《极坐标与参数方程》题型归纳

1、极坐标与参数方程高考高频题型除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及（一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）-利用圆心到直线的距离与半径比较相离，无交点；:rd个交点；相切， 1:rd个交点；相交， 2:rd用圆心（ x0,y0）到直线 ax+by+c=0 的距离2200bacbyaxd，算出 d，在与半径比较。题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x0,y0）到直线 ax+by+c=0 的距离2200bacbyaxd第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式

2、：rddmax，rddmin相切、相交：rddmaxmin0d题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式222drl，d 是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题（弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长）弦长公式21ttl,解法参考 “ 直线参数方程的几何意义 ”（二）距离的最值：-用“ 参数法 ”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“ 参数法 ” ：设点 -套公式 -三角辅助角设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设套公式：利用点到线的距离公式辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一例如： 【2016高考新课标

3、3 理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点， 以轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（i）写出的普通方程和的直角坐标方程；（ii）设点在上，点在上， 求的最小值及此时的直角坐标）的普通方程为，的直角坐标方程为.（解说： c1：相加-平方-化同-利用三角消元：移项sin ycos3x这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边1y3x两道式子相加asinycos3x两边同时平方sin ycos3x222222（）由题意，可设点的直角坐标为（解说：点直接用该点的曲线方程的参数方程来表示）因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，. xoy1c3cos()si

4、nxy为参数x2csin()2 241c2cp1cq2cpqp1c2213xy2c40 xyp( 3 cos,sin)2c|pqp2c( )d|3cossin4|()2 |sin()2|32d（欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）当时）（13sin即当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. （三）直线参数方程的几何意义1.经过点 p(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为为参数）ttyytxx(sincos00若 a，b 为直线 l 上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段 ab 的中点为 m，点 m 所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经

5、常用到：(1)t0=t1t22；(2)|pm|=|t0|=t1t22；(3)|ab|=|t2t1|；(4)|pa| |pb|=|t1 t2|（5）0,0,4)(212121212212121t tttt tttttttttpbpa当当（注：记住常见的形式，p是定点， a、b 是直线与曲线的交点， p、a、b 三点在直线上）【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1 时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点 m(x，y)到 m0(x0，y0)的距离，即 |m0m|=|t|.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t，则弦长12ltt；2.解题思路第一步：曲

6、线化成普通方程，直线化成参数方程第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02cbtat第三步：韦达定理：acttabtt2121,2()6kkz( )d2p3 1(,)2 2第四步：选择公式代入计算。例如：已知直线 l：x532t，y312t(t 为参数 )，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 c 的极坐标方程为 2cos .(1)将曲线 c 的极坐标方程化为 直角坐标方程；(2)设点 m 的直角坐标为 (5， 3)，直线 l 与曲线 c 的交点为 a，b，求|ma| |mb|的值 解(1) 2cos 等价于 22 cos . 将 2x2

7、y2， cos x 代入即得曲线 c 的直角坐标方程为x2y22x0. (2)将x532t，y312t代入式，得 t25 3t180.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数 t 的几何意义即知， |ma| |mb|t1t2|18.（四）一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2 个交点的极坐标，利用极径相减即可。例如： （2016? 福建模拟）在直角坐标系xoy 中，曲线 c1的参数方程为（其中 为参数），曲线 c2：（x1）2+y2=1，以坐标原点 o 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线 c1的普通方程和曲线c2的极坐标

8、方程；（）若射线 =（ 0）与曲线 c1，c2分别交于 a，b 两点，求 |ab|解：（ ）曲线 c1的参数方程为（其中 为参数），曲线 c1的普通方程为 x2+（y2）2=7曲线 c2：（x1）2+y2=1，把 x=cos，y=sin 代入（ x1）2+y2=1，得到曲线 c2的极坐标方程（ cos1）2+（sin ）2=1，化简，得 =2cos（）依题意设 a（），b（），曲线 c1的极坐标方程为 24sin 3=0，将（ 0）代入曲线 c1的极坐标方程，得 22 3=0，解得 1=3，同理，将（ 0）代入曲线 c2的极坐标方程，得，|ab|=| 12|=3（五）面积的最值问题面积最值问题

