2022年初中数学竞赛常用解题方法(代数)

1、学习必备欢迎下载中学数学竞赛常用解题方法（代数）一、 配方法例 1、化简x12x2x12x2 .练习：如2 xz4 xy yz0 ，试求 x+z 与 y 的关系；二、 非负数法例 2、在实数范畴内解方程三、 构造法（1） 构造多项式xy1z21 xyz .2例 3、三个整数 a、b、c 的和是 6 的倍数 .，那么它们的立方和被6 除，得到的余数是(a) 0b 2c 3d 不确定的（2） 构造有理化因式例 4、已知 xx22002 yy220022002 .就 x23 xy4 y26 x6 y58 ；（3） 构造对偶式例 5、已知 、 是方程 x2x104的两根，就3的值是；（4） 构造递推式

2、例 6、实数 a、b、x、y 满意axby3 , ax2by27 ,ax3by316 , ax4by 442 .求 ax5by5 的值；（5） 构造几何图形例 7、（构造对称图形）已知a、b 是正数，且 a + b = 2.求 ua21 ；b24 的最小值练习：（构造矩形）如a，b 均为正数，且a2b2 ，4a2b2 ， a24b2是一个三角形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于 ；四、 合成法例 8、如x1, x2, x3 , x4和x5 满意方程组2x1x2x3x4x50x12x2x3x4x512x1x22x3x4x524确定 3x42x5 的值；x1x2x32x4x548x1x2x3x

3、42x596五、 比较法（差值比较法、比值比较法、恒等比较法） 例 9、71427 和 19 的积被 7 除，余数是几？练习：设abc0 ，求证：a2 ab2b c2 cab cbc a ca b .六、 因式分解法 （提取公因式法、公式法、十字相乘法）anbnab an 1an 2b.abn 2bn 1anbnab an 1an 2b.abn 2bn 1例 10、设 n 是整数，证明数mn33 n21 n 为整数，且它是 3 的倍数；练习：证明99399322991991 能被 1984 整除；七、 换元法（用新的变量代换原先的变量）29例 11、解方程8x7 4x3 x12练习：解方程x1

4、1.1x11.1.八、 过度参数法 （常用于列方程解应用题）例 12、一商人进货价廉价8%，售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的x% 增加到 x10% ， x 等于多少 .九、 判别式法 （b 24ac 判定一元二次方程ax 2bxc0 的根的性质）例 13、求使 ax22 xx23 x4 为整数的一切实数x.3xyza练习：已知x, y, z是实数，且x2y2z21a22222求证： 0xa,0ya,0za .333十、 韦达法（韦达定理：xxb , xxc ）aa例 14： y 2y551212十一、共轭根式法 （设 a 使含有根式的表达式，如存在另一个不恒等于零的表达式

5、b，使乘积 ab 不含根式，就称 b 为 a 的共轭根式）例 11、设 a,b 分别表示31的整数部分与小数部分， 求 a 217 ab 的值为；7练习：求不超过75 6 的值的最大整数为；十二、反证法例 12、已知 a， b， c 为实数，设aa22b, bb22c2,cc22a36证明： a， b， c 中至少有一个大于零；b练习：命题“假如 a，b 都是无理数，那么明；假如不正确，试说明理由.a 也是无理数”是否正确，假如正确，试赐予证代数常用的四种解题方法数学离不开思维； 学习成效的大小， 取决于思维活动的进展与思维才能的发挥；而思维方法是思维的钥匙， 有了科学的思维就能从总体上把握事

6、物的本质联系；从而， 有效地提高发觉问题和解决问题的才能；许多同学每天做练习， 但成果就是不抱负； 为什么呢？主要缘由就是没有吃透教材的基本原理，就是没有把握解题的科学方法；把握方法， 是攻克难题的有力武器，只有把握方法，才能触类旁通，举一反三；不管遇到什么难题，都能得心应手，迎刃而解；那么在中学代数中有那些常用的解题思维方法呢？ 一、待定系数法用一个或多个字母来表示与解答有关的未知数，这些字母就叫待定系数法；待定系数法是一种最基本的数学方法,这个方法多用于多项式运算、方程和函数方面较多；例如：例 1 试用关于（ x-1）的各次幂表示多项式2x34x23x5 ；解：设2 x34 x23x52

