2022年初中数学最值问题典型例题

1、优秀教案欢迎下载中考数学最值问题总结考查知识点 ：1、 “两点之间线段最短” ， “垂线段最短” ， “点关于线对称” ， “线段的平移” 。（2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题）问题原型： 饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路 ：找点关于线的对称点实现“折”转“直”几何基本模型：条件：如下左图，a、b是直线l同旁的两个定点问题：在直线l上确定一点p，使papb的值最小方法：作点a关于直线l的对称点a，连结a b交l于点p，则papba b的值最小例 1、如图，四边形abcd

2、 是正方形，abe 是等边三角形， m 为对角线bd （不含 b 点）上任意一点，将bm 绕点 b 逆时针旋转60得到 bn ，连接 en、 am 、cm（1）求证： amb enb ；（2）当 m 点在何处时，am+cm的值最小；当 m 点在何处时，am+bm+cm的值最小，并说明理由；（3）当 am+bm+cm的最小值为时，求正方形的边长。a b ap l 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载例 2、如图 13，抛物线y=ax2bxc(a 0) 的顶点为（ 1,4

3、 ） ，交 x 轴于 a、b，交 y 轴于 d，其中 b点的坐标为（ 3,0 ）（1）求抛物线的解析式（2）如图 14，过点 a 的直线与抛物线交于点e，交 y 轴于点 f，其中 e 点的横坐标为2，若直线 pq 为抛物线的对称轴，点g 为 pq 上一动点，则x 轴上是否存在一点h，使 d、g、f、h 四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及g、h 的坐标；若不存在，请说明理由 . （3）如图 15，抛物线上是否存在一点t，过点 t 作 x 的垂线，垂足为m，过点 m 作直线mnbd ，交线段 ad于点 n，连接 md ，使 dnm bmd ，若存在，求出点t 的坐标；若不存在，说明

4、理由 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载例 3、如图 1，四边形aefg 与 abcd 都是正方形，它们的边长分别为a,b(b 2a), 且点 f 在ad 上（以下问题的结果可用a,b 表示）（ 1）求 s dbf; (2) 把正方形 aefg 绕点 a 逆时针方向旋转450得图 2,求图 2 中的 sdbf; (3) 把正方形aefg 绕点 a 旋转任意角度 ,在旋转过程中,s dbf是否存在最大值,最小值 ?如果存在 ,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说

5、明理由。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载例 4、 如图，在平面直角坐标系中，直线1y=x+12与抛物线2y=ax +bx3交于 a， b 两点，点 a 在 x 轴上，点 b 的纵坐标为3。点 p 是直线 ab 下方的抛物线上一动点（不与a，b 重合） ，过点 p 作 x 轴的垂线交直线ab 与点 c，作 pdab 于点 d （1）求 a，b 及sinacp的值（2）设点 p 的横坐标为m用含m的代数式表示线段pd 的长，并求出线段pd 长的最大值；连接 pb，线段

6、 pc 把 pdb 分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9： 10？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载例 5、 如图，c 的内接 aob中，ab=ao=4 ， tan aob=34, 抛物线2yaxbx经过点 a(4,0)与点（ -2,6 ） . （1）求抛物线的函数解析式；（2）直线 m与 c相切于点a，交 y 于点 d.动点 p在线段 ob上，从点 o出发向点b运动； 同时动点 q在线段 da

7、上，从点 d出发向点a运动；点 p的速度为每秒1个单位长，点q的速度为每秒2 个单位长，当pq ad时，求运动时间t 的值；（3）点 r在抛物线位于x 轴下方部分的图象上，当rob 面积最大时，求点r的坐标 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载例 1、证明：（ 1） abe 是等边三角形，ba=be ， abe=60 mbn=60 ， mbn- abn= abe- abn 即 mba= nbe 又 mb=nb， amb enb （ sas）（ 5 分）解：（2）当

8、 m 点落在 bd 的中点时， a、 m、c 三点共线， am+cm的值最小（7 分）如图，连接ce，当 m 点位于 bd 与 ce 的交点处时，am+bm+cm的值最小（9 分）理由如下：连接mn ，由（ 1）知， amb enb ，am=en ， mbn=60 ，mb=nb， bmn 是等边三角形bm=mnam+bm+cm=en+mn+cm（ 10 分）根据 “ 两点之间线段最短” ，得 en+mn+cm=ec最短当 m 点位于 bd 与 ce 的交点处时，am+bm+cm的值最小，即等于ec 的长（ 11分）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - -

9、- - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载例 2、 解： （1）设所求抛物线的解析式为：2(1)4ya x，依题意，将点b（3，0）代入，得：2(31)40a解得：a 1所求抛物线的解析式为：2(1)4yx（2）如图 6，在 y 轴的负半轴上取一点i，使得点f 与点 i 关于 x 轴对称，在 x 轴上取一点h，连接 hf、hi、hg、gd、ge，则 hfhi 设过 a、e 两点的一次函数解析式为：y kxb（ k0） ，点 e 在抛物线上且点e 的横坐标为2，将 x2 代入抛物线2(1)4yx，得2( 21 )43y点 e 坐标为（ 2，3）又抛物线2

