直线与圆的位置关系、切线03(完结)

1、2.直线与圆的位置关系3切线学习目标导航1.经历探索直线与圆的位置关系的过程，理解直线与圆的三种位置关系。2.了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线。3.掌握经过圆上一点画圆的切线的方法。4.掌握切线长定理。5.理解三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念。课前知识回顾如图所示，设O的半径为r，点A在O内（OA<r），点B在O上（OB=r），点C在O外（OC>r）。大知识点全明白知识点1直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。提醒：1.直线与圆的位置关系是以公共点的个数进行定义的，因此应注意下列语句：没有公共点，有唯一

2、一个公共点，有两个公共点。2.直线与圆的位置关系反映了三种不同的关系，是数形结合的典范。我们可以用直线与圆的公共点的个数来判断它们的位置关系，也可以用圆心到直线的距离（通常用d表示）与半径（r）的大小关系来判定它们的位置关系。如下表。例：在RtABC中，C=900，AC=6cm，BC=8cm，以C为圆心，r为半径画圆。（1）当r=4cm，求C与直线AB的位置关系；（2）当r=4.8cm，求C与直线AB的位置关系；（3）当r=6cm，求C与直线AB的位置关系；（4）若C与斜边AB只有一个公共点，求r的取值范围。解析：要判断C与直线AB的位置关系，只需要求出圆心C到直线AB的距离CD，再比较CD与

3、r的大小关系即可。点拨：比较圆心到直线的距离d与该圆半径r的大小关系是判定直线与圆的位置关系的常用方法。知识点2：切线的性质与判定切线的判定：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）切线的判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。提醒：（1）是定义判定法；（2）是体现数量关系；（3）是判定定理。（2）（3）是判定一条直线是圆的切线的常用方法，但在（3）中需要注意作为已知条件的“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”缺一不可，下图中的直线l均不是O的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径，如图所示，OA是O的半径，C

4、D与O相切于点A，OACD。在切线的性质定理中，必须同时满足：垂直于半径；半径经过切点。例1：如图所示，已知OC为AOB的平分线，M为OC上一点，以M为圆心的M与OA相切于点D。求证M与OB也相切。审题关键：证明直线与圆相切，注意添加辅助线，连结MD，过点M作MEOB于E。解析：已知条件中并未给出特征的切线与圆是否有公共点，因此应判断圆心到直线的距离是否等于半径。答案：证明：连结MD，过点M作MEOB于E。AO为M的切线，AODM，又OC平分AOB，MEOB，MD=ME（角平分线上的点到角两边的距离相等）。即圆心M到OB的距离等于半径，M与OB相切。点拨：证明一条直线是圆的切线，常用的方法有两

5、种：（1）特征“切线”与圆有公共点时，连结圆心与公共点，证所连半径与特征切线垂直；（2）特征“切线”与圆不知是否有公共点时，过圆心作“切线”的垂线段，证垂线段的长等于半径。例2：如图1所示，AB是O的弦，AC是O的切线，A为切点，BC经过圆心，若B=250，则C的大小等于 （ ）A、200 B、250 C、400 D、500 图1 图2审题关键：AC是切线，为了利用切线所以连结OA，构建新的三角形求解。解析：如图2所示，连结OA，AC是O的切线，OAC=900，OA=OB，B=OAB=250，AOC=500， C=400答案：选C。点拨：已知切线时常作的辅助线是连结圆心与切点，构建直角三角形再

6、利用其性质求解。知识点3：切线长及切线长定理切线长的概念：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。如图所示，PA，PB为O的两条切线，点A，B为切点，则线段PA，PB的长即为点P到O的切线长。切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。如上图所示，PA，PB是O的两条切线，点A，B为切点，则PA=PB，APO=BPO。提醒：（1）要明确切线和切线长是两个不同的概念。切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。（2）切线长定理是圆的轴对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相

7、等、垂直关系等提供了理论依据。例1：如图所示，PA，PB是是O的两条切线，切点分别是A，B，如果 P=600，那么 AOB等于（ ）A、600 B、900 C、1200 D、1500解析：PA，PA，PB是是O的两条切线，PAOA，PBOB。PAO=PBO=900.根据四边形的内角和为3600可得P+AOB=1800.AOB=1800-P=1800-600=1200.答案：C。点拨：遇切线得垂直是解决切线问题的重要方法。例2：如图所示，从O外一点P引O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若PA=8cm，C是弧AB上的一个动点（点C与A，B两点不重合），过点C作O的切线，分别交PA，PB于点

