统考版2022届高考数学一轮复习第二章2.1函数及其表示学案理含解析2021042318（精编版）

1、第一节函数及其表示【知识重温】一、必记3 个知识点1函数与映射的概念两集合 a， b函数a，b 是两个非空数集按照某种确定的对应关系f，对应关系f： a b对于集合 a 中的 一个数 x，在集合b 中有 的数 f(x)和它对应名称那么就称f： ab 为从集合到集合 b 的一个函数记法y f(x)， x a映射a， b 是两个 按某一个确定的对应关系f， 对于集合 a 中的 一个元素 x，在集合b 中都有 的元素 y 与之对应a那么就称对应f： ab 为从集合 a 到集合 b 的一个映射对应 f： a b 是一个映射2. 函数的有关概念(1) 函数的定义域、值域在函数 y f(x)，x a 中，

2、 x 叫做自变量， x 的取值范围a 叫做函数的 ；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值， 函数值的集合 f( x)|x a 叫做函数的 .显然， 值域是集合 b 的子集(2) 函数的三要素 、 和 .(3) 相等函数如果两个函数的? 和? 完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据(4) 函数的表示法表示函数的常用方法有：? 、? 、? .3. 分段函数(1) 若函数在其定义域的不同子集上，因? 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数(2) 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的? ，其值域等于各段函数的值域的? ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数

3、二、必明3 个 易 误 点1解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则2. 易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从a 到 b的一个映射，a， b 若不是数集，则这个映射便不是函数3. 易误把分段函数理解为几种函数组成【小题热身】一、判断正误1. 判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“×”)1(1)f(x)3 x是一个函数 ()x 41(2) ar ， b r， f： x y，表示从集合a 到集合 b 的映射 (也是函数 ) ()x 1(3) 函数 f(x)的图象与直线x 1 的交点最多有2 个 () (4)y 2x(x 1,2) 的值域是2,4

4、.()(5)y ln x2 与 y2ln x 表示同一函数()(6)f(x)x2 1， 1x 1，x 3， x>1或x< 1，则 f( x)x2 1， 1 x 1，() x3，x>1或x< 1.二、教材改编2. 下列函数f(x)与 g(x)是同一个函数的是()x224a f( x)x 1， g(x) x 1b f( x) x ， g(x) (x)c f( x) x2， g(x) 3 x6d f(x) x， g(x)x2x 1 2， x 1，3. 已知函数f(x)三、易错易混x 1， 1<x 0， x 1 2， x>0，2x， x>0，则 f( f( 2

5、) .4. 已知函数f(x)x 1， x 0.若 f(a) f(1) 0，则实数a 的值等于 ()a 3b 1c 1 或 3d 35. 函数 y x2x 1的值域为 四、走进高考62019 ·江苏卷 函数 y7 6x x2的定义域是 考点一函数的定义域 自主练透型 112020 ·北京卷 函数 f (x)ln x 的定义域是 lg 2x 2函数 y12 x x2x 1 (x1)0 的定义域是 ()a x| 3< x<1b x| 3< x<2 且 x 1 c x|0<x <2d x|1<x<232021 ·抚州模拟 若

6、函数 f(x)的定义域为 0,6 ，则函数 f 2xx3的定义域为 ()a (0,3)b 1,3) (3,8c 1,3)d 0,3)悟·技法考点二函数的解析式 互动讲练型 2例 1(1)已知 f 1 lg x，则 f(x)的解析式为 x(2)若 f(x)为二次函数且f(0) 3，f(x 2) f(x) 4x 2，则 f(x)的解析式为 (3)已知函数f(x)满足 f ( x) 2f(x) 2x，则 f(x)的解析式为 悟·技法求函数解析式常用的方法变式练 (着眼于举一反三)1. 已知 f(x 1)x 2x，则函数f(x)的解析式为 2. 若函数f(x)是一次函数，且f(f(

