二项式定理版块六二项式定理的应用3近似计算或估计学生版

1、近似计算或者估计21山运知识内容1?二项式定理二项式定理?n n 亠1 n 1一亠2 n2.2 n.n 出a b cna ga f ga f . cnb n n 这个公式表示的定理叫做二项式定理. 二项式系数、二项式的通项c：an+c；anr+扩2+.+c：bn叫做（a+bj的二项展开式，其中的系数c：（r =0, 1, 2, ., n ）叫做二项式系数，式中的cnanbr叫做二项展开式的通项，用半表示 , 即通项为展开式的第r 1项：trc：anbr. 二项式展开式的各项幕指数二项式（a +b :的展开式项数为n +1项，各项的幕指数状况是各项的次数都等于二项式的幕指数n . 字母a的按降幕

2、排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幕排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . 几点注意通项tr+=c；anbr是（a+b的展开式的第r+1项，这里r =0,1,2,., n .二项式（a+b n的r+1项和（b+aj的展开式的第r+1项cnbnar是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的 . 注意二项式系数（c；）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负. 通项公式是（a + b $这个标准形式下而言的，如（a - b $的二项展开式的通项公式是tr + =（-1 ）cnanbr（只须把七看成b代入二项式定理）这与tr

3、+=c；anbr是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是cn，但项的系数一个是(1 j c；，一个是cn，可看出 , 二项式系数与项的系数是不同的概念. 设a =1, b =x，则得公式：1 x n =1 c；x c；x2. ? c；xr? . - xn.通项是trt = c；anbrr =0, 1, 2, ., n中含有tr d, a, b, n, r五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素.当n不是很大，x比较小时可以用展开式的前几项求(v x)n的近似值 . 2. 二项式系数的性质杨辉三角形：对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用

4、杨辉三角计算 . 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1. 其余各数都等于它肩上两个数字的和. 二项式系数的性质：(a +b j展开式的二项式系数是：c；, cj, c：, ., gn，从函数的角度看cj可以看成是r为自变量的函数f r，其定义域是：;0, 1, 2, 3, ., j /. 当n=6时，f r的图象为下图 : 这样我们利用“杨辉三角”和n=6时f r的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质. 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由公式cm二得到 . 增减性与最大值如果二项式的幕指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幕指

5、数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大. cn3n n _1 n2 1 2 3 cn 丄n n1 n 2 .(n k +2)k _n(n 1 n 2 ，cn 1 2 3. “(k .n -k 2 n -k 1 -1 k ，由于展开式各项的二项式系数顺次是cn 其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如n , n -1, n-2,.），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，） . 因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k依次取1 , 2, 3, 等值时，cn的值转化为不递增而递减了. 又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等, 所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间. 当n是偶数时，n -1是奇数，展开式共有n ? 1 项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大 , n最大为c当n是奇数时，n -1是偶数，展开式共有n ? 1 项，所以有中间两项 . 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为cp二cf . 二项式系数的和为2n，即c0 c1 c2 . -c； - . -c； =2n.奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即c：? c：?二c； cn -c；5. =2nj.常见题型有：求