)2 = - 34 ,由于两个平

2、方数之和不可能为负数, 故所求动点p的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2 = 214 (x 0) 例 3m是什么数时，关于x,y 的方程（ 2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的图象表示一个圆？解： 欲使方程 ax2+cy2+f=0表示一个圆，只要a=c 0，得 2m2+m-1=m2-m+2，即 m2+2m-3=0，解得 m1=1，m2=-3，(1) 当 m=1时，方程为2x2+2y2=-3 不合题意，舍去. (2) 当 m=-3 时，方程为14x2+14y2=1,即 x2+y2=114 , 原方程的图形表示圆. 例 4自点 a(-3 ，3) 发出的光线l 射到 x

3、 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7 0 相切，求光线l 所在的直线方程. 解：设反射光线为l, 由于 l 和 l关于 x 轴对称， l 过点 a(-3 ，3) ，点 a关于 x 轴的对称点 a(-3 ，-3) ，于是 l过 a(-3 ，-3). 设 l的斜率为k，则 l的方程为y-(-3)kx-(-3) ，即 kx-y+3k-3 0，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 1，圆心 o的坐标为 (2 ， 2)，半径 r 1 因 l和已知圆相切，则o到 l的距离等于半径r 1 即11k5k51k3k32k222整理得 12k2-25k+12 0 解得 k34或

4、 k43l的方程为y+334(x+3);或 y+343(x+3) 。即 4x-3y+3 0 或 3x-4y-3 0 因 l 和 l关于 x 轴对称故 l 的方程为4x+3y+30 或 3x+4y-3 0. 例 5求过直线042yx和圆014222yxyx的交点， 且满足下列条件之一的圆的方程：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（1） 过原点；（2）有最小面积 . 解： 设所求圆的方程是：04214222yxyxyx即：04122222yxyx（1）因为圆过原点，所以0

5、41，即41故所求圆的方程为：0274722yxyx. （2）将圆系方程化为标准式，有：545245222222yx当其半径最小时，圆的面积最小，此时52为所求 . 故满足条件的圆的方程是54585422yx. 例 6（ 06 年辽宁理科） 已知点 a(11,yx) ， b(22, yx) （21xx0） 是抛物线)0(22ppxy上的两个动点，o是坐标原点，向量oboa,满足oboaoboa . 设圆 c的方程为0)()(212122yyyxxxyx（1）证明线段ab是圆 c的直径；（2）当圆 c的圆心到直线02yx的距离的最小值为552时，求p的值 . 解： （1）证明oboaoboa，（

6、oboa）2（oboa）2，整理得：oboa0 21xx21yy0 设 m （yx,）是以线段ab为直径的圆上的任意一点，则mbma0 即)(21xxxx)(21yyyy0 整理得：0)()(212122yyyxxxyx故线段 ab是圆 c的直径 . （2）设圆 c的圆心为 c（yx,） ，则222121yyyxxx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载1212pxy，)0(2222ppxy22221214pyyxx又21xx21yy0 ，21xx21yy21yy2222

7、14pyy21xx0，21yy0 21yy 42p2121222122212141)2(41)(412yypyyyypyypxxx)2(122pyp所以圆心的轨迹方程为222ppxy设圆心 c到直线02yx的距离为，则pppyypypyx5|)( |5|2)2(1|5|2|2222当yp时，有最小值5p，由题设得5p552p2. 圆锥曲线经典例题导讲 例 1 设双曲线的渐近线为：xy23，求其离心率 . 解： 由双曲线的渐近线为xy23是不能确定焦点的位置在x 轴上的，当焦点的位置在y轴上时，32ab，故本题应有两解，即：213122abace或313. 精品学习资料 可选择p d f - -

8、 - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例 2 设点 p(x,y)在椭圆4422yx上，求yx的最大、最小值. 剖析： 本题中x、y 除了分别满足以上条件外，还受制约条件4422yx的约束 . 当 x=1时,y 此时取不到最大值2, 故 x+y 的最大值不为3. 其实本题只需令sin2,cosyx，则)sin(5sin2cosyx，故其最大值为5，最小值为5. 例 3 已知双曲线的右准线为4x，右焦点)0,10(f, 离心率2e, 求双曲线方程 . 解法一：设),(yxp为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为

9、4x， 右焦点)0,10(f，离心率2e，由双曲线的定义知.2|4|)10(22xyx整理得.14816)2(22yx解法二：依题意，设双曲线的中心为)0 ,(m, 则.21042acmcmca解得.284mca, 所以,481664222acb故所求双曲线方程为.14816)2(22yx例 4设椭圆的中心是坐标原点，长轴x在轴上，离心率23e，已知点)23,0(p到这个椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程. 解： 若21b，则当by时，2d（从而d）有最大值 . 于是,)23()7(22b从而解得矛盾与21,21237bb. 所以必有21b，此时当21y时，2d（从而d）有最大值，所以22

10、)7(34b，解得.4, 122ab于是所求椭圆的方程为.1422yx例 5 从椭圆12222byax,(ab0) 上一点 m向 x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点f1，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载a、b分别是椭圆长、短轴的端点，ab om 设 q是椭圆上任意一点，当qf2ab时，延长qf2与椭圆交于另一点p ，若 f1pq的面积为203，求此时椭圆的方程解： 本题可用待定系数法求解b=c, a=2c，可设椭圆方程为122222cycxpq ab, kpq=-2

