函数的单调性与极值

1、第四章第四章 微分中值定理与导数的微分中值定理与导数的应用应用 高等数学高等数学第四节第四节 函数的单调性与极值函数的单调性与极值xyo)(xfy xyo)(xfy abab0)( xf0)( xf定理定理1 1.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abba一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉

2、氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上上单单调调增增加加在在baxfy , 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 的的单单调调性性，在在判判定定函函数数20sin xxy 例例1 1内内，因因为为在在（)20 解：解：0cos1 xy可可知知，所所以以由由定定理理 1上上单单调调增增加加，在在函函数数20sin xxy 例例2 2解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函

3、数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y函数单调减少；函数单调减少；,), 0(内内在在, 0 y.函数单调增加函数单调增加注意注意: :函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性来判别一个区间上的单调性).,(:d又又问题问题: :如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调个部分区间上单调定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该若函数在其定义

4、域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的区间称为函数的单调区间单调区间. .导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点点方法方法: :.,)()(0)(数的符号数的符号然后判断区间内导然后判断区间内导的定义区间的定义区间来划分函数来划分函数不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程xfxfxf 例例3 3解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf ).,(:d)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)(

5、xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(单调区间为单调区间为，0 ,( )., 0 32xy 例例4 4解解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf).,(:d12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx时，时，当当1 x, 0)( xf上上单单调调增增加加；在在1 ,( 时，时，当当21 x, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 2单调区间为单调区间为，1 ,(，2 , 1)., 2例例5 5证证.)1ln(,0成成立立试试证证

6、时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可可导导，且且上上连连续续在在上单调增加；上单调增加；在在), 0 , 0)0( f时时，当当0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即注意注意: :区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零, ,不影响区间的单调性不影响区间的单调性. .例如例如, ,3xy , 00 xy.),(上单调增加上单调增加但在但在例例6 6 证明：当证明：当x11时时，xx132 证证 令令 则则),13(2)(xxxf )1(111)(22 xxxxxxf)13(20)13(20)1()(, 0

7、)1()1()(10)(11)(xxxxfxfffxfxxfxf 也也即即即即故故由由于于，有有当当）内内，）上上连连续续，在在（，在在4.4.2 4.4.2 函数的极值及其求法函数的极值及其求法 一、函数极值的定义一、函数极值的定义 二、函数极值的求法二、函数极值的求法 三、小结三、小结 思考题思考题 一、函数极值的定义oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x,),(,),()(0内的一个点是内有定义在区间设函数baxbaxf定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.,)()(

8、,000均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点xfxfxxx,)()(,000均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点xfxfxxx;)()(0的一个极大值是函数就称xfxf.)()(0的一个极小值是函数就称xfxf二、函数极值的求法定理定理1 1( (必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:,)(点的极值点必定是它的驻可导函数xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x.是极值点但函数的驻点却不一定定理定理2(2(第一充分条件第一充

9、分条件) )xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)例例1 1解解.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值

10、)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx593)(23 xxxxfmm图形如下图形如下定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 异号，异号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以，函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值 同理可证同理可证(2).例例2 2解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2

11、, 421 xx得驻点得驻点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故极大值故极大值,60 )2(f, 018 )2(f故极小值故极小值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下mm注意注意: :. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理处不一定取极值处不一定取极值在点在点时时xxfxf 例例3 3解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff .)(在该点连续在

12、该点连续但函数但函数xf注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.m三、小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？ 如如果果0 x为为)(xf的的极极小小值值点点，那那么么必必存存在在0 x的的某某邻邻域域，在在此此邻邻

13、域域内内，)(xf在在0 x的的左左侧侧下下降降，而而在在0 x的的右右侧侧上上升升.思考题解答思考题解答不正确不正确例例 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf当当0 x时，时， )0()(fxf)1sin2(2xx 0 于是于是0 x为为)(xf的极小值点的极小值点当当0 x时，时，当当0 x时时，, 0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之间振荡之间振荡因因而而)(xf在在0 x的的两两侧侧都都不不单单调调.故命题不成立故命题不成立xxxxf1cos)1sin2(2)( 一、一、 填空题：填空题：1 1、 极值反映的是函数的极值反映的是函数的 _性质性质. .2 2、 若

14、函数若函数)(xfy 在在0 xx 可导，则它在点可导，则它在点0 x处到处到 得极值的必要条件中为得极值的必要条件中为_._.3 3、 函 数函 数32)1(2 xy的 极 值 点 为的 极 值 点 为 _ ；31)1(23 xy的极值为的极值为_._.4 4、 已知函数已知函数 0, 10,)(3xxxxxfx当当_ x时，时，为极为极_ y小值 ； 当小值 ； 当时时_ x，为极为极_ y大值大值. .练练 习习 题题二、求下列函数的极值：二、求下列函数的极值：1 1、 xeyxcos ；2 2、 xxy1 ；3 3、 方程方程02 yeyx所确定的函数所确定的函数)(xfy ；4 4、

