第7章微分方程

1、第十二章第十二章解解)(xyy 设设所所求求曲曲线线为为，xxy2dd xxyd22,1 yx时时其中其中,2Cx , 1 C得得.12 xy所所求求曲曲线线方方程程为为例例 一一 曲曲线线 通通 过过点点 (1,2),且且 在在 该该 曲曲 线线上上任任 一一 点点),(yxM处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程. 第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念，代代入入将将2, 1 yx凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程. .例例,xyy , 0dd)(2 xxtxt,e32xyyy , yxxz 若未知函

2、数是一元函数，称若未知函数是一元函数，称常微分方程常微分方程，否，否则称则称偏微分方程偏微分方程. 本章只讨论前者本章只讨论前者. 方程中所含未知函数的导数的最高阶方程中所含未知函数的导数的最高阶,称为微称为微分方程的分方程的阶阶 ., 0),( yyxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶高阶( (n阶阶) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy使方程成立的函数称微分方程的使方程成立的函数称微分方程的解解. .微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且

3、任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同. .(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. ., yy 例例;excy 通通解解, 0 yy;cossin21xcxcy 通解通解初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .过定点的积分曲线过定点的积分曲线; 00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方

4、程满足初始条件的解的问题. .练习：练习：P298 习题习题7-14. 5. 第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程xxfyygd)(d)( xxfyygd)(d)(设函数设函数)(yG和和)(xF是依次为是依次为)(yg和和)(xf的某个原函数的某个原函数, CxFyG )()(为微分方程的通解为微分方程的通解.两边积分两边积分,为为可分离变量的方程可分离变量的方程. . 称称则则求求方方程程22ddxyxy 的的通通解解. . 解解分分离离变变量量, ,xxyyd2d2 , , 积积分分 Cxy 21, , 所所以以通通解解为为 Cxy 21. . 例例1 1求求方方程程x

5、yxy2dd 的的通通解解. . 解解分分离离变变量量, , xxyyd2d , , 积积分分 Cxy 2ln, , 或或写写为为 2eexCy , , 记记 CCe1 , , 则则通通解解为为 2e1xCy . . 或解或解分分离离变变量量, , xxyyd2d , , 积积分分 Cxylnln2 , , 则则通通解解为为 2exCy . . 例例2 2求方程求方程2cos2cosddyxyxxy 的通解的通解. . 2cos2cosddyxyxxy ,2sin2sin2yx ,d2sin2sin2d xxyy2cot2csclnyy 为所求通解为所求通解.解解Cx 2cos2例例3 3求求

6、方方程程0d)ee(d)ee( yxyyxxyx的的通通解解. . 解解分分离离变变量量: : 1edee1de xxyyxy, , 两两边边积积分分: : Cxyln) 1eln() 1eln( , , 即即所所求求通通解解为为 Cyx ) 1e)(1e (. . 例例4 4衰衰变变问问题题:衰衰变变速速度度与与未未衰衰变变原原子子含含量量 M 成成正正比比,已已知知00MMt ,求求衰衰变变过过程程中中铀铀含含量量)(tM随随时时间间 t 变变化化的的规规律律. ,ddtM衰变速度衰变速度由题设条件由题设条件,)0(dd衰变系数衰变系数 MtM，tMMdd ,dd tMM 00MMt 代代

7、入入,lnlnCtM ,etCM 即即00eCM 得得,C tMM e0衰变规律衰变规律解解例例5 5练习：练习：P304 习题习题7-21.(1)(3)(6)(9)(10) 2.(2)(3) 6. 7. 第三节第三节 齐次方程齐次方程)(ddxyfxy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2.2.解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式得代入原式得,ddddxuxuxy ),(ddufxuxu 1.1.定义定义分分离离变变量量得得 xxuufud)(d , , 两边积分即得通解两边积分即得通解. . 注意：须将注意：须将u代回代回.求求方方程程 0)

