一元函数定积分学

1、第五章一元函数定积分学一元函数定积分学(分割分割;近似近似;作和作和;取极限方法取极限方法)多元函数积分学多元函数积分学二重积分二重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分多元函数 积 分学 扩展扩展 重点研究重点研究:二重积分二重积分三重积分三重积分第五章第五章 多多 元元 函函 数数 积积 分分 学学5.1二重积分概念和性质5.2二重积分计算 5.3二重积分简单应用解法解法: 用定积分思想解决此问题:5.1.1 二重积分的概念二重积分的概念例例1 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 曲顶柱体曲顶柱体:0),(yxfz底：底： xoy 面上的闭区域 d顶顶: 连续曲面侧面：侧面：以 d 的边界为准线

2、, 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“分割;近似代替; 求和, 取极限” d),(yxfz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 161电影网电影网整理发布整理发布d),(yxfz 1)“分割”用任意曲线网分d为 n 个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“近似代替”在每个k, ),(kk3)“求和”nkkvv1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfvkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk机动 目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限”令)(max1knkdnkkkkfv10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk机动 目录 上页 下页 返回

3、结束 的直径为定义k是指一个闭区域上任)(kd意两点间距离的最大者.例例2 非均匀平面薄片的质量非均匀平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 d ,),(yx计算该薄片的质量 m .度为),(),(常数若cyx设d 的面积为 , 则cm若),(yx非均匀 , 仍可用其面密 “分割, 近似代替,求和, 求 极限” 解决.1)“分割”用任意曲线网分d 为 n 个小区域,21n相应把薄片也分为小区域 .d机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx2)“近似代替”中任取一点k在每个),(kk3)“求和”nkkmm1nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knkd令nkkkkm1

4、0),(limk),(kk), 2, 1(),(nkmkkkk则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求两个问题结构形式相同“分割,近似代替, 求和,取极限”nkkkkfv10),(limnkkkkm10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:),(yxf设将 d 任意分成 n 个小区域), 2, 1(nkk任取一点,),(kkknkkkkf10),(lim可积可积 , ),(yxf则称dyxfd),(),(yxf上式记为在d上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,和

5、式极限dyxfd),(积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 d上连续函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 nkkkkf1),(kkkf),(作乘积并作和)(max1knkdn个小闭域最大直径,和式极限存在dyxfvd),(曲顶柱体体积可写成:dyxmd),(平面薄板的质量可写成:如果 在d上可积,),(yxf也常d,ddyx二重积分记作.dd),(dyxyxf,kkkyx 这时分区域d , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作dyxyxfdd),(dyxyxdd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分注意的问题二重积分注意的问题:若函数),(yxf),(

6、yxf(1)在d上总是可积可积.在有界闭区域 d上连续,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 dddudvvufdxdyyxf).(),( (2)二重积分与积分变量无关与被函数和积分区域有关,(3)几何上二重积分等于d上各部分区域上的柱体 体积的代数和.(4) 用二重积分的方法可扩展三重积分,即:iiiniiufdxdydzzyxf)(),(10lim5.1.2 二重积分的性质二重积分的性质dyxfkd),(. 1( k 为常数)dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3dddyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfd上若在dddd1 为d 的面积, 则 ),(2

7、121无公共内点ddddddyxfkd),(ddyxgyxfd),(d),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别, 由于),(),(),(yxfyxfyxfdyxfd),(则dyxfd),(dyxd),(5. 若在d上),(yxf, ),(yxdyxfd),(6. 设),(min),(maxyxfmyxfmddd 的面积为 ,myxfmdd),(则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.(二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(d),(),(fdyxfd在闭区域d上 为d 的面积 ,则至少存在一点使连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.2 二重积分的计算 二重积分的计算的思想

8、: 把二重积分计算转化成两个定积分的计算,二重积分计算问题就解决了.分别讨论直角坐标系下和极坐标系下的直角坐标系下和极坐标系下的二重积分的计算二重积分的计算.xbad 5.2.1、在直角坐标系下二重积分的计算、在直角坐标系下二重积分的计算设曲顶柱体积分区域d为x型区域bxaxyxyxd)()(),(21任取, ,baxi平面ixx 故曲顶柱体体积为dyxfvd),(yyxfxaiixxiid),()()()(21截面积为yyxfxxd),()()(21baniiixxaxxad)()(10lim截柱体的)(2xy)(1xyzxyoabixd机动 目录 上页 下页 返回 结束 ydcxo)(2y

9、x)(1yxyydcd dycyxyyxd),()(),(21同样, 曲顶柱体积分区域d为y型区域则其体积可按如下两次积分计算dyxfvd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd机动 目录 上页 下页 返回 结束 总结利用直角坐标下二重积分计算总结利用直角坐标下二重积分计算bxaxyxd)()(:21dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd若d为 x 型区域 则)(1xy)(2xyxboydax若d为y 型区域dycyxyd)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcyddyxyxfdd),(则机

10、动 目录 上页 下页 返回 结束 矩形积分区域既是x型又是y 型区域 : dcbabadcddydxyxfdxdyyxfdxdyyxf),(),(),(0 a b xdcy例3 计算dxdyyxd)341 (11, 22:,yxdy-22 x1-1解: 矩形区域既是x型区域又是y 型区域,先对哪个变量积分都可以.dxdyyxd)341(dyyxdx)341 (2211dxyyx112226)41(842)41 (222222xxdxx例例4 计算,ddyx其中d 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,:dxyx ddyxd21dy212221d2yy

