2022年初中数学基本知识及常用结论

1、初中数学基本知识及常用结论1等之间顺次多一个每两个、数：如无理数：无限不循环小等，如：分数：正分数、负分数正整数注意：自然数包括零和整数整数：正整数、零、负有理数实数011010010001.02722)(最小自然数零；最大负整数-1；最小正整数1；无理数有三种：与有关的数；开方开不尽的数；有规律但不循环的数；循环小数分数相反数、倒数、绝对值、负倒数的概念2二次根式：2()(aa a；2(0)(0)a aaaa a)00(babaab，；)0, 0(bababa3近似数：如：5.26 104精确到 百位，它有 3 个有效数字；近似数5.26 精确到 百分 位5.26 与 5.260 的区别4用

2、代数式表示：三个连续偶数2（n-1） ，2n，2（ n+1） ；三个连续奇数2n-1，2n+1，2n+3；若一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，则此两位数为10a+b5幂的运算法则：am an=am+n， (am)n=amn，(ab)n=anbn，am an=am-n（a0 ） ，nba)(=)0(bbann. 6零指数和负整数指数：a0=1(a0) ，a-n=na1（a0 ） 例： 2-3=81，332=323=8277科学记数法：如：0.000102=1.0210-4；-23010000=-2.301 1078. 0，值为分式：有意义，无意义多项式：几次几项式单项式：系数与次数整式有理

3、式（无理式根式）例：单项式2343bca的系数是43，次数是 6；多项式yxxx3221是四次四项式9分式：当分子=0 且分母 0 时，分式值 =0；当分母 0 时，分式有意义；当分母 =0 时，分式无意义例：对于分式242xx，当 x=-2 时值为 0；当 x2 时有意义；当x=2 时无意义【注意：解分式方程必须检验 】10一元二次方程ax2+bx+c=0( a0 )的求根公式： x=aacbb242（=b2-4ac0）韦达定理：1212,bcxxxxaa精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - -

4、 - -（1）=b2-4ac0方程有两个不相等的实数根；（2）=b2-4ac0方程有两个相等的实数根；（3）=b2-4ac0方程无实数根；（4）=b2-4ac0 方程有两实数根；（5）方程有实数根=b2-4ac011正比例函数：y=kx （k0 ）当 k0 时，图象在第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当k0 时，图象在第二、四象限，y 随 x 的增大而减小12反比例函数：y=xk（或 y=k1x或 xy=k） （k0 ）当 k0 时，图象在第一、三象限，且在每一象限内， y 随着 x 的增大而减小； 当 k0 时，图象在第二、 四象限， 且在每一象限内，y 随 x 的增大而增大13一次函

5、数： y=kx+b（ k0）当 k0 时， y 随 x 的增大而增大；当k0 时， y 随 x 的增大而减小 【注意 1： k 相等且b 不等两条直线平行】k0，b0 k0，b0 k0，b 0 k0，b0 【注意 2：二元一次方程组2211bxaybxay的解即为对应两直线的交点坐标】【注意 3：若直线ykxb与x轴的夹角为，则有tan|k】【注意4：若点111(,)p x y和点222(,)p xy是直线ykxb上的任意不同的两点，则有：1212yykxx】【注意 5：若直线111:lyk xb与直线222:lyk xb垂直： 则121k k；交于y轴上同一点，则12bb；交于x轴上同一点，

6、则1212kkbb； 】14二次函数：（1）开口方向： 当a0 时，开口向上；当a0 时，开口向下（2）顶点坐标： 若抛物线为kmxay2，则顶点坐标为km，；（3）对称轴：直线mx；（4）最值： 若a0，则当mx时， y最小 k；若a 0，则当mx时， y最大k；（5）增减性：（由开口方向和对称轴确定）例：对于函数2122xy，其图象的顶点坐标为（1，2） ，当 x=1 时，函数有最小值 2，且在对称轴直线x的左侧，y 随 x 的增大而减小精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -（或写成

7、：当x 1 时， y 随 x 的增大而减小） （6）平移：看顶点【注意： 左（ +）右（ -） ，上（ +）下（ -） 】例：2322xy的图象可由22xy先向 右平移个单位，再向上平移个单位得到 反之：22xy的图象可由2322xy先向 左平移个单位， 再向下平移个单位得到 （若题中是一般式，应先配方后再根据平移的法则解题）（7）与坐标轴的交点：（）与x 轴的交点：当y0 时， 若方程02cbxax的两根分别为x1、x2，则抛物线与x 轴的交点坐标为（x1 ,0） 、 （x2，0） b2-4ac0图象与 x 轴有两个交点b2-4ac0图象与 x 轴只有一个交点 b2-4ac0图象与 x 轴无

8、交点b2-4ac0图象与 x 轴有交点图象与坐标轴只有2 个交点b2-4ac0 或0c（）与y 轴的交点：当x0 时， yc与 y 轴有且只有一个交点（0，c）（8）当 x 为何值时， y 0, y = 0，y0：（9）函数值恒大于0，恒小于0若函数cbxaxy2的值恒大于0，则 a 0，0，函若数cbxaxy2的值恒小于0，则 a 0，0（10）根据抛物线图象判断a、b、 c、acb42、a+b+c、ab+c，2a+b， 2a-b 的符号：a：开口方向；b：与 a“左同右异” ；c：与 y 轴的交点；acb42： 与 x 轴的交点个数；a+b+c： 当 x 1 时 y 的值；a b+c： 当