8、()( yxyyx 的的通通解解. . 解解此此题题不不能能分分离离变变量量, , 原原方方程程变变形形为为 xyxyxy dd 11 xyxy, , 是是齐齐次次方方程程, , 作作变变量量代代换换 xyu , , xuy , , xuxuxydddd , , 代代入入原原方方程程得得 11dd uuxuxu, , 分离变量得分离变量得 xxuuudd112 , , 例例1 1积积分分得得：Cxuu ln)1ln(21arctan2, , 或写成或写成 uCuxarctan12e1 , , 再再将将xyu 代代入入, ,得得通通解解为为 xyCyxarctan122e . . 分离变量得分离

9、变量得 xxuuudd112 , , 1)1( y的的特特解解. . 解解原原方方程程变变形形为为 22ddxxyyxy 作作变变量量代代换换 xyu , , xuy , , xuxuxydddd , , 代代入入原原方方程程得得 1dd2 uuxuxu, , 求求方方程程xyxyxyxydddd22 满满足足初初始始条条件件 1)/(2 xyxy, , 即即 11dd2 uuuuuxux, , 例例2 2积积分分得得：Cxuu lnln, , 或或写写成成 Cxuu ln, , 再再将将xyu 代代入入, ,得得通通解解为为 Cyxy ln； 分分离离变变量量得得 xxuudd)11( ,

10、, 再再由由初初始始条条件件1)1( y, , 得得1 C, , 于于是是得得所所求求特特解解为为1ln yxy. . 即即 11dd2 uuuuuxux, , 可化为齐次的方程可化为齐次的方程111cybxacbyaxxdyd,kYy,hXx令11111ckbhaYbXacbkahbYaXxdyd0baba.0ckbha0cbkah11111YbXabYaXxdyd11方程化为0baba11若bbaa11令1c)byax(cbyaxxdyd方程化为1c)byax(cbyaxxdyd方程化为,dxdybadxdv,byaxv则令可分离变量。方程化为,cvcv)adxdv(b11例：解方程 (2

11、x+y-4) dx+(x+y-1) dy=0练习：练习：P309 习题习题7-31.(2)(4)(6) 2.(1)(2) 3. 第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程)()(ddxQyxPxy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xQ当当例如例如,dd2xyxy ,sindd2ttxtx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.一、线性方程一、线性方程. 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy,lnd)(lnC

12、xxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.ed)( xxPCy1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法使用分离使用分离变量法变量法这这里里记记号号 xxPd)(表表示示)(xP的的某某个个确确定定的的原原函函数数. . 2.2. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(ddxQyxPxy 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换 xxPxuyd)(e )(,e)()(e )(d)(d)( xxPxxPxPxuxuy代代入入原原

13、方方程程得得和和将将yy ),(e )(d)(xQxuxxP ,de)()(d)(CxxQxuxxP 积分得积分得所以一阶线性非齐次微分方程的通解为所以一阶线性非齐次微分方程的通解为:de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP xxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)( 对应齐次方对应齐次方程的通解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解,e )()(d)( xxPxQxu代代入入原原方方程程得得和和将将yy ),(e )(d)(xQxuxxP xxPxuyd)(e )(.sin1的的通通解解求求方方程程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cxxxyxxxxdesin

14、ed1d1 Cxxxxxdesinelnln)dsin(1 Cxxx. )cos(1Cxx 解解de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 例例1 1求求方方程程2e22ddxxxyxy 满满足足1)0( y的的特特解解. . 解解通通解解为为 dee2ed2d22Cxxyxxxxx d2e2Cxxx )(e22Cxx , , 由初始条件由初始条件1)0( y, , 1 C, , 即即所所求求特特解解为为 ) 1(e22 xyx. . 例例2 2求求方方程程0d)(d3 yyxxy的的通通解解. . 解解方方程程含含有有3y, ,故故不不是是关关于于未未知知函函数数y线线性性方方程程, ,

