平稳过程 1 (3)

1、平稳过程平稳过程的概念平稳过程的概念相关函数的性质相关函数的性质平稳过程的谱分解平稳过程的谱分解第二章平稳过程的各态历经平稳过程的各态历经线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰 第一章 平稳过程的定义第一节一、严平稳过程一、严平稳过程二、宽平稳过程二、宽平稳过程三、两个平稳过程的关系三、两个平稳过程的关系四、正态平稳过程四、正态平稳过程NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰一一 严平稳过程严平稳过程 在工程技

2、术、自然科学中经常碰到一类特殊的随机过程.导弹在飞行中受到湍流的影响；军舰在海浪中的颠簸；通信中的干扰噪声等等. . 这类随机过程一方面受到随机因素的影响产生波动，同时又有一定的惯性. .主主要特点：当过程随时间变化产生波动时，前后状态有要特点：当过程随时间变化产生波动时，前后状态有一定联系，且这种联系不随时间的推移而变化一定联系，且这种联系不随时间的推移而变化. .NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰一一 严平稳过程严平稳过程平稳过程是一类特殊的随机过程,它的应用极为广泛.1 定义定义1随机过程 ，如果对任意 维分布

3、函数，),(TttXn , 2 , 1n则称 为严平稳过程严平稳过程,或称狭义平稳过程狭义平稳过程. )(tX任意实数 ,满足: 1212( ,;,)nnF x xx ttt1212( ,; , , )nnF x xx t ttNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰严平稳过程的含义是:过程的任何有限维概率分布 与参数的原点选取无关,即严平稳过程在任何时刻的统计结果是相同的，不随时间的推移而发生变化.2. 严平稳过程的一维严平稳过程的一维,二维分布函数的性质二维分布函数的性质特殊地,取 一维分布函数一维分布函数二维分布函数

4、二维分布函数1,t )(11xF111111( ; )( ;)F x tF x t11( ;0)F x2121221212( ,; , )( ,;,)F x x t tF x x tt21221( ,;0,)F x xtt21tt212( ,;0,)F x xNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰上式表明:严平稳过程的一维分布函数 不依赖 )(11xF于参数 , t二维分布函数 仅依赖于参数间距 );,(212xxF12tt 而与 本身无关. 21,tt3.(1)离散状态随机过程离散状态随机过程 ,严平稳性条件严平稳性条

5、件)(tX)(,)(,)(2211nnxtXxtXxtXP (2)连续状态随机过程连续状态随机过程 , ,严平稳性条件严平稳性条件)(tX),;,(2121nntttxxxf ),;,(2121 nntttxxxf1122(),(),()nnP X tx X txX txNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰一维概率密度函数一维概率密度函数 二维概率密度函数二维概率密度函数4. .严平稳过程的数字特征的性质严平稳过程的数字特征的性质以以 为连续状态严平稳过程为例为连续状态严平稳过程为例),(TttXdxxxfdxtxxf

6、tXE)(),()(11X(常数); dxxfxdxtxfxtXE)(),()(121222X(常数);)0 ;(11xf)(11xf111111( ; )( ;)f x tf x t2121221212( ,; , )( ,;,)fx x t tfx x tt212212( ,;0,)( ,;)fx xfx xNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰2222)()()(XXtXEtXEtXD2X (常数); 2121221),;,()()(dxdxttxxfxxtXtXE )();,(2121221XRdxdxxxfxx

7、 (仅依赖于仅依赖于 , ,而不依赖于而不依赖于 );t)()()()(tEXtXtEXtXE)()(tXtXE)()(tXEtXE)()(2XXXCR于是得到NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰 定理定理 设 是严平稳过程,如果过程的二 ),(TttX阶矩存在,那么 (1) XtXE)(22)(XtXE2)(XtXD均为常数,与参数 无关;t(2) )()()(XRtXtXE)()()()(tEXtXtEXtXE)(XC仅依赖于参数间距 ,而不依赖于 .tNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章

8、 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰数字特征的这一性质也称为平稳性.定理一的逆定理是不成立的. 例例 (Bernoulli序列序列) 独立重复地进行某项试验,每次 试验成功的概率为 ,失败的概率为 . ) 10( ppp1以表示 第 次试验成功的次数,nXn, 3 , 2 , 1, nXn是严平稳过程. 试验证1,nXBp提示提示NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰例例 设 是相互独立的标准正态随机变量, YX,0,)()(22ttYXtZ试验证随机过程 不是严平稳过程, )(tZ)(tZ的数字特征也不具

