2020版《九章方略》二轮微专题20数列中常见的求和问题

1、微专题20数列中常见的求和问题在近年全国各地的高考卷中，多次出现对数列中裂项求和问题的 考查.一方面，这种类型的数列题有本身的规律可循，可以区分不同 层次、不同数学思维能力的考生.另一方面，解答这类题时，又要具 备一定的运算能力甚至技巧，所以考查的频率也就较高 .因微而准因微而细Q佛题导弟EDI设an是等比数歹I，公比大于0,其前n项和为Sn（n6 N*）,bn是等差数列.已知 ai = 1, % = a2 + 2, uf+bs, a5=b4+ 2b6.(1)求an和bn的通项公式；(2)设数列Sn的前n项和为Tn(n 6 N*),求Tn；口口 n (Tk+bk+2)bk2n 2*证明 -=2

2、(n N*)(k+ 1)(k+ 2) n + 2(),史彻 本题考查数列的几种类型的求和问题，本题既有等差、等比数列的求和，也有非等差、等比数列的求和. （1）等差、等比数列， 则先求出基本量，然后代入求和公式求和；（2）第题也是代公式求和， 第题的求和是根据数列的结构特征，采用裂项相消法求和，其中关 键是裂项.客五联想联想问题重构网第Emi已知数列an与bn的前n项和分别为An和Bn,且对任意n6N*, an+1an=2(bn+i bn)恒成立.(1)若 An=n2, bi = 2,求 Bn；(2)若对任意n6N*，都有及a+果a3a4anHn+ 11 .、<a成立，求正实数bi的取值

3、范围. 3EOQI 设数列an满足 ai= 1 , an+1 = an + 重数列bn满足 bn=3n 1an. 3 311正项数列dn满足d2=1 +b2+br.(1)求证：数列bn为等差数列；(2)设数列bn, dn的前n项和分别为Bn, Dn,求数列bnDn + dnBnbndn的前 n 项和 Sn.国I正项数列an的前n项和Sn满足：Sn-(n2+ n-1)S.-(n2 + n) = 0.(1)求数列an的通项公式an； n +1(2)令bn=(n+2)2a2,数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意 5的n 6 N ,都有Tn<.64新题15彝热点在线精典新题已知各项都是正数的

4、数列an的前n项和为&,且2Sn=a2 +1bnan,数列bn满足 b1 =2, 2bn+1 = bn+.2an(1)求数列an, bn的通项公式;b(2)设数列Cn满足Cn = -n+2Sn,求： Ci + C2 + + cn.领强宜题解析因为q>0,可得q = 2,故bn=21,所以Tn =1- 2n1 -2= 2n1.4 分(求出 q 及 bn, Tn)答题标澄减少失分(本小题满分14分)(2018天津卷)设an是等差数列，其前n项和为S(n6N*); bn是等比数列，公比大于0,其前n项和为Tn(n6N*).已知 b1 = 1, b3 = b2 + 2, b4 = a3

5、+ a5, b5=4+ 2a6.求Sn和Tn；(2)若 Sn+(Ti + T2+ - +Tn) = an + 4bn,求正整数 n 的值.(1)设等比数列bn的公比为q,由b=1, b3=b2+2,可得q2 q2= 0.2分(由 条件得到关于q的方程)设等差数列an的公差为d.由b4 = a3+a5,得a1 + 3d= 4.由b5= a4+2a6,得 3a1+13d=16,从而 a1 = 1, d = 1, 6 分(求出 a1，d)2X 1 2nn = -n1-2故an=n,所以Sn=2.8分(求出an及Sn)(2)由(1),有 T1 + T2+ Tn= (21+22+ 2n)-= 2n+1

6、n 2.10 分(求出 T1+T2+ Tn 并化简)由 Sn+(T1 + T2+ + Tn)=an+4bn可得 n21 + 2n+1 n 2 = n + 2n+1, 12 分(推导出关于 n的方程)整理得n23n 4= 0,解得n= 1(舍去)或n=4.所以n的值为4.14分(解出n的值)答题模板第一步：设公比q,由条件列出关于 q的二次方程;第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 第七步解方程求出 q,并求出bn与Tn的表达式；再由已知条件求得 a1及等差数列an的公差d;求出 an及Sn；求出 T1+ T2+Tn的表达式；推导出关于 n的方程；解方程求得 n的值.作业评价E已知幕函数f（x

7、） = x"的图象过点（4,2）,1an=一八一/ 、, nS N，记数列an的刖n项和为Sn，则S2 019I - I 已知等差数列an满足(ai + a?) + (a2 + a3)+ + (an+ an+1)=2n(n+1), n6N*.设 bn = -匚口（2019石景山一模）在数列an中，前n项和Sn满足Sn = n2 + n.若数列1 + bn是首项为1,公比为2的等比数列，则数列bn的 前n项和Tn为.m 已知数列bn的通项公式bn = 9n23n2,则数列）的前 n项和为Sn =.匚口在数列an中，a1=1, an+1 = an+c（c为常数，n6N*）,且a3 a2,

8、 a5成公比不等于1的等比数列，设bn=,则数列bn的前n一,则数列bn的前 n 项和为 Sn = an an + 1x已知函数 f(x) = T-,数列an满足 ai=1, an+i = 3X 11f(an)(n6N).记 Sn = a1a2 + a2a3+anan+i,证明：Sn<-. 3Bl已知数列an, bn分别是等差、等比数列，且ai = bi = 1, a2= b2, a4= b3 b4.(1)求数列an, bn的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，求数列 1的前n项和R; Sn、一anbn(3)设 Cn = an-(n6N ), Tn=Ci + C2+：,求 Tn.Sn+ 1口数列an的前 n 项和为 Sn, a1=2, Sn=an 3+r (r 6 R, n N*).(1)求r的值及数列an的通项公式；(2)设