7、x13a x12bx1c ；由于上式是恒等式， 所以不论 x 取什么数，两边都应相等，据此可设x1 ，代入上式得c4 ，x0，代入上式得52ab2x2，代入上式得1616652abc.联立上面三个式子解得a2 ,b1 ,c43 2x24 x3x352 x122 x1 x14 ；3这道例题在求待定系数时运用了特别值法；要尽量削减待定系数的个数，比如可以断定 x13的系数是 2，就没有必要再将 x1 项的系数设为待定系数了；例 2 依据二次函数的图象上（-1， 0）、（3 ，0）、（ 1， -5）三点的坐标，写出函数的解析式；解：由题设知，当x1 和 x3 时,函数 y 的值都等于 0.故设二次函

8、数的解析式为把（ 1， -5）代入上式 ,得 a故所求的解析式为yax5,41x3 ,y5 x1x35 x25 x15.4424这道例题告知我们用待定系数法确定函数式时要讲究一些解题技巧.此题如设所求二次函数的解析式为yax2bxc ,用待定系数法 ,把已知的三点代入 ,得到一个三元一次方程组,进而求出三个待定系数a, b, c ,这种解法运算量较大 .二、配方法配方 ,一般是指在一个代数式中通过加减相同的项,把其中如干项变形为n次幂形式的项 .这是恒等变形的重要方法之一.由于它有广泛的迁移意义；举例如下： 例 3 分解因式（1） x464（2） b 22ab3a 24 a1解：（ 1） x4

9、64= x416x26416 x2 x2824 x 2x24x8 x24 x8（2） b 22ab3a 24 a1b22aba2 4a24a1ba 22a12ba2a1ba2a1ba1b3a1例 4 已知 n 为正整数，且47（第九界“期望杯”赛试题）4n41998 是一个完全平方数，就n 的一个值是；解：设 474n4199821422n2399621422n239962 72 x 2将 272 x 2 绽开后得2 72 x 22142272 x22 x由、得21422n2399621428 x22 x比较两边的指数，得 8+x=2n, 或者 8 + x = 3 9 9 62x 3996.2

10、x2n .解之得 n1003或者 n3988；此题有两解，所以任意填其中的一个都行；三、换元法把一个简洁的含变元的式子替换一个较为复杂的含变元的式子，从而使问题得以简化；这样的方法就叫做换元法；换元法是数学中重要的解题方法，依据问题的特点， 进行奇妙的换元，往往可以化繁为简，化难为易，收到事半功倍的功效，现举例说明；1996319971995199719962例 5 化简1996319951997199519962；（第七界“期望杯”赛培训试题）解：设 1996 为 a ，就 1997= a1 ， 1995= a1 ，所以，原式a3aa3a1a1a1) a1a1a21a2a3a2a3a2111

11、1a3a21a3a2例 6 解方程组 x2xy y236,3xxy 3y 0.解：令xy u,xy v.代入方程组中，得u2 3v3u v36,0.解得 u12,和 u3,v 36.v9.代入式中，得 xy 12, xy3,xy 36.xy9.分别解之，得x 6, xy 6. y3 3 5,23 3 5.2明显，这些例题运用了换元法就变的简捷了；四、同一法同一法属于间接证法，它的理论依据分别是规律学中的同一律与冲突律和排中律；同一法就是应用 “同一法就” 进行证明的方法； 同一法就是假如两个互逆的命题的条件和结论所关联的事物是唯独存在的，那么两个命题同时为真，或同时为假；例如：例 7 设 a ,b, g 都是锐角，它们的正切依次是1 , 1 , 1 ；258求证： a +b + g =45o ；1 +1证明： q tg a + b =tg a +tg b =25=7，以及 a ,b 都是锐角；1 -tg atg b1 -1 . 19q a +b 是小于2545o 的