9、有平稳性. 提示提示1 2222XY 12221022nynf xyeyn 111222212111222yyf xyeyeNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰例例 设 是相互独立的标准正态随机变量, YX,0,)()(22ttYXtZ试验证随机过程 不是严平稳过程, )(tZ)(tZ的数字特征也不具有平稳性. 提示提示222XY 111222212111222xxf xxexe 1xf xafa a 122221( )() 2xtxZ tXYtf xettNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章

10、 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰例例 设 是相互独立的标准正态随机变量, YX,0,)()(22ttYXtZ试验证随机过程 不是严平稳过程, )(tZ)(tZ的数字特征也不具有平稳性. 提示提示3 122221( )() 2xtxZ tXYtf xett22( )()2 ,0E Z tEXYtt t222222121 21 2( ) ( )()()E Z t Z tEXYt tt t EXY22242241 21 2()2t t EXYt tXX YYNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰1 定义定义2

11、 设随机过程 ,对于任意 ,满足: )(tXTt (1) 存在且有限;)(2tXE(2) 是常数;XtXE)(3) 仅依赖于 ,而与 无关,)()()(XRtXtXEt则称 为广义平稳过程广义平稳过程,或称宽平稳过程或称宽平稳过程,简称 )(tX平稳过程平稳过程. 参数集 为整数集或可列集的平稳过程又称为平稳 T序列,或称平稳时间序列.二二 宽平稳过程宽平稳过程NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰2 广义平稳过程的数字特征的性质广义平稳过程的数字特征的性质设 是平稳过程,则),(TttX(1) 仅依赖于 ,而与 无关;

12、)()()(XRtXtXEt(2) 是常数;XtXE)(3) 是常数; 2X)(2tXE)0()0()(XRtXtXE(4) 是常数; 22)()()(tEXtEXtXD222XXX(5) )(),(cov(),(tXtXttCX)()(tXtXE)()(tXEtXE)()(2XXXCR(仅依赖于 ,而与 无关)。tNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰平稳过程的例子平稳过程的例子 例1随机相位正弦波)cos()(tatX,式中 和 a 是常数, 是 上服从均匀分布的随机变量. )2 , 0(验证 是平稳过程. )(tX

13、证明：201( )cos()cos()2E X tE atatxdx20sin()02atx 2212121201,cos()cos()2XRt tE X tX tatxtxdx22122101cos(2 )cos()4attxttdx221cos2att211,2XaRt tNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰平稳过程的例子平稳过程的例子例2 随机振幅正弦波 tYtXtZ2sin2cos)(,其中 和 都是随机变量,且 XY, 0 EYEX1 DYDX. 0)(XYE验证 是平稳过程.)(tZ证明： ( )cos2s

14、in20E Z ttE XtE Y 2212121212,cos2cos2sin2sin2XRt tE Z t Z ttt E Xtt E Y221cos 2E Xtt 2,1XRt tE Z t Z tE XNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰例3(白噪声序列白噪声序列) 互不相关的随机变量序列 , 2, 1, 0, nXn, 0nEX02nDX是一个平稳序列. 证明：0nEX 2,0XnmnmRn mE X XnmNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课

15、件 张 峰例4 通讯系统中的加密序列通讯系统中的加密序列设 ,1100 nn是相互独立的随机 变量序列. ), 2 , 1 , 0( nn同分布, ), 2 , 1 , 0( nn同分布, , 0nnEE. 02nnDD设 )() 1(nnnnnnX则加密序列 是平稳序列., 2 , 1 , 0, nXn证明：( 1)()0nnnnnnEXEEE ,( 1) ()( 1) ()nmXnnnnmmmmRn mE ( 1) ()( 1) ()( 1) ()( 1) ()( 1)()()nnnmnmnnmnmnmnnmmmn mnmmnmmnnmmEEE 240nmnmNORTH UNIVERSIT