10、(1)4yx图像分别与x 轴、 y 轴交于点a、b、d 当 y0 时，2(1)40 x， x 1 或 x3 当 x0 时， y 1 43, 点 a（ 1，0） ，点 b（3，0） ，点 d（0，3）又抛物线的对称轴为：直线x 1，点 d 与点 e 关于 pq 对称， gdge分别将点 a（ 1，0） 、点 e（2，3）代入 ykxb，得：023kbkb解得：11kb过 a、e 两点的一次函数解析式为：y x1 当 x0 时， y1 点 f 坐标为（ 0，1）df=2又点 f 与点 i 关于 x 轴对称，点 i 坐标为（ 0， 1）2222242 5eidedi又要使四边形dfhg 的周长最小，

11、由于df 是一个定值，只要使 dgghhi 最小即可由图形的对称性和、，可知，dgghhfeg ghhi 只有当 ei 为一条直线时，egghhi 最小设过 e（2，3） 、i（ 0， 1）两点的函数解析式为：111(0)yk xb k，分别将点e（2，3） 、点 i（0， 1）代入11yk xb，得：111231kbb精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载解得：1121kb过 a、e 两点的一次函数解析式为：y2x1 当 x1 时， y1；当 y 0 时， x12；点

12、 g 坐标为（ 1， 1） ，点 h 坐标为（12，0）四边形 dfhg 的周长最小为：df dgghhfdfei 由和，可知：dfei22 5四边形dfhg 的周长最小为22 5。（3）如图 7，由题意可知，nmd mdb ，要使， dnm bmd ，只要使nmmdmdbd即可，即：2mdnmbd设点 m 的坐标为（ a，0） ，由 mn bd，可得amn abd ，nmambdab再由（ 1） 、 （2）可知， am 1a，bd 3 2， ab4 (1)3 23 2(1)44ambdamnaab22229mdodoma，式可写成：23 29(1)3 24aa解得：32a或3a（不合题意，舍

13、去）点 m 的坐标为（32，0）又点 t 在抛物线2(1)4yx图像上，当 x32时， y152点 t 的坐标为（32，152） . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载例 3、解： （1）点 f 在 ad 上， af2=a2a2，即 af=2a。dfb2a。2dbf1113sdf abb2abbab2222（）。（2）连接 df，af，由题意易知af bd，四边形 afdb 是梯形。 dbf 与abd 等高同底，即bd 为两三角形的底。由 afbd ，得到平行线间的

14、距离相等，即高相等，2dbfabd1ssb2。（3）正方形 aefg 在绕 a 点旋转的过程中，f 点的轨迹是以点a 为圆心， af 为半径的圆。第一种情况：当b2a 时，存在最大值及最小值， bfd 的边 bd=2b，当 f 点到 bd 的距离取得最大、最小值时，sbfd取得最大、最小值。如图，当 dfbd 时， sbfd的最大值 =212b2ab2b (b2a)222，s bfd的最小值 =212b2ab2b (b2a)222。第二种情况：当b=2a 时，存在最大值，不存在最小值，s bfd的最大值 =2b2ab2。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - -

15、 - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载例 4、 解： （1）由1x+1=02，得到 x=2， a（ 2，0） 。由1x+1=32，得到 x=4， b（4，3） 。2y=ax +bx3经过 a、b 两点，4a2b3=016a+4b3=3，解得1a=21b=2。设直线 ab 与 y 轴交于点e，则 e（0，1） 。根据勾股定理，得ae=5。pcy 轴， acp= aeo 。oa22 5sinacp=sinaeo=ae55。（2）由（ 1）可知抛物线的解析式为211y=xx322。由点 p 的横坐标为m，得 p211mmm322，c1mm+12，。

16、pc= 221111m+1mm3m +m+42222。在 rtpcd 中，2212 559 5pdpc sinacp=m +m+4=m1+2555，505，当 m=1 时， pd 有最大值9 55。存在满足条件的m值，532m=29或。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载例 5、解： （1）将点 a （4，0）和点（-2，6） 的坐标代入2=+y axbx中，得方程组16 +4 =04 -2 =6abab，解之，得1=2=-2ab. 抛物线的解析式为21=-22yx

17、x. （2）连接 ac交 ob于 e. 直线 m切c 于 a ac m ， 弦 ab=ao ， abao . ac ob ，m ob. oad= aob ，oa=4 tanaob=43，od=oatan oad=4 43=3. 作 of ad于 f.则 of=oa sin oad=4 53=2.4. t 秒时， op=t,dq=2t，若 pq ad ，则 fq=op= t.df=dq fq= t. odf中， t=df=22ofod=1.8 秒. （3）令 r(x, 21x22x) (0 x 4). 作 rg y轴于 g 作 rh ob于 h交 y 轴于 i. 则 rg= x，og= 21x2+2x. rtrig 中， gir= aob ，tan gir=43. ig=34x ir=3