正弦定理及其应用

1、第一章: 1.问题的引入问题的引入: . 某游客在爬上山顶后，在休息时看到对面的某游客在爬上山顶后，在休息时看到对面的山顶想：这离对面有多远的距离呢？请同学山顶想：这离对面有多远的距离呢？请同学们帮帮这位游客。（工具是测角仪和皮尺）们帮帮这位游客。（工具是测角仪和皮尺）思考：在直角三角形中，思考：在直角三角形中，“边边”与与“角角”的关系的关系 Rt 中中ABC222abcsin,sinacA bcBsinsinabABsin1C sinsinsinabcABC思考：对于一般三角形，上述结论是否成立思考：对于一般三角形，上述结论是否成立 在锐角三角形中，在锐角三角形中，CDABD作于点sin,

2、sinCDACDbAb即sin,sinCDBCDaBa即sinsinbAaBsinsinabAB即sinsinacAC同理：sinsinsinabcABC在钝角三角形中，在钝角三角形中，CDABABD作交的延长线于点sin,sinCDACDbAb即sin 180sin ,sinCDBBCDaBa即sinsinbAaBsinsinabAB即sinsinacAC同理：sinsinsinabcABC由以上三种情况的讨论可得：由以上三种情况的讨论可得：正弦定理：正弦定理：sinsinsinabcABC思考：用思考：用“向量向量”的方法如何证明的方法如何证明“正弦定理正弦定理” 在一个三角形中，各边的长

3、和在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即它所对角的正弦的比相等，即iAB 向量 是与向量垂直的单位向量iABBCi AC i BCi AC coscoscoscos2222aBbAaBbA或sinsinabAB即sinsinaBbAsinsinacAC同理：sinsinsinabcABC思考：用思考：用“三角形面积公式三角形面积公式”如何证明如何证明“正弦定理正弦定理” BACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsinCabBacSABCsin21sin21同理BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin212sinsinsinA

4、BCabcabcSABCCcBbAasinsinsin 正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即对角的正弦的比相等，即变形：变形：CBAcbasin:sin:sin:小结小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。解三角形。中，已知在,9 .42,8 .81,0 .3200cmaBAABC定理的应用举例定理的应用举例例例1例 2、 在三角形ABC中，已知a=20cm，b=28cm， A=40 ，解三角形（角度精确到1边长精确到1cm

5、） 已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边和角求其他边和角 在例 2 中，将已知条件改为以下几种情况，结果如何？（1） b20，A60，a203 ;（2） b20，A60，a103 ;（3） b20，A60，a15.60ABCb（1） b20，A60，a203sinB ，b sinA a12B30或150， 15060 180， B150应舍去.6020203ABC（2） b20，A60，a103sinB 1 ，b sinA aB90.B60AC20（3） b20，A60，a15.sinB ，b sinA a233233 1， 无解.6020AC 已知边已知边a,b和角，求

6、其他边和角和角，求其他边和角为锐角为锐角absinA无解无解a=bsinA一解一解bsinAab一解一解ab无解无解babaabababab（2R为为ABC外接圆直径）外接圆直径）2sinsinsinabcRABC求证：证明：证明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,902 ,2sinsinabRRAB同理,OBBCAC作外接圆过 作直径连2sinsinsinabcRABCCcBbAasinsinsin 正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即对角的正弦的比相等，即 含三角形的三边及三内角含三角形的三边及三内角

7、,由己知二角一由己知二角一边或二边一角可表示其它的边和角边或二边一角可表示其它的边和角定理结构特征定理结构特征:1.1.1 正弦定理正弦定理剖析定理、加深理解sinsinsinabcABC1 1、A+B+C=A+B+C=2 2、大角对大边，大边对大角、大角对大边，大边对大角正弦定理：剖析定理、加深理解3 3、正弦定理可以解决三角形中的问题：、正弦定理可以解决三角形中的问题： 已知已知两角和一边两角和一边，求其他角和边，求其他角和边 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求其他的边和角sinsinsinabcABC正弦定理：

8、剖析定理、加深理解4 4、一般地，把三角形的三个角、一般地，把三角形的三个角A A，B B，C C和它们的对边和它们的对边a a，b b，c c叫做叫做三角形的元三角形的元素素。已知三角形的几个元素求其他元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫的过程叫解三角形解三角形sinsinsinabcABC正弦定理：剖析定理、加深理解5 5、正弦定理的变形形式、正弦定理的变形形式6 6、正弦定理、正弦定理，可以用来判断三角形的，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化系的转化sinsinsinabcABC正弦定理：ACababsinA无解无解ACaba=bsinA一解一解ACabbsinA a b 两解两解BB1B2BACbaab一解一解aABabCABabCABabCab 一解一解 15,4,120abA，求，求B； 判断判断 解的个数：解的个数：ABC 25,4,90abA，求