8、D，E，则PED的周长是 。审题关键：根据切线长定理得到相等的线段，然后将PED的周长转化为两线段PA，PB的长度和。解析：PA，PB是O的切线，PB=PA=8cm。DA，DC是O的切线，DA=DC。又EC，EB是O的切线，EC=EB。PED的周长=PD+PE+DE=PD+PE+DC+EC=PD+DC+PE+EC=PD+DA+PE+EB=PA+PB=8+8=16（cm）。答案：16cm知识点7：三角形的内切圆、内心提醒：三角形外心、内心的有关知识比较如下表：例：如图1所示，I是ABC的内心，A=80°，求BIC的度数。解：点I是ABC的内心，1=12ABC，2=12ACB，1+2=1

9、2（ABC+ACB）。又ABC+ACB=180°-A=180°-80°=100°，1+2=12×100°=50°，BIC=180°-（1+2）=180°-50°=130°。 图1 图2点拨：如图2所示，在ABC中，若已知I是内心，则BIC=90°+12BAC，AIB=90°+12ACB，AIC=90°+12ABC。这是此题的一般结论，记住它对解有关的填空题、选择题很方便。课堂提问解答问题1：切线与切线长的关系？答：切线是一条直线，而切线长是切线中的一段线段

10、；切线是不能度量的，而切线长可以度量，它的两个端点分别是切点和切线上在圆外的一点。问题2：三角形外心与内心的关系？答：三角形外心是三角形外接圆的圆心，它是此三角形三条垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点距离相等；三角形内心是三角形内切圆的圆心，它是此三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三条边的距离相等。教材中栏目答案教材第50页“云图”答案：当r=8时，有一个公共点；当r=9时，没有公共点。教材第51页“做一做”答案：一个公共点。教材第51页上数第二个云图答案：先连结圆心O与圆上的任意一点A，再过点A作直线lOA，则直线l就是所要画的切线。类型一：直线与圆的位置关系的判定及应用例：如图所示

11、，已知中，CD于点D，AC=4cm，BC=cm，以点C为圆心，cm为半径作圆，问AB与的位置关系是怎样的？审题关键：解决直线与圆位置关系需要知道半径及圆心到直线的距离，所以本题的解题关键在于求出圆心到直线的距离。解析：要判断AB与的位置关系，需要求出CD的长度，再与半径cm相比较即可，而求CD的长度可考虑使用勾股定理和面积法。答案：解：在中，由勾股定理得AB=。又，即，。CD的长与的半径相等，即点C到AB的距离等于的半径。与AB相切。点拨：（1）利用代数方法证明圆的切线，即先计算线段CD的长，然后与半径相比较。（2）求点到直线的距离通常利用勾股定理或直角三角形的有关性质，如本题中利用了两种方法

12、求同一直角三角形的面积，从而求出线段CD的长。类型二：切线的判定定理的应用例：（2014.东营中考）如图所示，AB是的直径，OD垂直弦AC于点E，且交于点D，F是BA延长线上一点，若。（1）求证FD是的一条切线；（2）若AB=10，AC=8，求FD的长。审题关键：（1）要证明FD是切线，需要证明。（2）利用相似求切线长FD。解析：（1）利用圆周角定理、平行线的判定以及切线的判定定理得出，进而得出结论。（2）利用垂径定理得出AE的长，再由勾股定理求出EO的长，最后利用相似三角形的判定与性质得出FD的长。答案：证明：（1）由题意的，AC，OD，是的一条切线。解（2），DOAC，AE=EC=4，AO

13、=5，由（1）知AEFD，解得FD=。点拨：此类型题主要考察了相似三角形的判定性质以及切线的判定定理等知识，通过角等证明平行，在得出相似是此类题的关键。类型三利用切线长定理进行相关证明例：如图所示，AB，CD为的切线，ABCD，EF也是的切线，分别交AB，CD于点E，F，请判断EFO的形状，并说明理由。审题关键：本题给出三条切线，试判断三角形形状，需要利用切线长定理通过角之间关系来说明。解析：根据切线长定理可以得到1=2，3=4，然后再利用平行线的性质求出2+3=90°，从而判断EFO的形状。答案：解：EFO为直角三角形。理由如下：EB，EF是的切线，1=2=。FD，FE是的切线，3