15、2ddyyxyx , , 可可把把y视视为为自自变变量量, ,把把方方程程改改写写为为 此此即即一一阶阶线线性性方方程程, ,解解得得通通解解为为 deed12d1Cxyxyyyy d12Cxyyy 43yyC . . 例例3 3nyxQyxPxy)()(dd )1 , 0( n解法解法: :二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方程方程得得两两端端除除以以，ny),()(dd1xQyxPxyynn ,1 nyz 令令，则则xyynxzndd)1(dd ),()1()()1(ddxQnzxPnxz 求出通解后求出通解后, 将将 代入即得代入即得原方程的通解原方程的通解 .nyz 1代入上式

16、代入上式.4dd2的的通通解解求求方方程程yxyxxy ,4dd12xyxxyy ,yz 令令,4dd22xzxxz 得得de2ed22d2Cxxzxxxx .224 Cxxy解解得得两两端端除除以以，y,22 Cxx,22dd2xzxxz 得原方程的通解为得原方程的通解为 例例4 4求求方方程程04)(2 xyyxy )0( y的的通通解解. . 解解把把y作作为为自自变变量量, ,原原方方程程改改写写为为 xxyyx4141dd , , 这这是是伯伯努努利利方方程程, ,两两边边乘乘以以x, ,化化为为线线性性方方程程 2121dd22 xyyx, , 得得通通解解 )(Cyy yCy .

17、 . 例例5 5de21e2d2d2Cyxyyyy 练习：练习：P315 习题习题7-41.(2)(3)(5)(8) 2.(1)(5) 3. 7.(1)(3)(5) 第五节第五节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 解解12sine21Cxyx , , 解解法法：两两边边积积分分n次次即即可可. . 212cose41CxCxyx , , 3221221sine81CxCxCxyx . . 一一、)()(xfyn 型型 例例1 1xyxcose2 .0)4()5(的通解的通解求方程求方程 yxy解解),()4(xpy 设设代入原方程得代入原方程得,0 ppx，xCp1 分离变量并积分分离

18、变量并积分,得得两端积分两端积分,得得原方程通解为原方程通解为)( )5(xpy 则则,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 54233251dxdxdxdxdy 例例2 2二二、),(yxfy 型型, , 不不显显含含y, , 解解法法：令令)(xpy ，化化为为),(pxfp . . 一阶微分方程一阶微分方程求求方方程程0)21( yyx的的通通解解. . 解解令令 yp , ,则则方方程程化化为为 pxpx dd)21(, , 分分离离变变量量, ,得得xxppd121d , , 积积分分得得 1ln) 12ln(21lnCxp ,

19、, 或或 211)12( xCyp, , 再再积积分分, ,得得原原方方程程的的通通解解为为 2211) 12(CxCy . . 例例3 3原原方方程程化化为为 ),(ddpyfypp . . 二二、),(yyfy 型型, ,不不显显含含x, , 解解法法：令令)(ypy ， 则则 xpydd xyypdddd ，yppdd 求求方方程程02 yyy的的通通解解. . 解解令令 xypdd , , 代代入入原原方方程程, ,得得 即即 0)dd( pypyp. . 分分离离变变量量, ,0dd yypp, , 解解得得yCp , , 即即 yCxy dd, , 分分离离变变量量, ,xCyyd

20、d , , 积积分分得得通通解解为为 则则yppydd 例例4 4，0dd2 pypyp.212CxCy 若若0dd pypy, , 0 y 也也是是方方程程的的解解, ,不不过过已已包包含含在在上上述述通通解解中中； 若若0 p, ,可可得得Cy , ,这这也也包包含含在在上上述述通通解解中中. . 本本题题还还可可用用下下面面的的简简单单解解法法: : 原原方方程程可可化化为为 0)( yy, , 积积分分得得 1Cyy , , 即即xCyydd , , 于于是是得得到到原原方方程程的的通通解解 212CxCy . . 求求方方程程02 yyy的的通通解解. . 解解例例4 4即即 0)d