15、 0, 00,21xxeyx. .三、三、 证明题：证明题：1 1、 如果如果dcxbxaxy 23满足条满足条032 acb，则函数无极值则函数无极值. . 2 2、设设)(xf是是有有连连续续的的二二阶阶导导数数的的偶偶函函数数0)( xf， 则则0 x为为)(xf的的极极值值点点. .一、一、1 1、局部；、局部； 2 2、0)(0 xf； 3 3、(1,2),(1,2),无；无； 4 4、1 , 0 ,)1( ,13eee; ;二、二、1 1、极大值、极大值 keky2422)24(, ,极小值极小值 ), 2, 1, 0(22)12(4()12(4 kekyk；2 2、极大值、极大值

16、eeey1)( ；3 3、极小值、极小值1)0( y；4 4、极小值、极小值0)0( y. .练习题答案练习题答案一、最值的求法oxyoxybaoxyabab上连续，在若函数,)(baxf除个别点外处处可导，并且至多有有限个导数为零的点，.,)(在上的最大值与最小值存在则baxf步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点求区间端点、驻点驻点、不可导点的函数值不可导点的函数值,比较比较大小大小,大的那个就是最大值大的那个就是最大值,小的那个就是最小小的那个就是最小值值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大

17、值或最小值最大值或最小值)二、应用举例例例1 1解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f，最大值最大值142)4( f比较得比较得. 7)1( f最小值最小值14123223 xxxy点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例2 2敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸a处以处以1千米千米/分钟分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸

18、南岸b处向正东追击，处向正东追击，速度为速度为2千米千米/分钟分钟问我军摩托车何问我军摩托车何时射击最好（相时射击最好（相距最近射击最好）？距最近射击最好）？解解公里公里5 . 0(1)建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系).(分分追击至射击的时间追击至射击的时间处发起处发起为我军从为我军从设设bt敌我相距函数敌我相距函数22)24()5 . 0()(ttts 公公里里4b a )(ts)(ts.)()2(的最小值点的最小值点求求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 7522ttt , 0)( ts令令得唯一驻点得唯一驻点. 5 . 1 t.5 . 1分钟射击最好分钟射击最好处发

19、起追击后处发起追击后故得我军从故得我军从b实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;小）值小）值值即为所求的最（或最值即为所求的最（或最点，则该点的函数点，则该点的函数若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻例例3 3 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定套公寓要出租，当租金定为每月为每月180元时，公寓会全部租出去当租元时，公寓会全部租出去当租金每月增加金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费而租出去的房子每月需花费20元的整修维护元的整修维护费试问房租定为多少可获

20、得最大收入？费试问房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月总收入为每月总收入为)(xr)20( x 1018050 x 1068)20()(xxxr 101)20(1068)(xxxr570 x 0)( xr350 x（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为 1035068)20350()(xr)(10890 元元 点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例4 4形面积最大形面积最大所围成的三角所围成的三角及及线线处的切线与直处的

21、切线与直使曲线在该点使曲线在该点上求一点，上求一点，曲边曲边成一个曲边三角形，在成一个曲边三角形，在围围及抛物线及抛物线，由直线由直线808022 xyxyxyxy解解如图如图,),(00yxp设所求切点为设所求切点为为为则切线则切线pt),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xa)16, 8(200 xxb ),0, 8(ctxyopabc)16)(218(212000 xxxsabc )80(0 x, 0)1616643(41020 xxs令令解得解得).(16,31600舍去舍去 xx8)316( s. 0 .274096)316(为极大值为极大值 s.274096

22、)316(最大者最大者为所有三角形中面积的为所有三角形中面积的故故 s三、小结注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.思考题思考题 若若)(af是是)(xf在在,ba上上的的最最大大值值或或最最小小值值，且且)(af 存存在在，是是否否一一定定有有0)( af？思考题解答思考题解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点. .例例xxfy )(1 , 0 x在在 有最小值，但有最小值，但0 x01)0( f一、一、 填空题：填空题：1 1、 极值反映的是函数的极值

23、反映的是函数的 _性质性质. .2 2、 若函数若函数)(xfy 在在0 xx 可导，则它在点可导，则它在点0 x处到处到 得极值的必要条件中为得极值的必要条件中为_._.3 3、 函 数函 数32)1(2 xy的 极 值 点 为的 极 值 点 为 _ ；31)1(23 xy的极值为的极值为_._.4 4、 已知函数已知函数 0, 10,)(3xxxxxfx当当_ x时，时，为极为极_ y小值 ； 当小值 ； 当时时_ x，为极为极_ y大值大值. .练练 习习 题题二、求下列函数的极值：二、求下列函数的极值：1 1、 xeyxcos ；2 2、 xxy1 ；3 3、 方程方程02 yeyx所

24、确定的函数所确定的函数)(xfy ；4 4、 0, 00,21xxeyx. .三、三、 证明题：证明题：1 1、 如果如果dcxbxaxy 23满足条满足条032 acb，则函数无极值则函数无极值. . 2 2、设设)(xf是是有有连连续续的的二二阶阶导导数数的的偶偶函函数数0)( xf， 则则0 x为为)(xf的的极极值值点点. .一、一、 填空题：填空题：1 1、最值可、最值可_处取得处取得. .2 2、函数、函数2332xxy ( (41 x) )的最大值为的最大值为_ _ _；最小值为；最小值为_._.3 3、 函数函数2100 xy 在在0,80,8上的最大值为上的最大值为_ _ _；最小值为；最小值为_._.4 4、 设有重量为设有重量为 5kg5kg 的物体，置于水平面上，受力的物体，置于