14、=4=。ABCD，BEF+DFE=180°。2+3=+=90°。EOF=90°，EFO为直角三角形。点拨：此类题利用切线长定理得出平分角，切线长定理是证明角相等、线段相等的重要依据。类型四切线的性质定理与判定定理的综合应用例：如图所示，AB是的直径，AP是的切线，A是切点，BP与交于点C。（1）若AB=2，P=30°，求AP的长；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是的切线。审题关键：（1）利用直径与切线构建的直角三角形性质求解。（2）证明直线是切线利用切线的判定方法：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。解析：（1）AP是的切线，A是切

15、点，PAB是直角三角形，根据勾股定理或三角函数求出AP的长；（2）求证CD是的切线，已知C是切点，考虑连结过切点的半径OC。又AB是的直径，想到直径所对的圆周角是90°，试着连结AC。答案：（1）解：AP是的切线，A是切点，BAP=90°。AB=2，P=30°，PB=4。在RtABP中，由勾股定理得AP=。（2）证明：如图所示，连结AC，OC。AB是的直径，ACB=ACP=90°。D为AP的中点，CD=AD。DCA=DAC。OA=OC，OAC=OCA。DCA+OCA=DAC+OAC=90°，即OCD=90°。OCCD。又OC为的半径，

16、直线CD是的切线。点拨：证明某直线是圆的切线时，若已知切点，则需要连半径证垂直，这是证明切线的常用方法。本题又综合考查了切线的性质、直角三角形的性质等，通过等角之间的转化，达到解决问题的目的。类型五：巧解直角三角形的内切圆的半径例：如图所示，RtABC中，C=90°，与AB，AC，BC分别相切于点D，E，F，AB=c，AC=b，BC=a，求的半径。解析：连结OE，OF，由切线长定理可列方程组求解。答案：解：连结OE，OF。与AB、AC、BC分别相切于点D，E，F，BD=BF，AD=AE，CE=CF。设BD=x，AD=y，CE=z，则解得BC，AC是的切线，C=90°，OEC

17、=OFC=C=90°。又CE=CF，四边形OECF为正方形，的半径OE=CE=。点拨：直角三角形的内切圆半径可简单的记为“”，熟记这一结论，在解填空、选择题时可节省不少时间。类型六：三角形内切圆的应用例：如图所示，王奶奶有一块三角形布料，ABC=90°，她要裁一块圆片，已知AB=60cm，BC=80cm，为了充分利用这块布料，使剪下来的圆片直径尽量大些，她应该怎样裁剪？这个圆的直径是多少？解析：三角形中裁下的最大圆是这个三角形内切圆，最大圆的直径就是内切圆的直径。答案：解：如图所示，设O为ABC内切圆的圆心，r为内切圆的半径。AB=60，BC=80，ABC=90°

18、，AC=。，。r=20.即王奶奶应该剪出这个三角形的内切圆，这个圆的直径是40cm。点拨：利用面积相等，列出方程求解，是利用代数知识解决几何问题的常用方法。类型七：三角形内心与外心的综合应用例：如图所示，是ABC的外接圆，点I是ABC的内心，延长AI交于点D，连结BD。请你探究并解答下列问题：（1）线段BD，ID又怎样的数量关系？证明你的结论。（2）若弦AD与BC相交于点E，则ID，DE与AD之间满足怎样的关系式？请写出并说明理由。解析：（1）如图所示，连结BI，根据三角形内心的概念与性质，得到1=2，3=4，然后利用圆周角定理及三角形外角的性质证明DIB=DBI，从而得到BD=ID；（2）通

19、过证明DBEDAB得到BD，DE，AD之间满足关系式再利用BD=ID进行转化。答案：解：（1）BD=ID。证明如下：连结BI，如图所示，点I是ABC的内心，1=2，3=4.弧CD=弧CD，2=5，1=5，1+3=4+5，即DIB=DBI，BD=ID。（2）ID=DE，理由如下：由（1）知5=1，而D=D，DBEDAB，。由（1）知ID=BD，ID=DE。点拨：本题是考查三角形外心与内心的概念与性质，遇到三角形的外心，应联系运用圆周角的定理及其推论，而遇到三角形的内心，则一般要联系运用角平分线有关知识。类型八：有关圆的切线的实际应用题例：小明家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测量锅的直径（锅沿所

