专题：空间向量点坐标求法

1、 高中数学教材中引入了空间向量坐标高中数学教材中引入了空间向量坐标运算这一内容，使得在解决立体几何平行、运算这一内容，使得在解决立体几何平行、垂直、夹角、距离等问题时更加程序化，垂直、夹角、距离等问题时更加程序化，只需代入公式进行代数运算即可，这里常只需代入公式进行代数运算即可，这里常常需要首先建立空间直角坐标系，求出所常需要首先建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标需点的坐标。 广西高考数学卷中立体几何大题都是广西高考数学卷中立体几何大题都是同时能用几何法与向量法这两种方法解同时能用几何法与向量法这两种方法解题的，在用向量法方面，找点坐标的难题的，在用向量法方面，找点坐标的难度在逐年增大，很多

2、学生因为求不出点度在逐年增大，很多学生因为求不出点坐标又不会用几何法解题而丢坐标又不会用几何法解题而丢分 为解决求点坐标难的问题，现将在空为解决求点坐标难的问题，现将在空间直角坐标系中求点坐标的方法整理总结，间直角坐标系中求点坐标的方法整理总结，以求能突破在空间直角坐标系中求点坐标以求能突破在空间直角坐标系中求点坐标难的问题。如何写出或求出空间直角坐标难的问题。如何写出或求出空间直角坐标系下点的坐标？系下点的坐标？例例 在平行六面体在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，AB=4, AD=2, 平行六面体高为平行六面体高为 ，顶点顶点D在底面在底面A1B1C

3、1D1的射影的射影O是是C1D1中点，设中点，设AB1D1的重心的重心G，建立适当空间直角坐标系并写，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标。出下列点的坐标。 (1) A1 、 B1 、A、 D1； (2) G; (3) B; (4)若若N为为DD1上点，且上点，且ON DD1写出写出N坐标。坐标。32ABCDB1C1D1A1O例例 在平行六面体在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，AB=4,AD=2,平行六面体高为平行六面体高为 ，顶点顶点D在底面在底面A1B1C1D1的射影的射影O是是C1D1中点，设中点，设AB1D1的重心的重心G，建立适当空间直角

4、坐标系并写，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标。出下列点的坐标。(1) A1 、 B1 、A、 D1； (2) G;32（1）A1 (2, -2, 0 ) 、 B1 (2, 2, 0 ) 、A(2,0, )、 D1 (0, -2, 0 ) 32(2) 332, 0,34G投影法投影法公式法公式法yzxABCDB1C1D1A1O例例 在平行六面体在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，AB=4,AD=2,平行六面体高为平行六面体高为 ，顶点顶点D在底面在底面A1B1C1D1的射影的射影O是是C1D1中点，设中点，设AB1D1的重心的重心G，建立适当空间直

5、角坐标系并写，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标。出下列点的坐标。 (3) B;32(3)设设B B ( ( x x, , y y, , z z ) ), , 则则 又又 , ,比较得比较得 点点B B坐标为坐标为 32, 2, 0, 2, 211DDzyxBBDDBB1132, 4, 2zyx32, 4, 2ABCDB1C1D1A1Oyzx向量法向量法例例 在平行六面体在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，AB=4,AD=2,平行六面体高为平行六面体高为 ，顶点顶点D在底面在底面A1B1C1D1的射影的射影O是是C1D1中点中点.(4)若若N为为D

6、D1上点，且上点，且ON DD1写出写出N坐标。坐标。32ABCDB1C1D1A1OyzxN解解: : (4)(4) 三点共线，可设三点共线，可设即即 , , 故故11DDND 32,2, 032, 2, 01ND32, 22, 011NDODONDND,132, 22, 0N01DDON41, 01214023,23, 0N向量法向量法一、投影法一、投影法 将空间点将空间点P P分别投影到分别投影到 x x轴、轴、 y y轴、轴、z z 轴轴所得投影点为所得投影点为A(a,0,0) ,B(0,b,0),C(0,0,c)则点则点 P P坐标为坐标为(a,b,c) 。二、公式法二、公式法 利用线

7、段的中点坐标公式、定比分点坐利用线段的中点坐标公式、定比分点坐标公式、三角形的重心坐标公式、距离公式、标公式、三角形的重心坐标公式、距离公式、夹角公式等求出点的坐标。夹角公式等求出点的坐标。三、向量法三、向量法利用向量相等、垂直等运算求出点坐标。利用向量相等、垂直等运算求出点坐标。zxy例例1 1. (2011. (2011广西高考题广西高考题) )如图，四棱锥如图，四棱锥SABCD中中，ABCDCD，BCCD，侧面侧面SAB为等边三角为等边三角形形, ,AB= =BC=2=2，CD= =SD=1.=1.（I I）证明证明： SD平面平面SAB ；（IIII）求求AB与平面与平面SBC所成的角

8、的大所成的角的大小小 解析：解析：（I I）设设S S（x, y, z )(x 0, y 0, z 0)由由得得又又 得得解得解得y= ,z=S S（1, , )（IIII） arcsinB例例2 2 如图，一张平行四边形的硬纸如图，一张平行四边形的硬纸ABC0D中，中，AD=BD=1,AB= .沿它的对角线沿它的对角线BD折起，使折起，使点点C0到达平面外到达平面外C点的位置。若点的位置。若求二面角求二面角A BD C的大小。的大小。2z zyx，解析：解析：如图如图A(1, 0, 0) B(0, 1, 0) CB DB 可设可设 C C（x, 1, z )（ z 0)，x=z =，解得解得

9、C C（ , ,1, )6060 如图，四面体如图，四面体ABCD中，中，CA=BC=CD= BD=2， AB=AD= ，试在试在 BC 上找一点上找一点E，使点，使点E到平面到平面ACD的距离为的距离为 . .2O. .zxyO是是 BD中点，中点，AO平面平面SAB E 如图，四面体如图，四面体ABCD中，中，CA=BC=CD=BD= 2， AB=AD= ，试在试在 BC 上找一点上找一点E，使点，使点E到平面到平面ACD的距离为的距离为 . .2Ozxy解析解析一一：x=y=，解得解得E（ , , ,1 ) 故故E为为BC中点中点Ed=即即E 如图，四面体如图，四面体ABCD中，中，CA

10、=BC=CD= 2， AB=AD= ，试在试在 BC 上找一点上找一点E，使点，使点E到平面到平面ACD的距离为的距离为 . .2E. .zxyE解析解析二二：平面平面ACD的的平面方程为为即即到平面到平面的距离的距离=x=y=，解得解得E（ , , ,1 ) 故故E为为BC中点中点O如图，已知如图，已知AB , BC , CDBC, CD与平与平面面成成30 角，角， AB=BC= CD=2.（1）求线段）求线段AD的长；的长；（2）求二面角）求二面角D-AC-B的正弦值。的正弦值。B(0,0,0),A(0,0,2),C(0,2,0)由由CDBC(y轴轴) ,知知 y=2又由又由CD=2，且，且