9、 x 1 时 y 的值2a+b： 对称轴与1比较；2a-b ： 对称轴与 -1 比较例：如图， a0、b0、c0、acb420、a+b+c0、 a b+c0、2a+b 0、2a-b 0（11）几个常用的小结论：顶点在 x 轴上b2-4ac=0 顶点在 y 轴上b=0 顶点在原点b=c=0抛物线过原点c=0 若抛物线与x 轴的交点横坐标为21xx ，则对称轴为直线221xxx（12） 直线与抛物线交点坐标：（即为相应方程组的解）（若通过图象求近似解，则要结合图象看）例：求直线42xy与抛物线122xxy的交点坐标解：由题意得：12422xxyxy，解之得 :145212211yxyx，精品学习资

10、料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - -直线42xy与抛物线122xxy的交点坐标为（-1，2） ， （5，14） 一元二次方程02cbxax(a 0)的两个根即为抛物线cbxaxy2(a 0)与x 轴交点的横坐标，或抛物线2axy(a 0)与直线cbxy交点的横坐标（13）抛物线的对称与旋转问题：（关键是抓住顶点坐标及开口方向）已知抛物线解析式为；kmxay2若关于 x 轴对称，则新抛物线解析式为；kmxay2 若关于 y 轴对称，则新抛物线解析式为：kmxay2若关于原点对称，则新抛物线解析式为

11、：kmxay2 若绕顶点旋转180，则新抛物线解析式为：kmxay215n 边形：内角和是（ n-2） 180 ，外角和是360 从一个顶点出发有（n-3）条对角线；n 边形一共有2)3(nn条对角线16、平行四边形：定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。性质： 两组对边分别平行；两组对边分别相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分；是中心对称图形，不一定是轴对称图形。判定： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；17、矩形： 定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

12、性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。判定： 有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。18、菱形： 定义： 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。性质： 菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。判定； 一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。19、正方形： 定义： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。性质： 正方形的四个角都是直角，四条边相等；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。判定： 有一组邻边相等，并且

13、有一个角是直角的平行四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。20三角形及平行四边形面积公式：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -2srl；eaf；ab afae ad；【注意：边长为a 的正三角形面积等于243a，菱形面积等于两对角线长乘积的一半】21锐角三角函数概念：如图，在直角三角形中正弦：ca斜边对边sin；余弦：cb斜边邻边cos；正切：ba邻边对边tan； 当 090o时 ，正弦、正切

14、函数值随角度的增大而增大如：sin50 o sin49 o余弦函数值随角度的增大而减小如：cos50ocos49o特殊角三角函数值三角函数有关性质：1cossin22；cossintan；若是锐角，则1cossin；若90，则cossin，1tantan22坡度：i=tanlh仰角与俯角：都是视线与水平线 的夹角（如右上图所示）23比例：比例的基本性质：bcaddcba比例中项：若cbba（或acb2） ，则称 b 为 a、c 的比例中项黄金分割： 如图，若 p是线段 ab （长为l） 的黄金分割点， pa pb ， 则： pa2=pb ab ，其中较长线段pa=215l，较短线段pb=253

15、l 【注：一条线段有两个黄金分割点】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -cbacba若51,362bcbcabacaabac若51,362abacabacbbcbc24统计初步： 平均数：nxxxxn21，112212kkkx fx fx fxfff方差：2222121xxxxxxnsn（指波动大小、离散程度）标准差s=方差 频率总数频数 极差 =最大值 - 最小值五个连续整数的方差为2，标准差为2；平均数、中位数、众数：(平均数、中位数、众数与数据单位相同，样本容量无单位) 例： 3

16、， 3，5，5，5，6，8，8， 8，9 的平均数是6，中位数是5.5，众数是5 和 8概率： p（a）=nm（在 n 种结果中，出现事件a的结果有m种） ； 0 p（a） 1； p（ a）=0 时，是不可能事件；当 p（a） =1时，是必然事件； p （a1） + p（a2） + p（an）=1，其中事件a1、a2、 an是互相独立的 数据收集的过程： （1）明确调查问题， （2）确定调查对象， （3）选择调查方法，（4）展开调查，（5）记录结果，（6）得出结论调查的方式一般分两种: 普查和抽样调查25轴对称图形：如：线段、角、等腰三角形、等腰梯形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、圆、扇形、

17、扇环、五角星、正多边形等中心对称图形：如：线段、矩形、菱形、正方形、圆、平行四边形、正偶数边形等；旋转对称图形：如：正五角星、电扇的风叶等以及所有的中心对称图形；【注意：中心对称图形一定是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形】26三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半；梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半27梯形问题中的常见辅助线的添法：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - -28扇形、圆柱、圆锥：【 注意 ： 圆锥底面周长=圆锥展开后扇形的弧长即:1802lr

18、，即0360lr】29如图， rtabc 中， （ 1）斜边上的高cabh，(2) 内切圆半径)(21cbar，(3)外接圆半径r=2c（4）abcsad bd30平移与旋转 ：(1)图形的平移由移动的方向和距离所决定(2)图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定，旋转时，必须注意旋转中心、旋转的角度和旋转的方向31已知三角形两边长为a、 b，则第三边c 的范围为： a-bca+b第三边上的中线x的范围为22ababx32相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方33若两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点, 像这样的相似叫位似【注意 ：若以坐标原点为位似中心，像与原图形的位似

19、比为k，则原图上的点（x,y ）在像上的对应点的坐标为（kx，ky ）或（ -kx ，-ky ） 】. 34点与圆的位置关系： （d 为点到圆心的距离，r 为圆半径）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - -点在圆外dr 点在圆上d=r 点在圆内dr 35直线与圆的位置关系： （d 为圆心到直线的距离，r 为圆半径）（1）三种位置关系：相离dr 相切d=r 相交dr （2）证明直线是圆的切线的方法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（添线方法：连结半径）圆心到直线的距离等于圆的半径，即证d=r（添线方法：过圆心作直线的垂线段）36圆与圆的位置