七八章总复习

1、七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法1七.向量代数与解析几何向量的向量的线性运算线性运算向量的向量的表示法表示法向量积向量积数量积数量积混合积混合积向量的积向量的积向量概念向量概念（一）向量代数（一）向量代数七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法22 2、数量积、数量积 cos|baba (点积、内积点积、内积)zzyyxxbabababa ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 222|zyxaaaa 222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa )1coscoscos(222

2、 1.方向余弦方向余弦七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法33 3、向量积、向量积 sin|bac (叉积、外积叉积、外积)()()()yzzyzxxzxyyxa ba b ia ba bja ba bk ba zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法4直直 线线曲面曲面曲线曲线平平 面面参数方程参数方程旋转曲面旋转曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程参数方程参数方程一般方程一般方程对称式方程对称式方程 点法式方程点法式方程一般方程一般方程空间直角坐标系空间直角坐标系（二）空间解析几何（二）空间解析几何七.八

3、.向量代数与解析几何,多元函数微分法51 1、平面、平面1 平面的点法式方程平面的点法式方程000()()()0a xxbyyc zz 2 平面的一般方程平面的一般方程0 dczbyax1 czbyax3 平面的截距式方程平面的截距式方程七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法63 空间直线的参数方程空间直线的参数方程pzznyymxx000 2 空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程 ptzzntyymtxx000,pnms 2 2、空间直线、空间直线 00:22221111dzcybxadzcybxal1 空间直线的一般方程空间直线的一般方程七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法7

4、例题例题.4, 3,42,2,1.1ab求向量在向量上的投影求向量在向量上的投影例例2242324 1prcos( , )2221ba bj aaa bb 解解23:10.1232.zoxxyzlza 求求平平行行于于坐坐标标平平面面且且垂垂直直于于直直线线的的与与 轴轴成成锐锐角角的的模模为为 的的向向量量例例010312 3ijkaj lik 解解2210 3,0,13( 1)10 3,0,1a 取取七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法8 12020:.3:xylxyzlxyz求过直线求过直线且与直线平行的平面方程且与直线平行的平面方程例例1122110211 11,1,1ijkll

5、ijkll 的方向向量的方向向量的方向向量的方向向量解解1211232111ijknllijk 取平面法向量取平面法向量1(0,0,2),:l在 上取一点则所求平面为在 上取一点则所求平面为x-3y+2(z-2)=0即x-3y+2z-4=0即x-3y+2z-4=0七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法91215:,324.(20010)xozxyzl 一直线在平面上且过原点,又垂直于一直线在平面上且过原点,又垂直于直线求它直线求它例级例级的方程.的方程.13, 2,11l 解解 已知直线的方向向量已知直线的方向向量1, lll 设所求直线的方向向量为 由已知设所求直线的方向向量为 由已知0

6、,1,0lj 又直线在xoz平面上,又直线在xoz平面上,132 13010ijklljij 取取:103xyz 所求直线为所求直线为七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法102 所求直线在过原点与已知直线垂所求直线在过原点与已知直线垂解解直的平面上直的平面上过原点与已知直线垂直的平面为3x-2y+z=0过原点与已知直线垂直的平面为3x-2y+z=0 :3 -2 +z=0+z=00y=0 xozxyy 此平面与平面的交线为此平面与平面的交线为3x3x即即:103xyz 化为对称式化为对称式1215:,324.(20010)xozxyzl 一直线在平面上且过原点,又垂直于一直线在平面上且过原

7、点,又垂直于直线求它直线求它例级例级的方程.的方程.七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法11 20(0, 1,1).270ypxz 求点到直求点到直例例线的距离线的距离5 50 1 021 0 2ij ksik 直线的方向向量直线的方向向量解解 (7, 2,0)q 在直线上取一点在直线上取一点 7, 1, 1pq 71152201ijkpqsijk 222152621pqsds 七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法12八八.多元函数微分法多元函数微分法平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极极 限限 运运 算算多元连续函数多元连

8、续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法13全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用方向导数方向导数多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法14多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数连续函数连续函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在220 0yxy在（ ，）在（ ，）th2th1221sin, ( ,

9、 )(0,0)( , )0,( , )(0,0)xyx yf x yxyx y 在点在点(0,0) (1)2222220( , )000 0 xyxyf x yxyxy ，在（ ，）在（ ，）(1)(2)(2)2222220( , )000 0 xyxyf x yxyxy ，在（ ，）在（ ，）(2)七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法15方向导数、梯度方向导数、梯度220( , )( , )lim()ff xx yyf x yxyl ( , )ffgradf x yijxycossincos(, )ffflxygradf egradfgradf e 七.八.向量代数与解析几何,多元函数

10、微分法162222222,0:( , )00(0,0),.x yxyf x yxyxy 证明 函数证明 函数在点连续且偏导数存在 但在此点处不可微在点连续且偏导数存在 但在此点处不可微例例1222222220000002lim( , )lim0(0,0)xxyyxyxx yxxyxyx yf x yfxy 证证( , )(0,0).f x y在连续在连续2220000( ,0)(0,0)0(0,0)limlim0,xxxxf xfxfxx 七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法170(0, )(0,0)(0,0)lim0yyfyffy 222220(0,0)(0,0) )xyxyzfxfy

11、xyxy 2333222102 22 2()xyxxxy =yx沿沿(0)x ( , )(0,0).f x y在不可微在不可微七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法18)2(1,xyzzzxyxy 例例求求()ln(1)xyxyze 解解()(1)ln(1)1xyy xyzxyxyxxy ()(1)ln(1)1xyx xyzxyxyyxy 2(),3sin ,cos ,.1axeyzduuyax zxdxa 求求例例而而2( sincos )1axeaxxdudxa 解解2 ( sincos )( cossin )sin1axaxea axxaxxduexdxa 七.八.向量代数与解析几何

12、,多元函数微分法192ln()1 ,.4)zxyxydz求求例例2221()11(1()1)1xyxyzzxyxyxyxy 解解21()()1dzdxdyxy22()()()1()1xy dxdydxdyxydzxyxy 解2解22()1dxdyxy 七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法2022( , )(1)tan,( ,15).xxf x yxyfxy 求求例例2( ,1)f xx 解解,( ,1)2xfxx 22( ,6(99),.zxzf xfyx 具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数题题求求例例级级试试121zffxy 解解2211122122111()zffffyyyx 21

13、1122221fffyy七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法21322333( , , ),( , )30,( 1,1,1).7xf x y zx y zzz x yxyzxyzf设其中是由方程设其中是由方程所确定的隐函数 求所确定的隐函数 求例例333( , , )3f x y zxyzxyz解解设设22xzfxyzzxfzxy 22232( , , )32xzfx y zx y zx y zx 222232232yzxx y zx y zzxy ( 1,1,1)3xf 七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法220( 1,1)22cos10( ,3.80)xmey求过点且与曲线上点求过点且与曲线上点处的切线相垂直的直线方程处的切线相垂直的直线方程例例( , , )22cos1xf x y zey令令解解2,2sinxxyfdyedxfy (0, )323dydx :3323201(1),20 xyyxz 所求直线为所求直线为即即七.八.向量代数与解析几何,多元函数微分法23 22,22921.zxyxzyz