求向量组的极大无关组-向量组极大无关组例题

1、重要结论矩阵A的初等行（列）变换不改变矩阵的秩,且不改变其列（行）向量间的线性关系.（证明略）求向量组的极大无关组的方法总结思路之一：定义法.(1)假定心是某向量组中的厂个向量, 如果匕。2,线性无关，且向量组中任一向量都可由同,他,炖线性表示，则心是向量组的一个极大无关组;(2)向量组购,他,，中含向量个数最多的线 性无关部分组都是向量组的极大无关组；此方法比较烦琐,较少用思路之二：初等行变换法.(1)(2)(3)将向量组中的各向量作为矩阵A的各列；对A施行初等行变换（注意仅限初等行变换）;化A为阶梯形，在每一阶梯中取一列为代表, 则所得向量组即为原向量组得一个极大无关组.用初等行变换求极大

2、无关组是最基本的方法.4思路之三：利用等价性.设如他，心为某向量组的一个极大无关组， 则任意r个线性无关的部分组均为极大无关组.例1求下列向量组的一个极大无关组= (2,1,3,-1)，a2 = (3, -1,2,0)，=(4,2,6,-2)，a4 = (4,一3,1,1).分析：按定义向量个数最多的线性无关部 分组都是向量组的极大无关组.思想:(i) 通过观察找出一个无关组;(ii) 往前面找出的无关组中增加一个向量，若得到新的向量组仍然线性无关，则得到了新的线性 无关组，否则，继续考虑下一个向量(iii) 重复步骤(ii)直到考虑完所有的向量为止,这 样最后得到的线性无关组便是原向量组的一

3、个 最大无关组.解：1) =(2,1,3,-1) H ()， ax 线性无关.2）因为勺心2的对应分量不成比例， 所以匕线性无关.3)va3=2ai=2ai+0 a2 . .aa2,a3 线性相关.4）下面考虑向量组apa2,a4.设存在一组数心山2山4,使得kax +k2a2 +k4a4 = 0.即匕(2,1,3,-1) + 免(3,-1,2,0) + 他(4,一3,1,1) = (0,0,0,0)2k + 3k2 + 4他=0, rr 由 k -k2 -3k4 =0, 从血3& + 2心+处=0,k、+=0，k、= -1, 解得处=2,*3= -1.即-"1 + 2他-勺

4、=°，也即 a4 = a + 2他所以硯心是向量组如他宀皿的一个极大无关组.例2考虑向量组212求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余 向量分别用该极大无关组线性表示.lT<解：用这些向量作为矩阵A的列向量，并 对矩阵4作初等行变换121_2A032-101-222243-222-5-2-32-3-4-22-22-1122 2 22 2 20000-3-2可见，冬皿2皿3为一个极大无关组. 事实上，“1，“3，他；均为极大无关组.进一步有0A-1 0Oil所以有 a4 =axa2+aa5 =a1+a2 + 0-a3.注：这里用到初等行变换不改变列向量之间的线性关系14可0丨追

5、伯I例3试证:若维单位向量6疋2,可以 由M维向量。1心,，线性表示,则如函, 线性无关.分析：若能证明向量组I： £，$2,，II: apa?，a”TA1等价，贝！J人(I)=人(II),又人(I) = n,从而人(II)=兀,因此,。1，“2,线性无关.证明：由于维单位向量£"2,吗可以由维向量勺心，线性表示，又显然有n维 向量ava2, ,an可以由n维单位向量引弓，灼线性表示，故向量组I： £疋2,疋nII: aa2, ,an等价,则 R(I) = R(II 又R=n,从而&II) = n, 因此少心,线性无关.18可0丨迫伯I例4设两,

6、勺,如为齐次线性方程组4工=0 的基础解系，试判别下述向量组是否仍是的基 础解系(1) 01 =«! +a2 一 3% 02 =ai +3勺 一 5 卩3 =a2 +«3；(2) 卩、=ax +a2 +a3j32 =ax -a2 +2a3fi3 =2ax +a2 +3a3.分析：本题实际上已知两心,如为Ar=O的解 空间的极大无关组，要求证明卩“2,03是否 仍是v=o的解空间的极大无关组由于已知 极大无关组为三个向量,所以任意三个线性无关向量均为极大无关组，这只要证明1皿2，如 系，应说明0曲卩3为解向量.与01弭2，03是否等价即可注意:作为基础解r<解：显然0】

7、，角，03均为也=0的解， 只需证明0】“2，03线性无关即可， 而这又转化为证明购,他,如与A ,角,属等价.01 = «! + «2 一3匕39记为A /01（1）由02 =01+32 -"3， /3=a2+a3 _ 11（01，02，“3）= （"1，“2，”3）13-321可0丨追侗I又 A= 131=0,从而人(A)V2,-3 -1 1因此秩“1，02，032（注：、JI即01，02，3线性相关,故几，02，民不是血=0的 基础解系.A =1+«2+«3记为B/21(2)由 * p2 =a1-a2+2a3,知（01，02，03）= （。1，。2，°3）卩§ = 2ax +a2 + 3a3.又|B|=1 -1 1 =一1工0,从而人（B） = 3, 123所以矩阵B可逆，且23112（同心心3）=（几，02，0