苏科版九年级上册数学13一元二次方程的应用知识点与同步练习(解析版)

1、一元二次方程的应用麒知识精讲一.列一元二次方程解应用题的一般步骤1 .找出题中的等量关系；2 .设未知数；3 .根据找出的等量关系列出方程；4 .解一元二次方程；5 .将方程的解代入原方程检验，回到实际问题中检验；6 .作答结论.注意：列方程解应用题的关键是将实际问题中内在、本质的联系抽象为数学问题，进而建立方程模 型，解决问题.点剖析考点：一元二次方程的应用.重难点：列一元二次方程解应用题.易错点：建立一元二次方程解决实际问题时一定要注意检验是否符合实际意义.题模精讲题模一：面积问题例1.1.1如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3m3,则根据图中的条件，可列出方程：【答案】x

2、 (x+1) =3【解析】长方体白高是1,宽x,长是x+1,根据题意得x (x+1) =3.例1.1.2公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了 1m,另一边减少了 2m,剩余空地的面积为18m,求原正方形空地的边长.设原正方形的空地的边长为xm,则可列方程为()A.(x+1) (x+2) =18B.x2-3x+16=0C.(x-1) (x-2) =18D.x2+3x+16=0【解析】设原正方形的边长为 xm,依题意有(x- 1) (x-2) =18,例1.1.3如图，某小区规划在一个长 30n宽20m的长方形ABCD±修建三条同样宽的通

3、道，使其中 两条与AB平行，另一条与 AD平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78mf,那么通道的宽应设计成多少 m?设通道的宽为xm,由题意列得方程.【答案】(30-2x) (20-x) =6X78【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键.设道路的宽为xm,将6块草地平移为一个长方形，长为(30-2x) m,宽为(20-x) m.根据长方形面积公式即可列方程(30-2x) (20-x) =6X78.设道路的宽为xm,由题意得：(30-2x) (20-x) =6X78,故答案为：(30-2x) (20-x)

4、=6X78.例1.1.4如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25项，现在已备足可以砌 50m长的墙的材料，恰好用完，试求AB的长，使矩形花园2的面积为300m.【答案】15米【解析】该题考查的是列方程解应用题.设 AB=xm,则 BC =(50 -2x m . 1分根据题意可得，x(502x )=300, 3分解得：X =10 , x2 =15 , 4分当 xi =10 , BC =50 -10 10 =30 >25 ,故X =10 (不合题意舍去)，5分答：AB的长为15米.6分题模二：经济问题例1.2.1某商品经过两次降价，

5、每盒零售价由次降价的百分率为 x,根据题意列方程得( 一2 一一A. 168(1+x) =128C.168(1 - 2x) =128【答案】B【解析】该题考查的是列一元二次方程解应用题.)B.D.168元降为128元，已知两次降价的百分率相同，每2-168(1 -x) =1282168(1 -x ) =128第一次降价后的售价是168(1 -x ),第二次降价后的售价是 168(1-x 2 ,-一、一 .2所以万程为168(1 x ) =128 .故答案是B.例1.2.2某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元.为了扩大销售,减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降

6、价1元时，平均每天可多卖出2件.(1)若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？(2)试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多.【答案】(1)每件衬衫应降价20元(2)每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多【解析】(1)设每件衬衫应降价 x元，由题意得：(50 -x) (40+2x) =2400,解得：x1=10, x2=20,因为尽量减少库存，x1=10舍去.答：每件衬衫应降价 20元.(2)设每天盈利为W元，则W= (50-x) (40+2x) =- 2 (x- 15) 2+2450, 当x=15时，W最大为2450.答：每件衬衫降价15元时

7、，商场服装部每天盈利最多.题模三：其他问题例1.3.1有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是()A.x (x-1) =45B.x (x+1) =4522C.x (x-1) =45D.x (x+1) =45【答案】A【解析】二.有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛场数为 x (x- 1),2，共比赛了 45场，x (x T) =45,2例1.3.2假如一人患红眼病，经过两轮传染共有144人染上了红眼病，按这样的传播速度，若有两人患了红眼病，经过第一轮传染后患红眼病的人数共有 人【答案】24【解析】设假如一人患红眼病，第一轮传染给x人

8、，由题意得1+x+x(1 + x) =144 ,解得x=11 ,故若有两人患病，经过第一轮传染后患病的人数共有2+11 + 11=24人.园随堂练习随练1.1有一块长方形铁皮，长 100cm,宽50cm,在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,设铁皮各角应切去的正方形边长为xcm,则下面所列方程正确的是()A. 4x2=3600B. 100X50- 4x2=3600C. (100-x) (50-x) =3600D. (100-2x) (50- 2x) =3600【答案】D【解析】设切去的小正方形的边长为x.根

