函数与初等函数

1、第一节第一节 函数函数一、邻域一、邻域二、函数二、函数. 0, 且且是两个实数是两个实数与与设设a).,( au记作记作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 . ),( axaxauxa a a ,邻域邻域的去心的的去心的点点 a. ),( axxau0,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 一、邻域一、邻域)(au简记为简记为。因变量因变量自变量.)(,000处处的的函函数数值值为为函函数数在在点点称称时时当当xxfdx 函函数数值值全全体体组组成成的的数数集集数集数集 d 叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域)(xfy 二、函数二、函数定义：

2、设定义：设 x 和和 y 是两个变量，是两个变量，d 是一个给定的数集，是一个给定的数集，.),(称称为为函函数数的的值值域域dxxfyyw ()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法则.xydw约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.21xy 例如，例如， 1 , 1 : d211xy 例如，例如，)1 , 1(: d定义定义: :),(),(dxxfyyxc 平面点集平面点集oxy),(yxxywd 如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个

3、数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫做多值函数则叫做多值函数例如，例如，222ayx .)(的的图图形形称称为为函函数数xfy (1) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当1. 几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例xxx sgny1-1xo.(2) 取整函数取整函数 y = x 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x 表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当x

4、xxdy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函数狄利克雷函数(4) 取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg. 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.例例1 1.)3(,212101)(的定义域的定义域求函数求函数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3

5、 : fd故故m-myxoy=f(x)x有界有界无界无界m-myxox0 x,)(, 0,成立成立有有若若mxfxxmdx （1）函数的有界性）函数的有界性:.)(否则称无界否则称无界上有界上有界在在则称函数则称函数xxf2 2、函数的特性、函数的特性（2）函数的单调性）函数的单调性:,)(didxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxi ;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有o)(xfy )(1xf)(2xfxyi)(xfy )(1xf)(2xf

6、xyoi;)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数ixf,)(didxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxi ),()()2(21xfxf 恒有恒有（3）函数的奇偶性）函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,dxd )()(xfxf xyx)( xf )(xfy o-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,dxd )()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy （4）函

7、数的周期性）函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的)()(xflxf 且且为周为周则称则称)(xf.)( ,dlxdxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl.恒成立恒成立例例2 2解解,01)( qxqxxd设设.)().21(),57(的性质的性质并讨论并讨论求求xdddd , 1)57( d, 0)21( d, 1)( xddoxy1单值函数单值函数, 有界函数有界函数,偶函数偶函数,周期

8、函数周期函数(无最小正周期无最小正周期)不是单调函数不是单调函数,0 x0y0 x0yxydw)(xfy 函数函数oxydw)(yx 反函数反函数o3 3、反函数、反函数对于任意的对于任意的 y w,在在 d 上至少可以确定一个上至少可以确定一个 x 满足满足yxf )(若将若将 y 看作自变量看作自变量, x 看作因变量看作因变量, 得到一个新的函数得到一个新的函数称为原函数称为原函数 y = f (x) 的反函数的反函数, 记为记为 x = (y)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abq),(bap)(xy 反函数反函数 （2） 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于

9、直线 y = x 对称对称.)()1(yx )(xy （3） 单值函数的反函数不一定是单值的单值函数的反函数不一定是单值的.第二节第二节 初等函数初等函数一、复合函数一、复合函数二、初等函数二、初等函数一、复合函数一、复合函数,uy 设设,12xu 21xy 定义定义:设设uyufy )(xxu )( )(xfy 因变量因变量中间变量中间变量自变量自变量注意注意: :1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过多复合函数可以由两个以上的函数经过多次

10、（或多层）复合构成次（或多层）复合构成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv (1) 幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 二、二、 初等函数初等函数（一）基本初等函数（一）基本初等函数(2)、指数函数、指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey (3)、对数函数、对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( (4)、三角函数、三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin xycos xycos 余弦函数余弦函数正切函数正切

11、函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数xycot 正割函数正割函数xysec xysec xycsc 余割函数余割函数xycsc (5)、反三角函数、反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xycot arcxarcycot 反余切函数反余切函数（二）初等函数（二）初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算

12、由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子一个式子表示表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.2sinhxxeex 双曲正弦双曲正弦xycosh xysinh ),(:d奇函数奇函数.2coshxxeex 双曲余弦双曲余弦),(:d偶函数偶函数.双曲函数双曲函数xey21 xey 21xxxxeeeexxx coshsinhtanh双曲正切双曲正切奇函数奇函数,),(:d有界函数有界函数,双曲函数常用公式双曲函数常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)co

13、sh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,),(:d.),(内单调增加内单调增加在在;sinh xy 反双曲正弦反双曲正弦ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy.), 1内单调增加内单调增加在在), 1 :d y反双曲余弦反双曲余弦coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y.11ln21xx )1 , 1(: d奇函数奇函数,.)1 , 1(内单调增加内单调增加在在 y反双曲正切反双曲正切tanharxytanh arxtanha

14、rx y思考题思考题1设设0 x，函函数数值值21)1(xxxf ，求求函函数数)0()( xxfy的的解解析析表表达达式式. 解答解答设设ux 1则则 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf思考题思考题1设设0 x，函函数数值值21)1(xxxf ，求求函函数数)0()( xxfy的的解解析析表表达达式式. 思考题思考题2 2).(,)(,)(xfxxxxxxxxexfx 求求设设 0102112).(,)(,)(xfxxxxxxxxexfx 求求设设 0102112解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10时时当当 x, 0 x或或, 12)(

15、 xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x,1)(20时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x综上所述综上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若2251tttf , ,则则_)( tf, , _)1(2 tf. .2 2、 若若 3,sin3, 1)(xxxt, , 则则)6( =_=_，)3( =_.=_. 3 3、不等式、不等式15 x的区间表示法是的区间表示法是_._. 4 4、设、设2xy , ,要使要使 ), 0( ux 时，时，)2 , 0(uy , , 须须 _._.练练 习习 题题二、证明二、证明xylg 在在), 0( 上的单调性上的单调性. . 三、证明任一定义在区间三、证明任一定义在区间)0(),( aaa上的函数可表上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和示成一个奇函数与一个偶函数之和. . 四、设四、设)(xf是以是以 2 2 为周期的函数，为周期的函数， 且且 10, 001,)(2xxxxf, ,试在试在),( 上绘出上绘出 )(xf的图形的图形. . 五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