21、d( pypyp. . 积积分分得得通通解解为为 .212CxCy 若若0dd pypy, , 求求方方程程yyy 3的的通通解解. . 解解方方程程不不显显含含x, , 令令 yp , , 则则 yppydd , , 原原方方程程化化为为 ppypp 3dd, , 即即 01dd2 pypp, , 由由0 p, ,得得Cy , , 这这是是原原方方程程的的一一个个解解( (非非通通解解) ). . 由由1dd2 pyp, , 得得 1arctanCyp , , 或或 )tan(1Cyp , , 例例5 5P323 1.(10)或或 xCCye)sin(21 , , 因因此此 12)earcs

22、in(CCyx 为为原原方方程程的的通通解解. . ( (显显然然Cy 包包含含在在其其中中) ). . 即即 )tan(dd1Cyxy , , 或或 xCyyd)tan(d1 , , 积积分分得得 21ln)sin(lnCxCy , , 求求方方程程yyy 3的的通通解解. . 解解例例5 5或或 )tan(1Cyp , , 练习：练习：P323 习题习题7-51.(2)(4)(6)(8)(9) 2.(2)(5) 3. )()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn (1)形如形如的方程称为的方程称为n阶线性微分方程阶线性微分方程, , 特别特别, , 0)()()(1)1(

23、1)( yxPyxPyxPynnnn(2)称为称为n阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程. . 第六节第六节 高阶线性微分方程高阶线性微分方程函数的线性相关与线性无关函数的线性相关与线性无关定定义义 设设)(),(),(21xyxyxyn为为定定义义在在区区间间I上上的的 n个个函函数数, ,如如果果存存在在n个个不不全全为为零零的的常常数数为为nkkk,21, ,使使得得当当Ix 时时有有恒恒等等式式 0)()()(2211 xykxykxyknn 成成立立, ,则则称称这这n个个函函数数在在区区间间I上上线线性性相相关关; ; 否否则则称称线线性性无无关关. . 例例如如, ,函函数数xx

24、22sin,cos, 1线线性性相相关关: : 0sincos122 xx. . 而而函函数数2, 1xx线线性性无无关关, , 因因为为02321 xkxkk 0221 kkk. . )(),(21xyxy线线性性相相关关 常常数数 )()(21xyxy. . 0)()( yxQyxPy(3)线性微分方程的解的结构线性微分方程的解的结构先讨论先讨论二阶二阶齐次线性方程齐次线性方程如如果果)(),(21xyxy是是方方程程( (3 3) )的的两两个个解解, ,则则它它们们的的任任意意线线性性组组合合 也是也是(3)的解的解. .)()(2211xyCxyCy 定理定理1 1(4)进一步，进一

25、步，如如果果)(),(21xyxy线线性性无无关关, , 则则(4)就是就是就是就是(3)的的通解通解. .1. 1. 齐次线性方程解的结构齐次线性方程解的结构0)()()(1)1(1)( yxPyxPyxPynnnn(2)推论推论(齐次线性方程的叠加原理齐次线性方程的叠加原理) 如如果果)(),(),(21xyxyxyn是是n阶阶齐齐次次方方程程 的的n个线性无关的解个线性无关的解, , 则它们的任意线性组合则它们的任意线性组合，)()()(2211xyCxyCxyCynn 即为方程即为方程(2)的通解的通解. .2. 2. 非齐次线性方程解的结构非齐次线性方程解的结构回顾：回顾：)()(d