16、Y OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰 例5 随机电报信号随机电报信号 电报信号用电流 或 给出,任意时刻 的电报 IIt信号 为 或 的概率各为 .又以 表示 )(tXII21)(tN), 0t内信号变化的次数,已知 是一泊松 0),(ttN过程,则 是一个平稳过程. 0),(ttX泊松过程的定义|!|)|()()(ekktNtNPk , 2 , 1 , 0, 0 kNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰21 ,12,0,1,2,!kX ttIIP X tIP X tIt t

17、N t tP N t tkekk ，。，且；即：，。若随机过程满足下列条件则称为随机电报信号相继取值+ 或-在任意区间内变号的次数服从泊松分布。试讨论其平稳性NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰22其一条样本函数曲线为： X tt1 11 1- -0 0 11110.22E X t 先计算均值函数为常数NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰23 0022100201,1,1,1,2,212!21 !XkkkkkkkXkN t tX t X tN

18、t tRt tE X t X tP N t tP N t tP N t tkP N t tkeekkeeRk 再计算自相关函数:为偶为奇为偶为奇NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰24t与 无关，可见随机电报信号是平稳过程。其相关函数图如下： XR t1 10 0NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰严平稳过程与广义平稳过程的关系严平稳过程与广义平稳过程的关系推论 存在二阶矩的严平稳过程必定是广义平稳过程.1.广义平稳过程,不一定是严平稳过程.2

19、.严平稳过程,(如果二阶矩不存在),不一定是广义 平稳过程. NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰三三 . 两个平稳过程的关系两个平稳过程的关系下文中广义平稳过程简称平稳过程. 定义定义3 设 和 是两个平稳过程,如果互相关)(tX)(tY函数 )()()(XYRtYtXE仅是参数间距 的函数,则称 与 平稳相关,或称其为 )(tX)(tY联合平稳的.此时)(),(cov()(tYtXCXY)()(tYtXE)()(tYEtXEYXXYR)(NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过

20、程中北大学随机过程电子课件 张 峰定义定义4 4 )0()0()()(YXXYXYCCC称为标准互协方差函数. 特别当 时,称两个平稳过程与不相关. 0)(XY22)()()()(),(cov()0(XXtDXtEXtXEtXtXC22)()()()(),(cov()0(YYtDYtEYtYEtYtYC(均为常数).NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰四四 正态平稳过程正态平稳过程1.正态过程 正态随机变量复习： 一维正态随机变量 ,概率密度),(2NX,21)(222)(xexfx二维正态随机变量);,;,(),(2

21、22211NYX)()(2)()1 ( 21exp121),(2222212121212221yyxxyxfNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰维正态分布n),(21nXXX 概率密度)()(21exp)(det)2(1),(121221 xCxCxxxfnn其中nxxxx21n21协方差矩阵 ,)(nnijCC),(jiijXXCovC NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰定义定义5 如果随机过程 ,对任意正整数 , )(tXn,21Tttt

22、n )(,),(),(21ntXtXtX 服从正态分布则称 为正态过程,又称高斯(Gauss)过程. )(tX独立正态过程独立正态过程:如果 是正态过程,同时又 ),(TttX是独立过程,则称 为独立正态过程. ),(TttX正态序列：正态序列：正态过程 ,如果 是可列集,),(TttXT,21 ntttT记 ;)(tXtX那么, ,21 ntttttX是正态序列.NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰2. 2. 正态平稳过程正态平稳过程设 是正态过程, 服从正态分布,则 ),(TttX)(tX)()(22tXEtX必存

23、在,即二阶矩存在.定义 如果正态过程 又是(广义)平稳过程,则 )(tX称 为正态平稳过程. )(tX定理定理：设 是正态过程.)(tX则 为严平稳过程 为广义平稳过程.)(tX)(tXNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰例1 设正态过程 的均值函数 ),(ttX, 0)(tX自相关函数 ),(),(1221ttRttRXX试写出过程的一维、二维概率密度函数.例2 设 是正态平稳过程,且 )(tX, 0)()(ttXEX令 0)(, 00)(, 1)(tXtXtY当当证明 是平稳过程.)(tYNORTH UNIVERS

