最新2013届高考数学一轮复习讲义 6.2 等差数列及其前n项和

1、等差数列及其前等差数列及其前n n 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点从第二项起，每一项减去它的前一项所得的从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数差都等于同一个常数公差公差 d d忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点大大 小小忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点整体思想在等差数列解题中的应用整体思想在等差数列解题中的应用1定义：定义： 2 通项公式：通项公式： na成成等等差差数数列列1(1)naand 1nnaa 常常数数21()22nddSnan00dn 当当时时, ,是是关关于于 的的常常数数项项为为 的的二二次次函

2、函数数式式. .11()(1)22nnn aan ndSna 3.前前 n 项和公式：项和公式： 10.ndSna 当当时时, ,2nSanbn.等差数列性质：等差数列性质：(1)()nmaanm d(2)mnpq 若若mnpqaaaa nmaadnm (3)若数列若数列an是等差数列，则是等差数列，则23243,kkkkkkkS SS SSSS 也是等差数列也是等差数列 0nnnnakk akab ，12，dkddd(4) 若数列若数列an bn是等差数列，则是等差数列，则仍为等差数列仍为等差数列.公差分别为公差分别为 2,nan( (5 5) )若若共共有有项项 则则1221()2()2n

3、nnnn aaSn aa SSnd 偶偶奇奇1nnSaSa 偶偶奇奇21(21)nnSna nSSa 奇奇偶偶1SnSn 偶偶奇奇.等差数列性质：等差数列性质： 2,1nna 若若共共有有项项 则则5.5.等差数列判定方法：等差数列判定方法：（1 1）定义法：）定义法：（2 2）递推公式法：）递推公式法：（3 3）通项法：）通项法：（4 4）前）前n项和法：项和法：1nnaa 常常数数,naknbk b （其其中中为为常常数数）112nnnaaa 2()nSanbn a b , , 为为常常数数(2)若若a10，d0, 则则Sn有最小值，有最小值，6. 等差数列前等差数列前 n 项和的最值项和

4、的最值100nnaa 100nnaa (1)若若a10，d0，则，则Sn有最大值，有最大值，n可由可由 确定；确定；n可由可由 确定；确定；解解1.例例1.在等差数列在等差数列an中，中，a1=25，S9=S17问这个问这个数列前多少项和最大？并求出这个最大值数列前多少项和最大？并求出这个最大值.917,SS 2(1)25( 2)262nn nSnnn 当当n=13时时, Sn的最大值为的最大值为169.9 817 169 2517 25,22dd 2.d 2(13)169,n 25 (1) ( 2)227.nann 1313 , S169.S 最最大大917,SS 9 817 169 251

5、7 25,22dd 解解2.2.d 122702250nnanan 解解，12.513.5 . n得得例例1.在等差数列在等差数列an中，中，a1=25，S9=S17问这个问这个数列前多少项和最大？并求出这个最大值数列前多少项和最大？并求出这个最大值.解解3.3.917 SS , 1011121314151617 +0,aaaaaaaa 13144(+)0.aa 1413.aa 13140,0.aa an是递减数列是递减数列,当当n=13时时, Sn的最大值为的最大值为169.例例1.在等差数列在等差数列an中，中，a1=25，S9=S17问这个问这个数列前多少项和最大？并求出这个最大值数列前

6、多少项和最大？并求出这个最大值.解法解法4:225.nSnn 139 17.2nSS 的的图图像像是是开开口口向向下下的的抛抛物物线线上上一一群群离离散散的的点点，最最高高点点的的纵纵坐坐标标为为，即即最最大大917,SS 9 817 169 2517 25,22dd 2.d 例例1.在等差数列在等差数列an中，中，a1=25，S9=S17问这个数列问这个数列前多少项和最大？并求出这个最大值前多少项和最大？并求出这个最大值.例例 在在等等差差数数列列中中，求求数数列列的的前前的的和和362.21,24,|.nnnaSSanT 113321:,61524adad 解解由由得得19.2ad 112

7、 .nan 令令得得1120,nan5.5.n 当当时时, ,5n12|nnTaaa 12naaa (9112 )2nn 210 ;nn 当当时时, ,5n 123456|nnTaaaaaaa 123456()()naaaaaaa 12345122()()naaaaaaaa 52nSS22 ( 510 5) (9112 )2nn 21050.nn nT 210 ,5,nn n 21050,5.nnn例例 在在等等差差数数列列中中，求求数数列列的的前前的的和和362.21,24,|.nnnaSSanT 例例3. 一个等差数列的前一个等差数列的前12项之和为项之和为354,前前12项项中偶数项与奇

8、数项之比为中偶数项与奇数项之比为32:27,求公差求公差.解解1: 设首项为设首项为a1，公差为，公差为d , 则则11112 1112354,26 56()2322.6 527622adaddad 5.d 解这个方程组解这个方程组,得得354,32,27SSSS 奇奇偶偶偶偶奇奇解解2.192,162.SS 偶偶奇奇6 ,SSd 偶偶奇奇由由5.d 得得例例3. 一个等差数列的前一个等差数列的前12项之和为项之和为354,前前12项项中偶数项与奇数项之比为中偶数项与奇数项之比为32:27,求公差求公差. 【1】在项数为】在项数为2n的等差数列中的等差数列中,各奇数项的和为各奇数项的和为75,