26、dxQyxPxy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP xxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)( 对应齐次方对应齐次方程的通解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解2. 2. 非齐次线性方程解的结构非齐次线性方程解的结构. yYy定理定理2 2设设)(xy 是二阶非齐次线性方程是二阶非齐次线性方程 (5)的一个特解的一个特解, ,)(xY是是与与(5)对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程 0)()( yxQyxPy(3)()()(xfyxQyxPy 的通解的通解, , 那么那么(5)的通解为的通解为定理定理3 (3 (非齐次线性方程的叠加原

27、理非齐次线性方程的叠加原理) ) 设设)(),(21xyxy 分别是非齐次方程分别是非齐次方程 则则)()(21xyxy 为为非非齐齐次次方方程程 的的一一个个特特解解. . )()()(1xfyxQyxPy 和和)()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, ,)()()()(21xfxfyxQyxPy 3212211)1 (yccycyc)()()(xfyxqyxpy )(1xy)(2xy)(3xy21,cc32211yycyc3212211)(yccycyc3212211)1 (yccycyc1.二阶非齐次线性微分方程有三个线性无关的解,则其通解是( )(是任意常数).(B)(C)(D

28、)(A)0)()()()(2121xyxyxyxy)(),(21xyxy0)()( yxqyxpy)()(2211xycxyc0)()()()(2121xyxyxyxy0)()()()(2121xyxyxyxy0)()()()(2121xyxyxyxy2.:设是二阶齐次线性方程 的两个特解,则由构成该方程的充分条件是( ). (B)(C) (D)(A),)(),(21xyxy)()(xyxpy 0)()(2211xycxyc设是二阶齐次线性方程 的两个线性无关的解,该方程的通解是( ). (B)(C) (D)(A)() 1()(2111xycxyc)()1 ()(2111xycxyc)()1

29、()(2111xycxyc(1)为二阶为二阶常系数常系数齐次线性微分方程齐次线性微分方程, , 第七节第七节 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程 0 qyypy由由定定理理 1 1 知知, ,若若求求得得齐齐次次方方程程(1)的的两两个个特特解解)()(21xyxy，, , 且且 )(/ )(21xyxy常常数数, ,则则(1)的的通通解解为为 )()(1211xyCxyCy , ,其其中中21,CC为为任任意意常常数数. . 例例如如, ,0 yy, , 有有两两个个特特解解 xyxycos,sin21 , , 它它们们显显然然线线性性无无关关, , 于是方程通解为于是方程通解为

30、.cossin21xCxCy 其中其中p, ,q是常数是常数. .称称(1)0 qyypy下下面面来来寻寻找找方方程程(1)的的形形如如 rxye 的的特特解解. . 将将rxye 代代入入方方程程(1), ,得得 0e)(2 rxqprr, , 而而0e rx, ,于于是是有有 02 qprr (2) 代数方程代数方程(2)称为微分方程称为微分方程(1)的的特征方程特征方程, ,它的根称为它的根称为特征根特征根. . 02 qprr (3)情形情形 1 1 若若0 , , 则则特特征征方方程程(2)有有两两个个相相异异的的实实根根 22, 1 pr, , 得得到到方方程程(1)的的两两个个特

31、特解解xry1e1 , ,xry2e2 , , 而而Cxyxyxrr )(2121e)(/ )(, , 故故它它们们线线性性无无关关, , 因因此此(1)的的通通解解为为 xrxrCCy21ee21 . . 记记 qp42 , , 下下面面来来寻寻找找方方程程(1)的的形形如如 rxye 的的特特解解. . 情情形形 2 2 若若 0 , , 则则特特征征方方程程(2)有有两两个个相相等等的的实实根根 2/2, 1pr , , 只只得得到到方方程程(1)的的一一个个特特解解 xry1e1 , , 需需要要求求另另一一个个特特解解 2y, ,使使 12/ yy常常数数. . 设设)(/12xuy

