第11讲对数与对数函数

1、1234 理解对数的概念及其运算性质；理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，能将一般对数了解对数换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解转化成自然对数或常用对数；了解对数的概念；理解对数函数的性质，对数的概念；理解对数函数的性质，会画指数函数的图象；了解指数函会画指数函数的图象；了解指数函数与对数函数互为反函数数与对数函数互为反函数.51.log2sin +log2cos 的值为的值为( )1212DA.-4 B.4 C.2 D.-22.函数函数f(x)=logax(a0,a1),若若f(x1)-f(x2)=1,则则f(x12)-f(x22)等于等于( )AA.2 B.1

2、C.12 D.loga2由由f(x)=logax知知f(x12)-f(x22)=2f(x1)-f(x2)=2.63.函数函数y=log (x2-2x)的定义域是的定义域是 ,单调递减区间单调递减区间是是 .12(2,+)(-,0)(2,+)4.函数函数f(x)=ax+loga(x+1)在在0,1上的最大上的最大值和最小值之和为值和最小值之和为a,则则a的值是的值是 .由已知得由已知得,a0+loga1+a1+loga2=aloga2=-1 a= .121275.已知已知f(x)=|log3x|，则下列不等式成，则下列不等式成立的是立的是( )CA.f( )f(2) B.f( )f(3)C.f(

3、 )f( ) D.f(2)f(3)12131413 作函数作函数f(x)=|log3x|的的图象，可知图象，可知f(x)在（在（0，1）上）上单调递减，选单调递减，选C.81.对数对数(1)一般的，如果一般的，如果ax=N(a0且且a)，那么，那么数数x叫做叫做 ，记作，记作 ,其中其中a叫做对数的叫做对数的 ,N叫做叫做 .(2)以以10为底的对数叫做为底的对数叫做 ,记记作作 .(3)以以e为底的对数叫做为底的对数叫做 ,记作记作 .以以a为底为底N的对数的对数x=logaN底数底数真数真数常用对数常用对数lgN自然对数自然对数lnN9(4)负数和零没有对负数和零没有对数数;loga1=

4、,logaa= .2.对数的运算性质对数的运算性质(1)如果如果a0且且a,M0,N0,那么那么loga(MN)= ;loga = ;logaMn= .011111MN12121313logaM+logaNlogaM-logaNnlogaM10logab= (a0且且a,c0且且c,b0); alogaN=N(a0且且a)；loganbm= logab(a0且且a,m、nN*).3.对数函数对数函数一般的一般的,我们把函数我们把函数 (a0且且a)叫做叫做对数函数对数函数,其中其中x是自变量，函数的定义域是自变量，函数的定义域为为 .loglogccbamn1414y=logax(0,+)15

5、15(2)对数的换底公式及恒等式对数的换底公式及恒等式114.对数函数的图象与性质对数函数的图象与性质a10a0值域值域y|yR12性质性质当当x=1时，时，y=0,即过定点即过定点(1,0)当当x1时时, ;当当0 x1时时, ;当当0 x020202121增函数增函数减函数减函数y0y0135.反函数反函数 指数函数指数函数y=ax(a0且且a)与对数函数与对数函数y=logax(a0且且a)互为互为 ,它们它们的图象关于直线的图象关于直线 对称，指数对称，指数函数函数y=ax(a0且且a)的定义域为的定义域为x|xR，值域为，值域为y|y0,对数函数对数函数y=logax(a0且且a)的

6、定义域为的定义域为x|x0，值域为，值域为y|yR.反函数反函数22222323y=x14例例1 指数、对数函数的运算问题指数、对数函数的运算问题 ( )x (x4) f(x+1) (x4),则则f(log23)= ;(2)设设3a=4b=36,则则 + = .(1)设函数设函数f(x)=122a1b124115 （1）因为因为log230)，若函数，若函数f(x)在在10,+)上单调上单调递增，求递增，求k的取值范围的取值范围.例例211kxx 这是一道含参数的对数结构的复这是一道含参数的对数结构的复合函数问题，根据函数合函数问题，根据函数f(x)的增减性，的增减性，分析出真数的范围，转化为

7、对数函数的分析出真数的范围，转化为对数函数的大小比较问题大小比较问题.17 因为函数因为函数f(x)在在10,+)上单调递增上单调递增,所以所以 0，即，即k .又又f(x)=lg =lg(k+ ),对任意的对任意的x1、x2,当当10 x1x2时时,有有f(x1)f(x2),即即lg(k+ )lg(k+ ),得得 ,即即(k-1)( - ) ,所以所以k0且且a)在区间在区间(- ,0)内单调递增，则内单调递增，则a的的取值范围是取值范围是.12 令令u=x3-ax,u=3x2-a.当当a1时时,f(x)在在(- ,0)内单调递增内单调递增,必须必须u0,即即3x2-a0在在(- ,0)内恒

