概率论与数理统计

1、教材：教材：概率论与数理统计教程，魏宗舒 等编，高等教育出版社第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 随机事件及其运算随机事件及其运算 概率与频率概率与频率 古典概率与几何概率古典概率与几何概率 概率公理化的定义及其性质概率公理化的定义及其性质 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式条件概率、全概率公式和贝叶斯公式 事件的独立性事件的独立性 贝努里概型贝努里概型 1.1 随机事件及其运算随机事件及其运算一些试验的例 E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰

2、子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。一、随机试验一、随机试验(简称简称“试验试验”)1.可在相同条件下重复进行；2.每次试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可表为E 随机试验的特点(p3) 1、样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为(或S)=e； 2、样本点: 试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为e. 3.由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为e.

3、EX EX 给出给出E1-E7的样本空间的样本空间二、样本空间二、样本空间(p3) (1).定义定义 (p4) 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等 任何事件均可表示为样本空间的某个子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 称事件事件A发生发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 (2).两个特殊事件两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.(p4-5) 例：例： 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件: A“至少出一个正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH； B = “ 三次出现同一面” =HHH,TTT；

4、 C=“恰好出现一次正面” =HTT，THT，TTH 例：例：试验E6中，D“灯泡寿命超过1000小时” x:1000 xm),要求要求第第 i i 组恰有组恰有ni个球个球(i=1,m)，共有分法：共有分法：!.!1mnnn例例4:4:从从1 1到到200200这这200200个自然数中任取一个个自然数中任取一个, ,(1)(1)求取到的数能被求取到的数能被6 6整除的概率；整除的概率；(2)(2)求取到的数能被求取到的数能被8 8整除的概率整除的概率; ;(3)(3)求取到的数既能被求取到的数既能被6 6整除也能被整除也能被8 8整除的概率。整除的概率。4 4 随机取数问题随机取数问题1.

5、4 几何概率几何概率 一、几个例子一、几个例子 例例1：某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待时间短于10分钟的概率(半点报时)。 例例2：如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架储藏着石油，假如在这海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少？ 例例3：在：在40毫升自来水里有一个细菌，毫升自来水里有一个细菌，今从中随机取出今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下毫升水样放到显微镜下观察，求发现细菌的概率。观察，求发现细菌的概率。二、定义 若记A=在区域S中随机地任取一点，而该点落在区域g中，则)()()(SmgmAP这一类概率称为几何概率。 例例1

6、.11：甲乙两人约定在：甲乙两人约定在6时到时到7时之间在某时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去。求两人会面的概率时即可离去。求两人会面的概率。 解：以解：以x和和y分别表示甲乙两人到达约会地点的时分别表示甲乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件为间，则两人能够会面的充要条件为15yx在平面上建立直角坐标系如图，在平面上建立直角坐标系如图， 167604560)()()(222SmAmAP则则 15601560Y=x+15Y=x-15三、几何概率的基本性质三、几何概率的基本性质 （1）0 P(A) 1；（2）P(

7、S)1；P( )=0； （3 3）若，）若，A A1 1,A,A2 2, ,AnAn两两互不相容，则两两互不相容，则 （可列可加性）。（可列可加性）。 11)(nnnnAPAP）（1.5 概率的公理化定义概率的公理化定义1.定义定义(p29) 若对随机试验若对随机试验E所对应的样本空间所对应的样本空间 中的每一事件中的每一事件A，均赋予一实数均赋予一实数P(A)，集合函数集合函数P(A)满足条件：满足条件：(1) P(A) 00；(2) P( )1； (3) 可列可加性：设可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不是一列两两互不相容的事件，即相容的事件，即AiAj ，(i j), i , j

8、1, 2, , 有有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. (1.1)则称则称P(A)为事件为事件A的概率。的概率。2.概率的性质概率的性质 P(29-31) (1) 有限有限可加性可加性：设设A1，A2，An , 是是n个两两互个两两互不相容的事件，即不相容的事件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , n 则则有有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An); (3)事件差事件差 ：A、B是两个事是两个事件，则件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)(2) 单调不减性：单调不减性：若事件若事件A B，则则P(A)P(B) (4) 加法公式：加法