9、据题意得(100 -2x) (50-2x) =3600.随练1.2如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为 .【答案】 300【解析】设道路的宽应为x米，由题意有(22 -x) (17-x) =300,随练1.3如图，要建一个面积为40平方米的矩形花园 ABCD为了节约材料，花园的一边AD靠着原有的一面墙，墙长为 8米（AD <8）,另三边用栅栏围成，已知栅栏总长为24米，求花园一边 AB的长.【答案】10米【解析】该题考查的是一元

10、二次方程的应用.设AB的长度为x米，则BC的长度为（242x）米.根据题意：x（24 2x ）=40 .解得：*=2或者*=10,当x=2时，BC的长度为20,大于8米，不合题意.AB边长为10米.答：AB的长为10米.随练1.4某县政府2019年投资0.5亿元用于保障性房建设， 计划到2019年投资保障性房建设的资金为0.98亿元.如果从2019年到2019年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（）A.30%B.40%C.50%D.60%【答案】B【解析】设这两年中投入资金的平均年增长率是x,由题意得：0.5 （1+x） 2=0.98,解得：x二40% x2=-2.4 （不合题意舍去

11、）.答：这两年中投入资金的平均年增长率约是40%.故选：B.随练1.5山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1） 4元或6元（2）九折【解析】（1）设每千克核桃应降价 x元. 分根据题意，得（60-x-40） （100+ - X20） =2240 . 4 分2化简，得 x2-10x+24

12、=0解得 x1=4, x2=6. 6 分答：每千克核桃应降价 4元或6元.7分（2）由（1）可知每千克核桃可降价 4元或6元.因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60-6=54 （元），54 M00%=90%.9分60答：该店应按原售价的九折出售.10分随练1.6参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同.设共有x家公司参加商品交易会，则x满足的关系式为（）B.x (x- 1) =452D. x (x 1) =45A.lx (x+1) =452C.x (x+1) =45【答案】B【解析】设有x家公司参加，依题意，得x (x - 1

13、) =45,2故选B.随练1.7有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】(1) 7个人(2) 448人【解析】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关 键.(1)设每轮传染中平均每人传染了 x人，根据经过两轮传染后共有 64人患了流感，可求出 x, (2)进而求出第三轮过后，又被感染的人数.(1)设每轮传染中平均每人传染了 x人， 1+x+x (x+1) =64x=7 或 x=-9 (舍去).答：每轮传染中平土一个人传染了 7个人;(2) 64X7=4

14、48 (人).答：第三轮将又有 448人被传染.国自我总结作业1如图，要利用一面墙(墙长为 三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长课后作业25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为 400平方米的AB, BC各为多少米？【答案】 AB =20 , BC =20【解析】本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.设AB的长度为x,则BC的长度为(100-4x)米；然后根据矩形的面积公式列出方程.根据题意得(100-4x) x=400 ,解得 xi=20 , x2=5.贝U 100-4x=20 或 100-4x=80 .80

15、>25, , x2=5 舍去.即 AB=20 , BC=20 .答：羊圈的边长 AB, BC分别是20米、20米.作业2小萍要在一幅长90厘米，宽40厘米的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积是整个挂图面积的54%,设金色纸边的宽为 x厘米，根据题意所列方程为()A. (9 0+x( 40x 尸 5 4=% M9 0 40B. (9 0 十 &工4£ x 郭54%x 9 04 0C. 90 x 40 x25 4%9 040D. (9 0+ xj4tx 产5 4% X9 04 0【答案】B【解析】由题意可得，(90+2x(40+2x5

16、4% =90X40,故答案为B选项.作业3为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m,宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为532«,那么小道进出口的宽度应为 米.(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)【答案】1【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程.设小道进出口的宽度为 x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可.设小道进出口的宽度为 x米，依题意得(30-2x) (20

17、-x) =532.整理，得 x2-35x+34=0 .解得，x1=l , x2=34 .-34 >20 (不合题意，舍去)，x=1 .答：小道进出口的宽度应为1米.作业4目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了 438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是()A.438 ( 1+x) 2=389B.389 ( 1+x) 2=438C.389 (1+2x) 2=438D.438 ( 1+2x) 2=389【答案】B【解析】设每半年发放的资助金额的平均增长率为X,则去年下半年发放给每个经济困难

18、学生389 (1+x)元,今年上半年发放给每个经济困难学生389 ( 1+x) 2元，由题意，得：389 (1+x) 2=438.故选B.作业5某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出 200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据 市场调查，单价每降低 1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售，销售一 周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利 1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？【答案】9【解析】由题意得出：200X ( 10-6) + ( 10-x-6) (200+50x) + (4-6) (600-200) - (200+50x) =1250 ,即 800+ (4-x) (200+50x) -2 (200-50x) =1250,整理得：x2-2x+1=0 ,解得：x=x2=1 , .10