7、x) 4x 3，则函数f(x) 的解析式为 3. 已知 f(x)满足 2f( x) f1x 3x，则 f(x) .考点三分段函数 分层深化型 考向一：求分段函数的函数值例 2(1)2021 合·肥一检 已知函数f( x)x1， x>2， x 2x2 2， x 2，则 f(f(1) ()1a 2(2)2021 .b 2c4d 11山·西太原三中模拟 设函数f (x) x2 1 x 2 ，log2x 0< x<2 .若f(m) 3 ，则f5 m 2考向二：分段函数与方程、不等式的综合问题4x a， x<1，2例 3(1)设函数 f( x)2x， x 1，

8、若 f f3 4，则实数a ()24a 3b 3c 4或 2d 2 或 2333(2)2018 全·国卷 设函数f(x) ()a (， 1b (0， ) c ( 1,0)d (， 0)2 x， x 0，1， x 0，则满足f(x 1)<f(2x)的 x 的取值范围是悟·技法(1) 基本步骤 确定要求值的自变量属于哪一区间 代入该区间对应的解析式求值(2) 两种特殊情况1. 求分段函数的函数值 当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值 当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点2. 解分段函数与方程或不等式的综合问题的策略求解与

9、分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式应根据每一段的解析式分别求解若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解解得值 (范围 )后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围.同类练 (着眼于触类旁通)42021 ·福州市高三质量检测 函数 f(x) x， x<0ex 1， x 0，则 f(2) f( 1) .2x 12 x 05 2021 ·江西省名校高三教学质量检测 已知函数f(x) ()，则f(f(1) x2 3x3 x>0a 5b 0c 1d 2 变式练 (着眼于举一反三)6202

10、1 ·惠州市高三第二次调研考试试题设函数f(x) .x2x 2 x 1 1 lg x x>1，则 f (f( 4) x， 0<x<1，7设 f (x)2 x 1 ，x1，a 2b 4c 6d 8若 f(a) f( a1)，则 f 1a ()拓展练 (着眼于迁移应用)82021 ·广东金山中学检测 已知 f(x)x2 x 0 ，则 f(f(x) 1 的解集是 ()x2 x<0 ，a (，2b 42， )c (， 1 42， )d (，2 4 ， )第一节函数及其表示【知识重温】非空集合任意唯一确定任意唯一确定定义域值域定义域值域对应关系? 定义域?对应

11、关系? 解析法? 列表法? 图象法? 对应关系? 并集? 并集【小题热身】1答案： (1) ×(2)×(3)×(4) ×(5)×(6)2解析： a 中， f(x)定义域为r， g(x)的定义域为 x|x0 ，定义域不同， f(x)与 g(x)不是同一函数b 中， f(x)定义域为r， g(x)定义域为 x|x0 ，定义域不同， f(x)与 g( x)不是同一函数 c 中， f(x)与 g(x)定义域与对应关系都相同， f(x)与 g(x)是同一函数d 中， f(x)与 g(x)定义域都是r ，但对应关系不同， f(x)与 g(x)不是同一函数故

12、选c.答案： c3解析： f( 2) ( 2 1)2 1，f(f( 2) f(1) (1 1)2 4.答案： 44解析： f(a) f(1) 0， f(a) f(1) 2， 当 a>0 时， 2a 2， a 1(舍去 )，当 a 0 时， a 1 2， a 3.故选 a.答案： a5解析： 令 t2x 1，则 t0，且 xt2 12.t2 11故 y2 t2(t 1)2 1， t 0 ， ).y 12函数 y x2x 1的值域为 1， )21答案： 2，6解析： 由题意知 7 6x x2 0. 即 x2 6x 7 0.解得 1x 7， 故函数的定义域为 1,7 答案： 1,7课堂考点突破

13、考点一1. 解析： 函数 f(x) 答案： (0， )1x 1 ln x 的自变量满足x 1 0， x>0， x>0，即定义域为 (0， )2. 解析： 要使函数解析式有意义，须有2x>0 ，12 x x2>0， x1 0，x<2，解得3< x<4，所以 3<x<2 且 x1.故已知函数的定义域为 x| 3<x<2 且 x 1 x 1， 答案： b3解析： 因为函数f(x) 的定义域为 0,6 ，所以 02x 6，解得 0 x3.又因为 x 3 0，f 2x所以函数x 3的定义域为 0,3) 答案： d考点二例 1解析： (1)