24、ITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰 第一章 平稳过程的性质第二节一、一、相关函数的性质相关函数的性质二、联合平稳过程及互相关函二、联合平稳过程及互相关函 数的性质数的性质NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰一一. .相关函数的性质相关函数的性质( (实平稳过程实平稳过程) 22,(1)00(2)0XXXXXXXXXX ttTRRE XtRRRRE X t X tE X tX tRR，。设是平稳过程，相关函数为即是偶函数由此性质，在实际问题中只需计算或测量在的值即可 2

25、222222(3)00()00XXXXXXRRBBE XYEXEYRE X t X tE XtE XtR，。施瓦兹不等式表明自相关函数在处取得最大值NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰35 11,1,1,1,121(4),0,0XnnnXijiji jnnXijijijiji ji jnijiji jniiiRttaaRt ta aRt ta aE X tX ta aEX tX ta aEX t a，：具有非负定性，即对任意实数有在理论上可证明：任一连续函数只要具有非负定性，则该函数必是某平稳过程的自相关函数。NORT

26、H UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰36 (5)XXXXXX tTRTX tX tTRRTRTE X t X tTE X t X tR。为周期 的平稳过程以 为周期即：证： 0020220020222XXXXXRRTRRRTtXtXEtXETtXEtXTtXEtXTtXD 0X tTX tCE X tTX tX tTX tT。根据方差性质知：即以 为周期的平稳过程NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰 2(6)limXXX tX tX tRm ，若是不含

27、周期分量的非周期过程当时与相互独立则 0X tX t，。在实际应用中，对非周期性的噪声和干扰一般当 值适当增大和即呈现独立性，若为零均值，则其自相关函数趋于 (7),0XXRR 。在连续在连续 2limlimlimlimXXRE X t X tE X tX tE X tEX tmNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰38二.联合平稳过程及互相关函数的性质 ,XYYXX ttTY ttTRt tRt ttX tY t，设和是两个平稳过程若它们的互相关函数仅与 有关而与 无关则称和是联合平稳过程。 W t =X t +Y t

28、 X t Y tNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰39 X tY tW t，当两个平稳过程是联合平稳时则它们的和也是平稳过程且其相关函数为： YXXYYXWRRRRR 2(1)00 ,XYXYX tY tRRR类似可得联合平稳过程与的互相关函数性质：NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰40 222200XYXYRE X t Y tE X tE YtRR证：由施瓦兹不等式： (2)XYYXXYYXRRRE X t Y tE Y tX tR：证N

29、ORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰41 2020sinsin, ,0,2sinsin1sinsin2sinsincos2cossinXYYXXYX tAtY tBtA BURRRE X t Y tE AtBtABttdABttABtd ：，。例设为两个平稳过程，其中为常数求和解:cos2 1cos2XYYXYXRRRAB根据得NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰 第二章 平稳过程的各态历经第三节一、时间平均一、时间平均三、一些例子三、一些例子二

30、、遍历过程二、遍历过程(各态历经过程各态历经过程)四、平稳过程的遍历性定理四、平稳过程的遍历性定理NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰 在实际工作中，确定随机过程的均值函数和自相关函数等数字特征很重要，然而要求这些数字特征需知一维、二维分布函数，而这些分布在实际问题中没给出，为此，只能用统计实验的方法对观察数据进行估计，如可把均值和自相关函数近似表示为： 11112112111NXkkNXXkkkmtE X txtNRRttxt xtN统计平均 XXmR，因此，估计需作大量实验，次数越多越精确，而在实际中，能否通过一次

31、实验，长时间的观察值来估计？即按时间取平均来代替统计平均，这就是所谓的遍历性问题。NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰4411,1,2,1lim1.,11nnNkNknNkknXnE XmPXmNXnXNmE X，则。由大数定律可知,对于独立同分布的随机变量序列若存在均值则用随机过程的观点看可看作是具有离散参数的随机过程为随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随样本不同而变，是个随机变量，而是随机过程的均值，即在某一时刻过程的现实取值的统计平均值NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平

32、稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰4511NPkkXmN 表明nE X。随机过程的样本按时间的平均值以越来越大的概率无限接近随机过程的统计平均值。每个样本函数都能够遍历各种可也就是说，只要观测的时间足够长，则能状态，随机过程的这种特性叫各态随过程的历经性机NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰一、遍历过程一、遍历过程(各态历经过程各态历经过程)1.时间均值和时间相关函数时间均值和时间相关函数函数 ),(),(txteX样本函数 在区间 )(tx)0(,lll设随机过程 ),(),(TttX任固定 ,Se样本上的函数平