9、公式：对任意两事件对任意两事件A、B，有有 P(A B)P(A)P(B)P(AB) 该公式该公式可推广到可推广到任意任意n个个事件事件A1，A2，An的的情形；情形；(5) 互补性互补性：P(A)1 P(A);(6) 可分性：可分性：对任意两事件对任意两事件A、B，有有 P(A)P(AB)P(AB ) . 例：某市有甲例：某市有甲,乙乙,丙三种报纸丙三种报纸,订每种报纸订每种报纸的人数分别占全体市民人数的的人数分别占全体市民人数的30%,其中有其中有10%的人同时定甲的人同时定甲,乙两种报纸乙两种报纸.没有人同时订没有人同时订甲丙或乙丙报纸甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人求从该市任选一人,他至

10、少订他至少订有一种报纸的概率有一种报纸的概率.1.6条件概率条件概率一般地，设一般地，设A、B是是S中的两个事件中的两个事件，P(A)0,则则称为称为事件事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的条发生的条件概率。件概率。) 1 . 6 . 1 ()()()|(APABPABP 例例2.2.一盒中混有一盒中混有100100只新只新 , ,旧乒乓球，各有旧乒乓球，各有红、白两色，分红、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。新球的概率。二、乘法公式二、乘法公式 设设A、B，P（A）0,

11、则则 P(AB)P(A)P(B|A). (1.6.2)式式(1.6.2)就称为事件就称为事件A、B的概率的概率乘法公式乘法公式。 式式(1.6.2)还可推广到三个事件的情形：还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). (1.6.3) 一般地，有下列公式：一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1). (1.6.4) 例例3 3 盒中有盒中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从袋中个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中

12、连续取球所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4 4次次, ,试求第试求第1 1、2 2次取得白球、第次取得白球、第3 3、4 4次取得红球的概次取得红球的概率率。解：设解：设A Ai i为第为第i i次取球时取到白球，则次取球时取到白球，则)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP63)|(12AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式 例例4.4.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分

13、别为品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/41/4、1/41/4、1/21/2，且三家工厂的次品率分别为且三家工厂的次品率分别为 2 2、1 1、3 3，试求市场上，试求市场上该品牌产品的次品率。该品牌产品的次品率。 定义：定义： 事件组事件组A1，A2，An (n可为可为 )，称为样本空间称为样本空间S的一个划分，若满足：的一个划分，若满足：.,.,2 , 1,),(,)(;)(1njijiAAiiSAijiniiA1A2AnB 定理定理1：设：设A1，, An是是S的一个划分，的一个划分，且且P(Ai)0，(i1，n)，则对则对S的的任何任何事件事件B有有 ) 5 . 6 . 1 ()|(

14、)()(1niiiABPAPBP式式(1.6.5)就称为全概率公式就称为全概率公式 例例5 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？率？ 定理定理2 2 ：设：设A A1 1，, A, An n是是S S的一个划分，且的一个划分，且P(AP(Ai i) 0) 0，(i (i1 1，n)n)，则对则对S S的的任何

15、事件任何事件B B，有有 )6 . 6 . 1 (),.,1( ,)|()()|()()|(1njABPAPABPAPBAPniiijjj式(1.6.6)就称为贝叶斯公式贝叶斯公式。 例：设某一工厂有例：设某一工厂有A、B、C三个车间，他们生产同一种三个车间，他们生产同一种螺钉，每个车间的产量分别占该厂生产螺钉总产量的螺钉，每个车间的产量分别占该厂生产螺钉总产量的25,35 ,40 ,每个车间的次品率分为每个车间的次品率分为5 ，4 ，2 。求（。求（1）从）从全厂总产品中抽取一件产品，得到次品的概率；（全厂总产品中抽取一件产品，得到次品的概率；（2）如果从）如果从全厂总产品中抽取一件产品，得

16、到次品，那么它是车间全厂总产品中抽取一件产品，得到次品，那么它是车间A生产生产的概率。的概率。解：解：A1=是是A车间生产的车间生产的，A2=是车间是车间B生产的生产的，A3= 是是C车间生产的车间生产的，B=从全厂总产品中抽取一件产品，得从全厂总产品中抽取一件产品，得到次品到次品。（1）（2）)()()()(321BAPBAPBAPBP)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP0345. 002. 040. 004. 035. 005. 025. 06925)|()()()|()()()|(311111iiiABPAPAPABPBPBAPBAP1.7事件的独立性