14、( 换元法 )令2 1 t，x得 x2，因为 x>0 ，所以 t>1，t 12所以 f(t) lg.t 1即 f (x)的解析式是f( x) lg2(x>1)x 1(2)( 待定系数法 )设 f(x) ax2 bxc( a 0)， 又 f (0) c 3.所以 f(x) ax2 bx 3，所以 f(x 2)f(x) a(x 2)2 b(x 2) 3 (ax2 bx 3) 4ax 4a 2b 4x 2.4a 4，所以4a 2b 2，a 1，所以b 1.所以所求函数的解析式为f( x) x2 x3. (3)( 解方程组法 )因为 2f(x) f( x) 2x， 将 x 换成 x

15、得 2f( x) f(x) 2x， 由 消去 f( x)，得 3f(x) 6x，所以 f(x) 2x.答案： (1) f(x) lg2x 1(x>1)(2)f(x) x2 x 3(3) f(x) 2x变式练1解析： 解法一 (配凑法 )f(x 1) x 2x (x)2 2x 11 (x 1)21，且x 1 1. f(x) x2 1(x 1)解法二 (换元法 )设 tx1，则 x (t1)2(t 1)代入原式有f( t) (t 1)2 2(t 1) t2 2t 1 2t 2 t 2 1.故 f (x) x2 1(x 1) 答案： f(x) x2 1(x 1)2解析： 设 f(x) ax b

16、(a0)，则 f(f (x) af (x) ba2 xab b 4x 3，a2 4，ab b 3，a2，解得b1a 2，或b 3，f(x) 2x 1 或 f (x) 2x 3.答案： f(x) 2x1 或 f(x) 2x 313. 解析： 因为 2f(x) f x 3x， 所以将 x1用x替换，得2f 1 x1f(x)3 x， 由 解得 f(x) 2x x(x 0)，1即 f (x)的解析式是f( x) 2x x(x 0)(x 0)答案： 2x 1x考点三例 2解析： (1) 因为 f(1) 12 2 3，所以 f (f(1) f(3) 31 4.故选 c.(2)当 m 2 时， m2 13，

17、所以 m 2 或 m 2(舍)； 当 0< m<2 时， log 2m 3，所以 m 8(舍 )32511所以 m 2.所以 f2 m f 2 log 22 1.答案： (1)c(2) 1例 3解析： (1) 因为 2 1，所以 f 2 42a a8.33×338若 a 8 1，即 a 5时， 2a 3 4，33825即 a 3 2? a 3 3(成立 )；8532若 a 3 1，即 a 3时，则 4a 3 a 4，即 a452 3 3(舍去 )，综上 a 3.(2)将函数 f(x)的图象画出来，观察图象可知f(2 x)的 x 的取值范围是 ( ， 0)故选 d.答案：

18、(1)a(2)d同类练2x 0，2x x 1，解得 x 0，所以满足f(x 1)4. 解析： 因为 f(x) 答案： e2 2x，x<0 ex 1， x 0，所以 f(2) f( 1)e2 1 1 e2 2.5解析： f(1) 12 3× 1 3 5，f( 5) 2× ( 5) 12 2，故选 d.答案： d变式练6解析： f( 4) 164 2 10，所以 f(f( 4) f(10) 1 lg 10 0.答案： 07解析： 解法一 当 0<a<1 时， a 1>1. 所以 f(a) a， f(a 1) 2(a 11) 2a. 由 f (a) f(a 1)得 a 2a，所以 a 1.4此 时 f 1a f(4) 2× (4 1) 6.当 a 1 时， a 1>1 ，所以 f(a) 2(a 1)， f (a 1)2( a1 1) 2a.由 f (a) f(a 1)得 2(a 1