33、均值定义为 )(tx在 上的函数平均值定义为),(当 变化时, e1( )( , )( , )2.i.mlllX tX e tX e t dtlL1( )( ).2llx tx t dtl11( )( ).( )22limlllllx tx t dtx t dtllNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰 定义定义11( )( , )( , )2.i.mTTlX tX e tX e t dtTL称为随机过程 )(tX对于参数 的平均值,通常称为随机过程 t)(tX的时间均值时间均值(时间平均时间平均). 在任意 处,给任意

34、实数 过程在 ,和 的两个ttt状态的乘积 ( , )( ,)X e t X e t在 上的平均值, ),(记为1( )( , )( ,)( , )( ,)2.i.mlllX t X tX e t X e tX e t X e tdtlL显然 是一个随机变量.1( )( , )( , )2.i.mTTlX tX e tX e t dtTLNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰定义定义2 时间相关函数时间相关函数1( )()( , )( ,)( , )( ,)2.i.mTTlX t X tX e t X e tX e t

35、X e tdtTL称为随机过程 的时间相关函数时间相关函数. )(tX(显然它是一个随机过程. )对随机过程 此时, ), 0),(TttX时间均值时间均值 1( , )( , )2.i.mTTlX e tX e t dtTL时间相关函数时间相关函数1( )()( , )( ,)( , )( ,)2.i.mTTlX t X tX e t X e tX e t X e tdtTLNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰 例1 求随机相位正弦波求随机相位正弦波)cos()(tatX的时间均 值和时间相关函数值和时间相关函数.(

36、记住这个例题的结论,以后要用)11( , )( , )cos()22.i.m.i.mTTTTllX e tX e t dtatdtTTLL1( , )cos()coscossinsin2.i.m.i.m2TTTTllX e tatdtttdtTaLLTsincoscossin.i.m2TTlttaLT2sincos0.i.m2lTaLTNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰 例1 求随机相位正弦波求随机相位正弦波)cos()(tatX的时间均 值和时间相关函数值和时间相关函数. (记住这个例题的结论,以后要用).i.ml

37、L1( )()( , )( ,)( , )( ,)2.i.mTTlX t X tX e t X e tX e t X e tdtTL1cos() cos2TTatatdtT.i.mlL2cos(22 )cos4TTatdtT .i.mlL2sin(2)cos|42TTattT2sin(2)sin( 2)2 cos42.i.mlaTTTTL 2cos2aNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰二二. 各态历经性各态历经性设 是一个平稳过程 或 )(tX),(T), 0 T(即 为常 数, ) )()()(XRtXtXE (1

38、) 如果 则称过程 )(tX的均值具有各态遍历性均值具有各态遍历性;( )( )1,PX tE X t( ),E X t22( )E Xt ( )( )X tE X t注：注：即：随机过程 的时间平均时间平均)(tX1( )2.i.mTTlX t dtTL 等于空间平均空间平均( )E X t定义定义 均值的各态历经性均值的各态历经性 (遍历性遍历性) NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰二二. 各态历经性各态历经性定义定义 相关函数的遍历性相关函数的遍历性 设 是一个平稳过程 )(tX ( )()1,XPX t X

39、tR如果 ，则称过程 具有自相关函数的各态历经性自相关函数的各态历经性.)(tX ( )()( )()XX t X tE X t X tR注：注：即：随机过程 的时间平均时间平均 )(tX等于空间平均空间平均()X t1( )()( )()2.i.mTTlX t X tX t X tdtTL ( )()XE X t X tRNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰二二. 各态历经性各态历经性定义定义 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性 设 是一个平稳过程 )(tX如果均值和自相关函数都具有各态遍历性，则称过程 具有各态历经性

40、各态历经性.)(tX ( )()( )()XX t X tE X t X tR即满足即满足：（1）( )( )X tE X t（2）的随机过程，为具有各态历经性的平稳过程各态历经性的平稳过程.NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰 三三 各态历经各态历经( 遍历过程遍历过程)的例子的例子例 设 , ,其中 是)cos()(tatX),(t)0(,a实常数, 服从区间 上的均匀分布,讨论 )2 , 0()(tX的各态遍历性.解：201( )cos()cos()2E X tE atatxdx 20sin()02atxX t