32、y , , 即即xrxuy1e)(2 , , 代代入入方方程程(1), ,并并约约去去 xr1e, ,得得 0)()2(1211 uqprrupru, , 因因为为1r是是方方程程02 qprr的的二二重重根根, , 故故有有021 pr, ,0121 qprr, , 0 u, , 取取特特解解 xu , , 即即得得xrxy1e2 , , 于于是是(1)的的通通解解为为 xrxCCy1e)(21 . . 情情形形 3 3 若若 0 , , 则则特特征征方方程程(2)有有一一对对共共轭轭复复根根 ir 2, 1, , 方方程程(1)有有两两个个特特解解 xiy)(1e , ,xiy)(2e ,

33、 , )sincos(e21xCxCyx . . 由由欧欧拉拉公公式式知知 由由叠叠加加原原理理, , xiyyyxyyyxx sine2/ )(cose2/ )(212211 仍仍然然是是(1)的的解解, , 且且线线性性无无关关, , 所所以以方方程程(1)的的通通解解为为 )sin(cose)sin(cose21xixyxixyxx 02 qprr0 qyypy小结小结 特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式 21rr 21rr ir 2, 1实根实根实根实根复根复根xrxrCCy21ee21 xrxCCy1e)(21 )sincos(e21xCxCyx 解解特征方程为特征方程

34、为故所求通解为故所求通解为求求微微分分方方程程032 yyy的的通通解解. . 0322 rr, , 特特征征根根为为 3, 121 rr, , xxCCy321ee . . 例例1 1例例2 2.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121ir ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(e21xCxCyx 解解特征方程为特征方程为故通解为故通解为求求微微分分方方程程0dd2dd22 ststs满满足足初初始始条条件件 0122 rr, , 特特征征根根为为 121 rr, , ttCCs e )(21. . 2)0(, 4)0( ss

35、的的特特解解. . 4)0(1 Cs, , ttCCCs e)(212, , 2) 0( 12 CCs, , 22 C, , 所所以以所所求求特特解解为为 tts e)24(. . 例例3 3n阶常系数齐次线性方程阶常系数齐次线性方程01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重实实根根若若是是rxkkxCxCCe)(1110 ik 根根重重共共轭轭复复若若是是xkkkkxxDxDDxxCxCC e sin)(cos)(11101110 特征根为特征根为, 154321irrirrr 故所求

36、通解为故所求通解为.sin)(cos)(e54321xxCCxxCCCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程为特征方程为, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的的通通解解求求方方程程 yyyyyy例例4 4练习：练习：P310 习题习题7-71.(2)(4)(5)(10) 2.(2)(4) (6) )(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构, yYyf(x)常见类型常见类型),(xPm,e)(xmxP ,cose)(xxPxm ,sine)(xxPxm 难点难点：如何求特解？如何求特

37、解？ 方法方法：待定系数法待定系数法.第八节第八节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 其其中中 是是常常数数, ,)(xPm是是m次次多多项项式式. . 设设xxQy e )( , ,其中其中)(xQ是多项式是多项式, , xxxQxQy e )(e )()( , , xxxxQxQxQy e )(e )(2e )()(2 , , 代代入入方方程程)(xfqyypy , , 整整理理并并约约去去x e, ,得得 )()()2(2xPQqpQpQm ( (* *) ) 情情形形1 1 若若 不不是是特特征征根根, , 即即02 qp , , 则则可可设设)(xQ为为次次数数与与)

38、(xPm次次数数相相同同的的多多项项式式: : )()(xQxQm , , xmxQy e )( . . 即即 型型一、一、)(e)(xPxfmx 则则)()()2(2xPQqpQpQm ( (* *) ) 情情形形2 2 若若 是是特特征征方方程程的的单单根根, , 即即02 qp , , )()(xxQxQm , , xmxxQy e )( . . 即即 而而02 p , , 则则令令 情情形形3 3 若若 是是特特征征方方程程的的二二重重根根, , 即即02 qp , , )()(2xQxxQm , , xmxQxy e )(2 . . 即即 且且02 p , , 则则令令 然然后后根根