11、xyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 另一解法另一解法: 先对y 后对 x积分,dyxd机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyxxd, 10:1xyxxd2, 41 :22dxy22 xy214oyx1d1ddyx2ddyx10412xxxxxydydxxydydx两种解法相当交换积分顺序,即型相互转化型与yxdd例例5. 计算,dd2dxyxe其中d 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域.oxyd11xxy 解解: 由被积函数可知,因此取d 为x

12、型域 :100:xxyddxyxedd2xy0d10d2xxex01212xe)11 (21e10d2xex1x先对 x 积分不行, 说明说明: 由被积函数考虑交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6 更换下列积分 i 的次序31)3(210100),(),(2xxdyyxfdxdyyxfdxi2xy )3(21xy0 1 2 3 1dyydxyxfdydxdyyxfi1023),(),()3 (210 , 31 :2xyxd 解 : 210, 10:xyxdxi型区域的转化成y型区域10 ,23:yyxyd转化成y型区域10 ,23:yyxydxyokkr2)(21忽略高阶无穷

13、小5.2.2 在极坐标下二重积分的计算在极坐标下二重积分的计算在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积kkkkkkrrr221)(),2, 1(nkkkkkkrrkkkr221kkkrr221)(及射线 =常数, 分划区域d 为krkrkkkr机动 目录 上页 下页 返回 结束 rdrddrrkkkk即dyxfd),(ddrr所以drrf)sin,cos(drrddrd机动 目录 上页 下页 返回 结束 )20 ,0(sin,cosrryrx又因为)sin,cos(),(rrfyxfdo)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrr

14、f设,)()(:21rd则drrrrfdd)sin,cos(d特别特别, 对20)(0:rddrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(rod机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 f 1 则可求得d 的面积d)(21202dd思考思考: 下列各图中域 d 分别与 x , y 轴相切于原点,试答答: ;0) 1 ()(rdoyx)(rdoyx问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2(机动 目录 上页 下页 返回 结束 dd例例8 计算二重积分yyx222,d22dyx其中d 为圆周yyx222所围成的闭区域.sin2rdrdrdr原式drdrrsin200

15、3sin20203d832cos) 1(cos38sin380203dd解解: 利用极坐标:dsin20r0机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.计算,dd22dyxyxe其中.:222ayxd解解: 在极坐标系下,200:ard原式drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角2reddrr20d由于故坐标计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用例9可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的广义积分公式2d02xexdyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例9的结果, 得)1 (limd42220aaxexe

16、故式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 事实上, 当d 中,面为时xoydadyxyxedd22yexeyxdd22dyxyxedd22yexeyxdd22dyxyxedd22yexeyxdd22yexeyxdd22二、空间立体的体积二、空间立体的体积 一一.平面图形的面积平面图形的面积 二、平面薄板的重心二、平面薄板的重心 *三、物体的转动惯量三、物体的转动惯量* 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.35.3二重积分的简单应用二重积分的简单应用 5.3.1 几何上的应用5.3.2 物理及力学上的应用一. 平面薄板的质量积所围成的平面图形的面224,xyxy一一.平面图形的面积平面

17、图形的面积例10 求抛物线)2, 2(2xy 24 xy)2,2(解dxxdydxdxdy2042222316)24(2202dxxd-x 型区蜮ddxdx若 f 1 则可求得d 的面积ddxdx若 f 1 则可求得d 的面积若 f 1 则可求得d 的面积ddxdx若 f 1 则可求得d 的面积ddxdx若 f 1 则可求得d 的面积ddxdx若 f 1 则可求得d 的面积积所围成的平面图形的面224,xyxy例10 求抛物线积所围成的平面图形的面224,xyxy例10 求抛物线积所围成的平面图形的面224,xyxy例10 求抛物线例例11. 求两个底圆半径为r 的直角圆柱面所围的体积.xyz

18、rro解解: 设两个直圆柱方程为,222ryx利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxrvddd822220dxryxxrrd)(80223316r222rzx22xrz 00:),(22rxxrydyxxxrrd8022222ryx222rzxd机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、空间立体的体积二、空间立体的体积5.3.2 物理及力学上的应用一. 平面薄板的量解 积分区域看成d-x区域xyxd10 , 10:10210222)()(dyyxdxdxdyyxmxd613)1 (33102dxxxxo 1 xxy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 x

19、y1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 x

20、y1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1 xy1yxy1 xy1yxy1yxy1例12设平面薄板的面密度为,),(22yxyx1 ,0,0 x yxy 所围成的平面薄板的质量.求由设平面有n个质点, ),(kkyx其质量分别, ),2, 1(nkmk由力学知, 该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyy设物体占有平面区域d,),(yx有连续密度函数则 公式 ,分别位于为为即:采用 “分割, 近视代替, 作和, 取极限” 可导出其质心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、平面薄板的重心二、平面薄板的重心 *将

21、d 分成 n 小块, ),(kk将第 k 块看作质量集中于点),(kk例如,nkkkknkkkkkx11),(),(令各小区域的最大直径,0dddxdyyxdxdyyxxx),(),(系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 dddxdyyxdxdyyxyy),(),(4例例13. 求位于两圆sin2rsin4r和的质心. 2d解解: 利用对称性可知0 x而dyxyaydd1drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之间均匀薄片0dsin3143212oyxc机动 目