17、事件的独立性 一、两事件独立一、两事件独立 定义定义1： 设设A、B是两事件，是两事件，P(A) 0,若若 P(B)P(B|A) (1.7.1)则称事件则称事件A与与B相互相互独立独立。式式(1.5.1)等价于：等价于： P(AB)P(A)P(B) (1.7.2) 定理：以下四件事等价：定理：以下四件事等价：(1)事件事件A、B相互独立；相互独立；(2)事件事件A、B相互独立；相互独立；(3)事件事件A、B相互独立；相互独立；(4)事件事件A、B相互独立。相互独立。证明证明：（：（1）推出（）推出（2）BABBA)()()()(ABPBPABBPBAP)()()(1)()()()()(BPAP

18、APBPBPAPBPBAP由由A与与B相互独立，有相互独立，有即即A、B相互独立相互独立二、多个事件的独立二、多个事件的独立定义定义2、( (p46)p46) 若三个事件若三个事件A、B、C满足：满足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),则称事件则称事件A、B、C两两相互独立；两两相互独立；若在此基础上还满足：若在此基础上还满足：(2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), (1.7.3)则称事件则称事件A、B、C相互独立。相互独立。 一般地，设一般地，设A1，A2，An是是n个事件，如果对个事件，如果对任意任意k (1 k

19、n), 任意的任意的1 i1 i2 ik n，具有等式具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) (1.7.4) 则称则称n个事件个事件A1，A2，An相互独立。相互独立。三、事件独立性的应用三、事件独立性的应用1、加法公式的简化加法公式的简化：若若事件事件A1，A2，An相互相互独立独立, 则则 (1.7.5)2、在可靠性理论上的应用在可靠性理论上的应用例例1：如图，：如图，1、2、3、4、5表示继电器触点表示继电器触点,假设每个触点假设每个触点闭合的概率为闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至至R

20、是通路的概率。是通路的概率。)().(1).121nnAPAPAAAP例例2:2:一工人照看三台机器，在一小时内甲、一工人照看三台机器，在一小时内甲、乙、丙三个机器需照看的概率分别为乙、丙三个机器需照看的概率分别为0.90.9、0.80.8、0.850.85，求（，求（1 1）在一小时内没有一台机器需照看）在一小时内没有一台机器需照看的概率；（的概率；（2 2）至少有一台机器不需照看的概率。）至少有一台机器不需照看的概率。 1.81.8贝努里概型贝努里概型 一、贝努里试验一、贝努里试验 AAqpAPpAP1)(,)() 10( p1 1、定义：如果试验只有两个可能结果：、定义：如果试验只有两个

21、可能结果： 及及且且 ， 则称则称E E为为贝努里试验。贝努里试验。 将贝努里试验独立地重复将贝努里试验独立地重复n n次的试验，称为次的试验，称为n n重重贝努里试验。贝努里试验。 2 2、定理：在贝努里试验中，、定理：在贝努里试验中，A A发生的发生的概率为概率为 ，则在则在n n次独立重复试验中，次独立重复试验中，A A恰好发生恰好发生k k次的概率为次的概率为) 10( ppknkknknkknnqpCppCkP)1 ()(nk, 1 , 0 二、应用二、应用 例例1.241.24（P49P49）：）：金工车间有金工车间有1010台同类型的机床，台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率

22、为每台机床配备的电动机功率为1010千瓦，已知每台机床千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动工作时，平均每小时实际开动1212分钟，且开动与否是分钟，且开动与否是相互独立的。现因当地电力供应紧张，供电部门只提相互独立的。现因当地电力供应紧张，供电部门只提供供5050千瓦的电力给这千瓦的电力给这1010台机床，问这台机床，问这1010台机床能够正台机床能够正常工作的概率为多大？常工作的概率为多大？ 解：设解：设A=10A=10台机床能够正常工作台机床能够正常工作 ，AiAi=第第i i台机床开台机床开动动 ，X X表示表示1010台机床中正在开动着的机床台数。台机床中正在开动着的机床台数。则则 P(Ai)=12|60=1|5=0.2P(Ai)=12|60=1|5=0.2。 于是，有于是，有50)()5()(kkXPXPAP994. 08 . 02 . 0501010kkkkC 例例1.251.25：某大学校乒乓球队与数学系乒乓球队举：