9、一般转化成弦长问题+点到线的最值问题例题 2016? 包头校级二模）在平面直角坐标系xoy 中，圆 c 的参数方程为，（t 为参数），在以原点 o 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为，a，b 两点的极坐标分别为（1）求圆 c 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点 p 是圆 c 上任一点，求 pab面积的最小值解：（ 1）由，化简得：，消去参数 t，得（ x+5）2+（y3）2=2，圆 c 的普通方程为（ x+5）2+（y3）2=2由 cos （+）=，化简得cossin =，即 cossin =2，即 xy+2=0，则直线 l 的直角坐标方程为xy

10、+2=0；（）将 a（2，），b（2， ）化为直角坐标为a（0，2），b（2，0），|ab|=2，设 p 点的坐标为（ 5+cost，3+sint），p点到直线 l 的距离为 d=，dmin=2，则pab面积的最小值是s= 2 2 =4极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化一、直角坐标的伸缩设点 p(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：）（）（0,0,yyxx的作用下，点 p(x，y)对应到点 p (x ，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示在伸缩变换x x，0y y，0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双

11、曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）【强化理解】1曲线 c 经过伸缩变换后，对应曲线的方程为： x2+y2=1，则曲线 c 的方程为（）abcd4x2+9y2=1【解答】 解：曲线 c 经过伸缩变换后，对应曲线的方程为： x2+y2=1，把代入得到：故选： a2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x29y236 变成曲线x2y21【解答】 解：设变换为 ：xx（ 0），yy（ 0），可将其代入 x2y21，得 2x22y21将 4x29y236 变形为x29y241，比较系数得 13， 12所以x 13x，y 12y将椭圆 4x29y236

12、上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆 x2y21亦可利用配凑法将 4x29y236化为x32y221，与 x2y21 对应项比较即可得xx3，y y23、（2015春?浮山县校级期中）曲线x2+y2=1 经过伸缩变换后，变成的曲线方程是（）a25x2+9y2=1 b9x2+25y2=1 c25x+9y=1d+=1【解答】 解：由伸缩变换，化为，代入曲线 x2+y2=1 可得 25（x ）2+9（y）2=1，故选： a二、极坐标1.公式：（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点直角坐标极坐标互化公式已知极坐标化成直角坐标已知直角坐标化成极坐标2.极坐标与直角坐标的转

13、化（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路a：直角坐标化为极坐标的步骤m, x y,cossinxy222tan0 xyyxx, x y,运用在内由求时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限b:极坐标化为直角坐标的步骤，运用（2）直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路a：直角坐标转化成极坐标思路：直接利用公式，将式子里面的x 和 y 用sincos 和转化，最后整理化简即可。例如： x+3y-2=0：用公式将 x 和 y 转化，即02-sin3cosb：极坐标转化成直角坐标类型：直接转化 -直接利用公式转化例如： ( 2cos sin )1思路：第一步：去括号， 2cos sin 1第二步：用

14、公式转化，即12yx类型：利用三角函数的两角和差公式，即2sin2 coskk或思路：第一步：利用两角和差公式把sin()或 cos )化开，特殊角的正余弦值化成数字，整理化简第二步：利用公式转化例如：直线 l 的极坐标方程是2sin3 33222tan0 xyyxx0,2tan0yxx, x ycossinxycossinxycossinxycossinxy解：第一步：利用两角和差公式把sin()或 cos )化开特殊角的正余弦值化成数字，整理化简，即33cos3sin33)cos23sin21233)3sincos3cossin2（第二步：第二步：利用公式转化0333,33333cos3s

