浙江省宁波市镇海区年高中数学竞赛模拟试题(三)

1、浙江省宁波市镇海区2017年高中数学竞赛模拟试题(三)一、 填空题，每题8分cos x1 31.设 sin x cosx ，贝y sin x22.设i为虚数单位，化简(i1)2°162oi6(i 1)3.已知等差数列a, a2,卄| aiooo的前ioo项之和为100,最后ioo项之和为iooo,则 a4.集合 x 2x 3x x R n 1,2,ioo共有_个元素，其中x表示不超过x的最大整数。5.若关于x的方程x2 aex有三个不同的实根，则实数 a的取值范围是 6.在如图所示的单位正方体 ABCD A1B1C1D1中，设0为正方体的中心，点 M , N分别在2,则四面体OMNB

2、i的体积等于37.已知抛物线P以椭圆E的中心为焦点,P经过E的两个焦点，并且P与E恰有三个交点,则E得离心率等于简答题8.已知数列an满足比1,a15,an22an 1 3an 192an 22。用数学归纳法证明:9.证明：对任意的实数 a,b,c都有.，孑ab b2 .oT ac cJ3a(a b C) 并求等号成立的充分必要条件。10.求满足1 mn nm mn的所有正整数对(m, n)2017年高中数学竞赛模拟试卷(3)答案填空题，每题8分1.设 sin x cosx-，贝y sin3x cos3x 1解答：由sin x cosx ,可得122sin xcosx故 sin xcosx33

3、2sin x cos x (sinx cosx)(sin x2.设i为虚数单位，化简(i1)2016 (i 2 、1311cosxsin x cos x)-(1-)2816/、20161)1)20160082同理可得(i2解答：由(i 1) 2i ，可得(iJ00822016 2016(i 1) (i 1)1009f(2) 4e2，当 x3.已知等差数列 a!,a2J|a1000的前100项之和为100,最后100项之和为1000,则厲a10.5054.集合 x2x3x xR H 1,2，,100 共有个元素，其中x表示不超过x的最大整数。解答：设f (x) x2x3x 则有 f (x 1)

4、f (x)6，当 0 x1时，f(x)的所有可能值为0,1,2,3.由此f(x)得值域S 6k,6k 1,6k2,6k3k Z5x 2x3x xR 戸 1,2,1004 17 167个元素。5.若关于x的方程x2ae有三个不同的实根，则实数a的取值范围是解答：设f (x) x2ex2x，则 f'(x)(2x x )e 当 x0 时，f(x)x2e x单调递减，当解答：设等差数列的公差为d,则有 100 a14950 d100 , 100a194950 d 1000 解得0 x 2时，f(x) x2e x单调递增，当x 2时，f (x) x2e x单调递减,f(0) 0 ,时f (x)0

5、因此，f (x) x2e x a有三个不同的实根当且仅4e6.在如图所示的单位正方体 ABCD A1B1C1D1中，设0为正方体的中心，点 M , N分别在12棱AD1QC1上，AM -,CN,则四面体OMNB1的体积等于23解答：以A为原点，AB, AD, AA1为x, y, z轴建立空间直一 1 1 1 2角坐标系,则有 0(, ,0), M (0, ,1),N(1,1,- ), B(1,0,1)2 22, 3由此四面体OMNB1的体积V7.已知抛物线P以椭圆E的中心为焦点，1172P经过E的两个ON焦点，并且P与E恰有三个交点，则 E得离心率等于2X解答：不妨设椭圆E的方程为a24 1(

6、a bb 0)，经过E的两个焦点，x2 2cy c2b22c，P与E恰有三个交点，所以 c2b，则四、简答题8.已知数列a*满足比1,a15,an12an3an 1C1NCABE得离心率等于en 2。用数学归纳法证明:证明：a01 223, a(3523,从而nan 20,1成立。当n 2时假设an 12n3，an 22n由递推公式可得22an 13an 1an 2an 292(2n 1 3)23(2n 1 3)2(2n 3)4 22n 15 2n 92n2 32n由此，an 2n 23对一切n 0成立。9.证明：对任意的实数a,b,c都有，.a2abb2 a2acc2-3a2(a b c)2

7、并求等号成立的充分必要条件。证明方法一：.a2 ab b2. a2 ac c23a2 (a b c)2 两边平方2a2a(b c)b2c22：(a2abb2)(a2acc2)4a2 2a(b c) (bc)2移项合并 . (a2abb2)(a2acc2) a2a(bc)bc两边平方展开可得a4 a3(b c) a2(b2 bc c2) abc(b c) b2c21 移项合并a4 a3(b c) a2( (b c)2 2bc c2) abc(b c) b2c223a2(b2 c2) 3a2bca2(b c)2 042不等式成立的必要是 a(b c) 0当a 0不等式等号成立等价于bc 0,当b

8、c时不等式等号成立。综上所述，不等式等号成立的充分必要条件是a 0且bc 0或者b c证明方法二：设向量b 一 2贝c一 3 -c - 2.a2 ab b2 一 a22ac cmn的所有正整数对（m, n）解答：引理1: f(x)lnx在（0,e上单调递增，在e,x上单调递减。x 0 时，ln(1 x) x由引理1可得mn情形一：n 1,m情形二：m 2, n由 g(5)3,g(6)引理2:当nm 尬M有以下情形,m n2， （m,n）均满足题设5设 g(x) 2x x2 2x,x 5则 g'(x)2x|n2 2x 2016，可得满足题设条件的（m, n）只有（2,5）情形三：m 3,n2易知满足要求。(2 a b £ c)2 #(b c)2_(a_b_孑是、平行且方向相同。当/ 时，c(a -)-b(ac)=0a(b c) 0，以下同证22明方法一。根据三角不等式即可得所要证明的不等式，不等号成立的充分必要条件10.求满足1n m m n情形四：m 3,n m 1，设g(x)x mmxmx 当 x m1时g'(x)mxln mmmx m xmm 1mxm 1m xm0所以g(x)x mmxmx单调递