20、形成的圆的直径），而小明家只有一把长20cm的直尺，根本不够长，怎么办呢？小明想了想，采取如下办法：如图1所示，首先把锅平放在墙根，锅沿刚好靠到两墙，用直尺紧贴墙面量得MA的长（如图2）所示，即可求出锅的直径。请你利用图2说明他这么做的理由。解析：本题是一道实际问题的应用，巧妙的利用“墙角”构造“切线长”，将圆的直径问题转化到了“墙上”测量线段的问题。答案：解：如图2所示，假设圆心为O，连结OA，OB。MA，MB与相切于点A，B，OAM=OBM=90°。又M=90°，OA=OB，四边形OAMB为正方形，OA=MA。量得MA的长度，再乘以2就是锅的直径。2个易混易错全明白易错

21、点1判断直线和圆的位置关系时考虑问题不全面例：的圆心到直线l的距离为d，的半径为R，若是方程的两个实数根，则直线l和的位置关系是 。解析：圆心到直线距离和半径分别是方程的两个实数根，解出两个根。所以d，R可能是d=4，R=5或d=5，R=4两种情况。答案：相交或相离。点拨：此题方程两个解可以是分别对应d和R，考虑问题时候一定要全面。易错点2证明过程不严谨例：如图所示，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，以O为圆心的圆与AB边相切于点E。求证： 与其他三边都相切。审题关键：证与其他三边都相切，不知与三边是否有公共点，不能连结圆心O与直线上某一点，只能先过圆心O作其他三边的垂线段，然后证

22、明垂线段等于半径。答案：证明：如图所示，连结OE。AB切于点E，OEAB。作OFBC交BC于点F。四边形ABCD为菱形，BD平分ABC，OF=OE，与BC相切于点F。作OGCD交CD于点G，OHAD交AD于点H。同理可证，与CD，AD分别相切于点G，H，与其他三边都相切。点拨：证明某条直线为圆的切线时，当切点未确定时，只能先过圆心O作直线的垂线段，然后再证明垂线段等于半径。不能想当然地把某一点当做切点，从而导致证明出错。中考与教材习题全明白1.教材50页练习第1题答案：解（1）两个公共点，相交。（2）一个公共点，相切。（2）无公共点，相离。中考题（2012.江苏无锡中考）已知的半径为2，直线l

23、上有一点P满足PO=2，则直线l与的位置关系是（ ）A、相切 B、相离 C、相离或相切 D、相交或相切解析：当POl时，与直线l相切；当PO与直线l不互相垂直时，点O到直线l的距离小于2，此时与直线l相交。答案：D。点拨：中考题与教材练习题都考查了根据圆心到直线的距离和圆的半径判断直线与圆的位置关系。教材练习题直接比较后即可得出结论，而中考题中没有明确PO与直线l的位置关系，所以要分情况讨论。此题容易忽视PO不一定与直线l垂直而出错，需要特别注意。2.教材55页练习第1题答案：解：是ABC的内切圆，BDO=BEO=CFO=90°。 DOE=120°，B=360°-

24、90°-90°-120°=60°。EOF=150°，C=360°-90°-90°-150°=30°，A=180°-B-C=180°-60°-30°=90°，A=90°，B=60°，C=30°。中考题（2013.重庆中考）如图所示，P是外一点，PA是的切线，PO=26cm，PA=24cm，则的周长为（ ）A、18cm B、16cm C、20cm D、24cm解析：连结AO，PA是的切线，OAP=90°，AO=

25、（cm），的周长=2OA=20cm答案：选C。点拨：中考题与教材练习题都考查了切线的性质，利用切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”来解决问题，区别在于教材练习题需要利用四边形的内角和为360°来解决，而中考题则需要添加经过切点的半径这条辅助线来解决。3教材第52页练习第2题答案：证明：AB为的直径，BDA=90°。B+BAD=90°。而B=CAD，故有CAD+BAD=90°。BAAC。AC为的切线。中考题（2013.湖北黄冈中考）如图所示，AB为的直径，C为上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分DAB。（1）求证：DC为的切线；（2）若的半径为3，AD=4，求AC的长。解析：（1）连结OC，证OCCD即可得到DC为的切线。（2）因为AB为直径，所以考虑连结BC。在RtADC与RtACB中，有两个角相等，证得ADCACB，依此列出比例式求出AC的长即可。答案：（1）证明：连结O