15、inyxxy即类型：角可以不是特殊角）为倾斜角，可以是特殊（，该直线经过原点（极点），对应的直角坐标方程为kxx即ytan y例如：思路：直接代入033yxxyx，33yx33x即y3tany(注：直线的直角坐标方程一般要求写成一般式：ax+by+c=0)三、曲线极坐标与直角坐标互换（一）圆的直角与极坐标互换1.圆的极坐标转化成直角坐标类型一：sincos详解：一般sin,cos要转化成 x、y 都需要跟搭配，一对一搭配。所以两边同时乘以，即0-,sincos22222yxyxyxyx即类型二：2cossinxy(0)3没有三角函数时，可以考虑两边同时平方44222yx即2.圆的直角坐标转化成

16、极坐标3)1()4(22yx解题方法一：拆开 -公式代入014sin2cos801428031216822222yxyxyyxx即解题方法二：代入 -拆-合031sin2sin16cos8cos3) 1sin()4cos(222222即014sin2cos8014sin2cos8)sin(cos2222即【强化理解】1.将下列点的极坐标与直角坐标进行互化将点 m 的极坐标 4，143化成直角坐标；将点 n 的直角坐标 (4，4 3)化成极坐标 ( 0 ，0 2)【解答】 解： x4cos143 4cos234122，y4sin143 4sin232 3，点 a 的直角坐标是(2，2 3) 42

17、（ 4 3）28，tan 4 343， 0 ，2)，又点 (4， 4 3)在第四象限， 53，对应的极坐标为8，532、将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化y24x; 3( r)；2cos2 4; 12cos【解答】 解：将 x cos ，y sin 代入 y24x，得( sin )24 cos 化简得 sin2 4cos 当 x0 时，由于 tan yx，故 tan3yx3，化简得 y3x(x 0) ；当 x0 时，y0显然(0，0)在 y3x上，故 3( r)的直角坐标方程为y3x因为 2cos2 4，所以 2cos2 2sin2 4，即 x2y24因为 12cos，所以 2 cos 1

18、，因此2x2y2x1，化简得 3x24y22x103化极坐标方程 2cos =0 为直角坐标方程为（）ax2+y2=0或 y=1 bx=1 cx2+y2=0 或 x=1dy=1【解答】 解：2cos =0 ， cos1=0 或 =0 ，x2+y2=0 或 x=1，故选 c4将曲线 cos+2sin 1=0 的极坐标方程化为直角坐标方程为（）ay+2x1=0 bx+2y1=0cx2+2y21=0d2y2+x21=0【解答】 解：由曲线 cos +2 sin 1=0，及，可得 x+2y1=0曲线 cos+2sin 1=0 的极坐标方程化为直角坐标方程为x+2y1=0故选： b5、在极坐标系下，已知

19、圆o： cos sin 和直线 l： sin 422.，求圆 o 和直线 l 的直角坐标方程；【解答】 解：(1)圆 o： cos sin ，即 2 cos sin ，圆 o 的直角坐标方程为： x2y2xy，即 x2y2xy0，直线 l： sin 422，即 sin cos 1，则直线 l 的直角坐标方程为： yx1，即 xy10.三、参数方程1.必记的曲线参数方程已知条件普通方程参数方程经过点 p(x0，y0)，倾斜角为 )(00 xxkyyxx0tcos ，yy0tsin ( 为参数 )圆心在点 m0(x0，y0)，半径为r22020)y-yx-xr（）（xx0rcos ，yy0rsin ( 为参数 )长半轴 a和短半轴 b椭圆x2a2y2b21(ab0)xacos ，ybsin ( 为参数 )实轴 a和虚轴 b双曲线x2a2y2b21(a0，b0)xacos ，ybtan ( 为参数 )已知 p抛物线 y22px(p0)x2pt2，y2pt2.参数方程与普通方程的转化（1）参数方程转化成普通方程类型一：含 t 的消参思路：含有 t 的参数方程消参时，想办法把参数t 消掉就可以啦，有两