39、据据恒恒等等式式( (* *) )来来确确定定)(xQ, ,从从而而得得到到特特解解 y. . 综上讨论综上讨论 )(xQ不是特征根不是特征根 )(exPqyypymx 设特解为设特解为，)(xQm是单特征根是单特征根 ，)(xxQm是二重特征根是二重特征根 ，xxQy e)( 其中其中，)(2xQxm)()()2(2xPQqpQpQm 代入原方程代入原方程, ,或利用下式或利用下式来确定来确定Q(x). .解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0322 rr特征根特征根，1321 rr,ee231xxCCY 求求微微分分方方程程1332 xyyy的的通通解解. . 因因为为

40、0 不不是是特特征征根根, , 故故设设特特解解baxy , , 代代入入原原方方程程, ,得得 13)( 32 xbaxa, , 31, 1 ba, , 所所以以特特解解 xy 31, , 即即原原方方程程的的通通解解为为 31ee321 xCCyxx. . 例例1 1.e232的的通通解解求求方方程程xxyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr.ee221xxCCY 是是单单根根，2 ),()(BAxxxQ 其其中中代入代入xBAxA 22，121 BA，于于是是xxxy2e )121( 原方程通解为原方程通解为.e ) 1

41、21(ee2221xxxxxCCy 例例2 2,e )(2xxQy 设设得得，)()()2(2xPQqpQpQm 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0962 rr特征根特征根，32, 1 r.e )(321xxCCY 求求微微分分方方程程xxyyy3e96 的的通通解解. . 因因为为3 是是二二重重特特征征根根, , 故故设设特特解解为为xxQy3e )( , , 其其中中232)()(bxaxbaxxxQ , , xbax 26, , 解解得得 0,61 ba, , 所所以以特特解解 xxy33e61 , , 即即原原方方程程的的通通解解为为 xxxxCCy33321

42、e61e )( . . 代入代入得得例例3 3，)()()2(2xPQqpQpQm 由由欧欧拉拉公公式式, , 其其中中 ixPxPxPnl2)(2)()( ixPxPnl2)(2)( , , ixPxPxPnl2)(2)()( ixPxPnl2)(2)( 互互为为共共轭轭的的m次次多多项项式式, , ,maxnlm . . 型型二二、xxPxxPxfnlx sin)(cos)(e)( 2ee)(2ee)(e)(ixPxPxfxixinxixilx xixixPxP)()(e)(e)( 由由第第一一种种情情况况可可知知, , 可可求求m次次多多项项式式)(xQm, , 使使ximkxQxy)(

43、1e)( 为为方方程程 xixPqyypy)(e)( 的的特特解解, , 其其中中 是是特特征征方方程程的的单单根根不不是是特特征征方方程程的的根根 iik , 1 , 0 , , )(),(xPxP互互为为共共轭轭的的m次次多多项项式式 由由于于xixP)(e)( 与与xixP)(e)( 共共轭轭, , 故故ximkxQxy)(2e)( 必必为为方方程程 xixPqyypy)(e)( 的的特特解解, , 由由叠叠加加原原理理, , xixixPxPxf)()(e)(e)()( 由由叠叠加加原原理理, , ximkximkxQxxQxyy)()(21e)(e)( 是是原原方方程程的的一一个个特

44、特解解. . 化化简简: : e)(e)(eximximxkxQxQxy 共轭共轭其其中中)(),()2()1(xRxRmm是是( (实实系系数数) )m次次多多项项式式. . )sin(cos)(exixxQxmxk )sin(cos)(xixxQm sin)(cos)(e)2()1(xxRxxRxmmxk 解解求求微微分分方方程程xxyy2cos 的的通通解解. . 特特征征方方程程 012 r, , ir , , 所所以以对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解为为 xCxCYsincos21 . . ii2 不不是是特特征征根根, , 所所以以应应设设特特解解为为 xdcxxbaxy2si