9、各偶数项为各偶数项为90,末项与首项的差为末项与首项的差为27, 则项数则项数2n的值的值为多少？为多少？ 15,(21)27,SSndnd 偶偶奇奇3,5.dn 3【2】已知某等差数列共有】已知某等差数列共有10项，其奇数项之项，其奇数项之和为和为15，偶数项之和为，偶数项之和为30，则其公差为，则其公差为 . 【3】等差数列的前等差数列的前10项之和为项之和为100，前，前100项之和为项之和为10，则前，则前110项之和为项之和为 .-110-110 【4】已知等差数列已知等差数列an的前的前 m项和为项和为30,前前 2m项和为项和为100,则则 它的前它的前 3m项的和为项的和为_.

10、210210例例4.已知已知 且且 求求 . 21a1120.nnnnnaaaaa ，na1120nnnnnaaaaa 解解： 由由，且且，得得1112nnaa 令令 ,则数列则数列bn是公差为是公差为- -2的等差数列的等差数列.nnab11(1)nbbnd 15412(1)2nna ，2.5 4nan 例例5.已知数列已知数列an中，中， (nN*,aR, 且且a0). （1）若）若a=- -7，求数列，求数列an中的最大项和最小项的值；中的最大项和最小项的值； （2）若对任意的）若对任意的nN*，都有，都有ana6成立，求成立，求a的取值范的取值范围围.112(1)naan 可知可知1a

11、1a2a3a4; a5a6a7an1 (nN*).数列数列an中的最大项为中的最大项为a5=2,最小项为最小项为a4=0.112(2)11.2(1)22naanan 12( )122f xax 256,2a 对任意的对任意的nN*,都有都有 ana6 成立，成立，并结合函数并结合函数 的单调性，的单调性，108.a 例例5.已知数列已知数列an中，中， (nN*,aR, 且且a0). （1）若）若a=- -7，求数列，求数列an中的最大项和最小项的值；中的最大项和最小项的值； （2）若对任意的）若对任意的nN*，都有，都有ana6成立，求成立，求a的取值范的取值范围围.112(1)naan 【

12、2】已知等差数列已知等差数列an中，中， 则则Sp+q的值为的值为_.,(),pqSq Sp pq ()pq【1】若】若 , 则则,pqaq ap _.p qa 0 02222()()ApBpqA pqB p qqpAqBqp . .()1A pqB 2()()().p qSA pqB pqpq 设设2(N )nSAnBn n 【2】已知等差数列已知等差数列an中，中， 则则Sp+q的值为的值为_.,(),pqSq Sp pq ()pq由已知由已知11(1),2(1).2pqp pSpadqq qSqadp 1()(1)().2pqpqpq adqp 两式相减得两式相减得,pq111.2pqa

13、d 1(1)2)p qpqaSpqd ().pq 【2】已知等差数列已知等差数列an中，中， 则则Sp+q的值为的值为_.,(),pqSq Sp pq ()pq【3】（ ） B B. 0, 098 aa 【1】已知等差数列】已知等差数列an中中,|a3|=|a9|,公差公差d0, 则使前则使前n项和取得最大值时项和取得最大值时n的值是的值是 .5 和和 639aa 39| |0aad 390aa620a56SS 【1】 成成等等差数列差数列, 则则x =_. 333log 2, log (21), log (211)xx 3332log (21)log 2log (211)xx 2(21)2(

14、211)xx 2(2 )42210 xx 27x 2log 7x. .2log 712【2】2121143824nnnnaSnbTn- - -+ +=- -337,2n= =+ +- -3 35,13,35.n故故 可可取取.21221nnnnSSSS 1.21nSn 21132214nnann 1111122(2)nnnnnnSSS SnSS 【补偿【补偿1】已知数列已知数列an中，中，11,0,naa 1221(1)0,N ,nnnnnanaaan 则则an=_.11(1)()0nnnnnaaana 1(01)nnnana 11nnanan 13211221nnnnnaaaaaaaaaa

15、122 113 21nnnn 1.n 1n13211221,2.nnnnnaaaaaa naaaa 【补偿【补偿2】已知数列已知数列an中中, a1=1,113 ,2nnnaan 122133331nn 31.2n 则则an=_.33113n 312n 112211() ()()nnnnnaaaaaaaa 112211() ()()nnnnnaaaaaaaa 121321()()()nnnaaaaaaaa 1324ln()1231nan 2ln .n 2lnn 【5】(08 四川四川 文文) 设数列设数列 an 中，中，a1=2, an+1=an+n+1, 则通项则通项 an= _. (1)12n n 解解: 由由an+1= an+n+1 可得，可得，以上以上n- -1个式子左右两边分别相加得，个式子左右两边分别相加得，123,naan1(123)nan 1,nnaan 121,nnaan 323,aa212,aa(1)1.2n n (1)(1)算出前几项，再归纳、猜想；算出前几项，再归纳、猜想；(2)“(2)“an+1n+1= =pan n+ +q”这种形式通常转化为这种形式通常转化为an+1+1+ + = =p( (an+ +),),由待定系数法求出由待定系数法求出, ,再化为等再化为等 比数列；比数列；(3)