41、2212121201,cos()cos()2XRt tE X tX tatxtxdx22122101cos(2 )cos()4attxttdx 2cos( )(2aX t X t 具有遍历性具有遍历性NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰例：例：设 是一个随机变量,且 YYtX,)(0DY证明 是平稳过程;)(tX而 不具有各态遍历性.)(tX证： ( )E X tE YC 21212,XRt tE X tX tE Y不具有遍历性不具有遍历性是平稳过程是平稳过程2221( )()( )()212.i.m.i.mTTlTT

42、lX t X tX t X tdtTY dtYE YTLL 12.i.m.i.mTTTTX tYdtYCTLLYNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰四四. 平稳过程的遍历性定理平稳过程的遍历性定理引理引理 设 是一个平稳过程,则它的 ),(ttX时间均值的数学期望和方差分别为1( )( )2TXTEX t dtE X tT22011( )(1)( )22TlXXTDX t dtRdTTT证：111( )( )( )222TTTTTTEX t dtEX t dtEX t dtTTT22111( )( )( )222TTT

43、TTTDX t dtDX t dtEX t dtTTT2112221( )( )4TTTTEX t dtX t dtTNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰四四. 平稳过程的遍历性定理平稳过程的遍历性定理引理引理 设 是一个平稳过程,则它的 ),(ttX时间均值的方差为证：2121221,4TTXTTRt tdt dtT 积分变换 1122212211122124ttTXTttTRdT 2201(1)( )2TXRdTT22011() (1)( )22TlXXTDX t dtRdTTT2211( ) ( ) 22TTTT

44、DX t dtEX t dtTTNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰四四. 平稳过程的遍历性定理平稳过程的遍历性定理定理定理 (均值各态遍历定理均值各态遍历定理)平稳过程 ),(ttX的均值具有各态遍历性的充要条件是证：要证2201(1)( )02limTXXTRdTT( )( )X tE X t即1( )2.i.mTTTX t dtTL 211( )( )imim22TTTTTTDX t dtEX t dtllTT2201(1)( )02limTXXTRdTTNORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第

45、二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰四四. 平稳过程的遍历性定理平稳过程的遍历性定理定理定理 (相关函数的各态历经定理相关函数的各态历经定理)平稳过程 的相关函数具有各态遍历性的充要条件是其中：2211101(1) ( )( )02limTXTBRdTT( ),X t tR 111( )BE X t X tX tX t证证：将 看成一个新的随机过程，利用均值各态历经定理 X t X t2201(1)( )02limTXXTRdTT X t X t的自相关函数 1111( )YRE X t X tX tX tB XE X t X tRNORTH UNIVERSITY OF CH

46、INA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰例例 设 ,其中 是实常数, A,B是独立随机变量 的均值各态遍历性.解解： 2( )0,cosXE X tR( )cos()sin()X tAtBt(0) 0E AE B 2,D AD B讨论( )X t2201(1)( )02limTXXTRdTT22220011(1)( )(1)cos22limlimTTXXTTRddTTTT 2202221(1)cos21 cos202limlimTTTdTTTT NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰解： 1(

47、 )sin(2)sin(2)2BE X tE ABtAytxfy dxdy 1sin(2)02BAytxdxfy dy 21,sin(2)sin 2()2XBRt tAytxy ty fydx具有遍历性具有遍历性例例 设 , 其中 是实常 数,服从区间 上的均匀分布,证明 )(tX是平稳过程.( )sin(2)X tABtA(, ) ( )X t的均值各态遍历性，B的密度为偶函数,BB，独立 2cos22BBXRAfy dyy fy dyR NORTH UNIVERSITY OF CHINA第二章第二章 平稳过程平稳过程中北大学随机过程电子课件 张 峰解：具有均值遍历性具有均值遍历性例例 设 , 其中 是实常 数,服从区间 上的均匀分布,证明 )(tX是平稳过程.( )sin(2)X tABtA(, ) ( )X t的均值各态遍历性，B的密度为偶函数,BB，独立11( )( )sin(2)022.i.m.i.mTTTTllX tX t dtABtdtTTLL XX tmtNORTH UNI