11、1bakab，则 pq的方程为y=2(x-c)，代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0，根据弦长公式，得cpq526, 又点 f1到 pq的距离 d=362c dpqspqf2112534c , 由,2532053422cc，得故所求椭圆方程为1255022yx例 6已知椭圆：1922yx，过左焦点f 作倾斜角为6的直线交椭圆于a、b两点，求弦 ab的长解： a=3,b=1,c=22; 则 f（-22，0）由题意知：)22(31:xyl与1922yx联立消去y 得：01521242xx设 a（),11yx、b（),22yx，则21,xx是上面方程的二实根，由违达定理，2321xx4152

12、1xx，223221xxxm又因为 a、b、f 都是直线l上的点，所以 |ab|=21518324)(32|3112122121xxxxxx点评： 也可利用“焦半径”公式计算精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例 7 （06 年全国理科）设p是椭圆)1(1222ayax短轴的一个端点，q为椭圆上的一个动点，求 pq 的最大值 . 解：依题意可设p（0,1 ） ， q （yx,） ，则 pq 22) 1(yx，又因为q 在椭圆上，所以，)1 (222yax， pq 212

13、)1(222yyya22212)1(ayya22222111)11)(1 (aaaya. 因为| y1，a 1，若a2，则|11|2a1，当211ay时， pq取最大值11222aaa；若 1a2，则当1y时， pq 取最大值2. 例 8已知双曲线的中心在原点，过右焦点f（2，0）作斜率为53的直线，交双曲线于m 、n 两点，且mn=4，求双曲线方程解： 设所求双曲线方程为)0,0(12222babyax，由右焦点为（2，0） 知 c=2，b2=4-a2则双曲线方程为142222ayax，设直线 mn 的方程为：)2(53xy，代入双曲线方程整理得： (20-8a2)x2+12a2x+5a4-

14、32a2=0 设 m （x1,y1） ,n(x2,y2),则222182012aaxx，22421820325aaaxx212124531xxxxmn482032548201258224222aaaaa解得12a，3142b故所求双曲线方程为：1322yx点、直线和圆锥曲线经典例题导讲 例 1 求过点)1 ,0(的直线，使它与抛物线xy22仅有一个交点. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载解：当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点)1 ,0(，所以,0 x即

15、y轴，它正好与抛物线xy22相切 . 当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x轴，它正好与 抛 物 线xy22只 有 一 个 交 点 . 一 般 地 ， 设 所 求 的 过 点)1 ,0(的 直 线 为1kxy)0(k, 则xykxy212，.01)22(22xkxk令,0解得 k = 12 , 所求直线为.121xy综上，满足条件的直线为：.121, 0, 1xyxy 例 2 已知曲线c：2202xy与直线 l：mxy仅有一个公共点，求m的范围 . 解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为52525mm或. 注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样

16、才不会出错. 例 3 已知 a、b是圆122yx与 x 轴的两个交点， cd是垂直于 ab的动弦，直线ac和 db相交于点p，问是否存在两个定点 e、 f, 使 | | pe | | pf | | 为定值？若存在，求出e、f的坐标；若不存在，请说明理由. 解： 由已知得 a ( 1, 0 )、b ( 1, 0 ), 设 p ( x, y ), c ( 00, yx) , 则 d (00,yx), 由 a、c、p三点共线得1100 xyxy由 d、b、p三点共线得1100 xyxy得11202022xyxy又12020yx, 20201xy，代入得122yx，即点 p在双曲线122yx上，故由双

17、曲线定义知，存在两个定点e ( 2, 0 )、f (2, 0 )（即此双曲线的焦点） ，使 | | pe | pf | | = 2 (即此双曲线的实轴yxoy x o a c d b p 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载长为定值 ). 例 4 已知椭圆的中心在坐标原点o ，焦点在坐标轴上， 直线 y=x+1 与该椭圆相交于p和 q ，且 op oq ， pq =210，求椭圆的方程. 解： 设所求椭圆的方程为2222byax=1. 依题意知，点p 、q的坐标满足方程

18、组：1xy1byax2222将代入，整理得0)1 (2)(222222baxaxba，设方程的两个根分别为1x、2x，则直线y=x+1 和椭圆的交点为p(1x,1x+1) ，q(2x,2x+1) 由题设 op oq ， op =210，可得22122122211)210()1()1()(111xxxxxxxx整理得0516)(4012)(212212121xxxxxxxx解这个方程组，得23412121xxxx或21412121xxxx根据根与系数的关系，由式得 (1)41)1(2322222222bababaa或 (2) 41)1(2122222222bababaa解方程组 (1) 、(2) 得32222ba或23222ba故所求椭圆方程为32222yx=1 ，或23222yx =1. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载 例5 （ 06年 高 考 湖 南 ） 已 知 椭 圆c1：3422yx 1 ， 抛 物 线c2：)0(2)(2ppxmy，且 c1、c2的公共弦ab过椭圆 c1的右焦点。（1）当 ab x轴时，求m、p的值