8、成立，内恒成立，即即a3x2恒成立，而恒成立，而03x21矛盾矛盾.12123419当当0a1时时,必须必须u0,即即3x2-a3x2,x(- ,0)内恒成立内恒成立,从而从而a ,且且(- )3-a(- )0,得得a ,综上，综上，a的取值范围为的取值范围为a| a( )x+m恒成立，求实数恒成立，求实数m的取值的取值范围范围.1211axx1221 (1)因为因为f(x)是奇函数，所以是奇函数，所以f(-x)=-f(x)log =-log = 01-a2x2=1-x2 a1.经检验，经检验，a=-1（a=1舍去）舍去）.（2）（证法一）定义法（证法一）定义法.任取任取x1x21，所以，所以

9、x1-1x2-10，所以所以0 log ,即即f(x1)f(x2)，所以，所以f(x)在（在（1，+)上单调递增上单调递增.11axx 121x 221x 11axx122211xx1111xx1211axx11axx 121111xx122211xx22（证法二）导数法（证法二）导数法.f(x)=( )log e( )=log e =-log e .因为因为-log e0，又，又x1，所以，所以 0，所以所以f(x)0，即，即f(x)在在(1,+)上单调递增上单调递增.11xx11xx22(1)x211x 121211xx1212211x 23（3）对于对于3,4上的每一个上的每一个x的值，

10、不等式的值，不等式f(x)( )x+m恒成立恒成立 f(x)-( )xm恒成立恒成立.令令g(x)=f(x)-( )x，由（由（2）知，）知，g(x)在在3,4上是单调递增函数，上是单调递增函数，所以所以m0且且a,b0).(1)求函数求函数f(x)的定义域；的定义域；(2)讨论函数讨论函数f(x)的奇偶性的奇偶性;(3)讨论函数讨论函数f(x)的单调性的单调性.xbxb 由真数大于由真数大于0，求定义域，按，求定义域，按奇偶性的定义判断其奇偶性，单调性奇偶性的定义判断其奇偶性，单调性可按复合函数的单调性的规律判断可按复合函数的单调性的规律判断.25 (1)令令 0,解得函数解得函数f(x)的

11、定义域为的定义域为(-,-b)(b,+).(2)函数函数f(x)的定义域关于原点对称，的定义域关于原点对称，f(-x)=loga =loga =-f(x),故函数故函数f(x)是奇函数是奇函数.(3)令令u(x)= =1+ ,则则u(x)在在(-,-b)和和(b,+)上是减函数，上是减函数，所以当所以当0a1时时,函数函数f(x)在在(-,-b)和和(b,+)上是减函数上是减函数.xbxbxbxb 2bxbxbxbxbxb261.比较两个对数的大小的基本方法是构造相比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数，若底数不相同时，可运用应的对数函数，若底数不相同时，可运用换底公式化为同底数的对

12、数，还要注意与换底公式化为同底数的对数，还要注意与0比较或与比较比较或与比较.2.把原函数作变量代换化归为二次函数，然把原函数作变量代换化归为二次函数，然后用配方法求指定区间上的最值是指数函后用配方法求指定区间上的最值是指数函数与对数函数的常见题型数与对数函数的常见题型.273.解含对数的函数问题时要首先考虑定解含对数的函数问题时要首先考虑定义域，去掉对数符号要注意其限制条义域，去掉对数符号要注意其限制条件，注意在等价转化的原则下化简、件，注意在等价转化的原则下化简、求解，对含参数问题注意分类讨论求解，对含参数问题注意分类讨论.28学例1 (2009全国卷全国卷) 设设a=log3,b=log

13、2 ,c=log3 ，则，则( )32AA. abc B. acb C. bac D.bca因为因为a=log3log33=1，b=log2 = log23 log22= ，c=log3 = log32bc，故选，故选A.1232121212121229学例2 (2009陕西卷陕西卷)已知函数已知函数f(x)=ln(ax+1)+ ，x0，其中，其中a0.（1）若若f(x)在在x=1处取得极值，求处取得极值，求a的值；的值；（2）求求f(x)的单调区间；的单调区间；（3）若若f(x)的最小值为的最小值为1，求，求a的取值范围的取值范围.11xx211(1)aaxx（1）f (x)= = .因为因为f(x)在在x=1处取得极值处取得极值,所以所以f (1)=0,即即a12+a-2=0，解得，解得a=1.222(1)(1)axaaxx30（2）f (x)= .因为因为x0，a0，所以，所以ax+10.当当a2时，在区间时，在区间(0,+)上，上，f (x)0，所以所以f(x)的单调增区间为的单调增区间为(0,+).当当0a0，解得，解得x ，由由f (x)0，解得，解得x ,所以所以f(x)的单调减区间为的单